Demostración «simétrica» del teorema de Pitagoras

El teorema de Pitagoras…ese resultado que todos conocemos…bueno, en realidad ese resultado del que todos conocen el nombre, pero del que muchos no se acuerdan con exactitud (o al menos, del que mucho no son capaces de recitar a la primera la frasecita que lo describe).

El teorema de Pitagoras es posiblemente el teorema del que existen más demostraciones publicadas (de hecho, en Gaussianos ya hemos publicado alguna, por ejemplo ésta, estas dos o ésta otra, algo menos trivial). Aunque posiblemente se conozcan muchas más, en 1927 el matemático estadounidense E. S. Loomis catalogó 367 demostraciones del teorema de Pitagoras en su libro The Pythagorean Proposition.

La demostración que os traigo hoy, al parecer descubierta por un inglés llamado Henry Perigal en 1874 (aunque en algunos sitios se le atribuye a Henry Dudeney) es de las que nos gustan a muchos, simple pero tremendamente descriptiva. Además, la simetría que presenta la construcción le da un toque de belleza que seguro que muchos de vosotros sabréis apreciar.

Demostración «simétrica» del teorema de Pitagoras

Comenzamos nuestra demostración dibujando un triángulo rectángulo, de lados , a partir del cual dibujamos tres cuadrados, cada uno de ellos sobre uno de los lados del triángulo. La cosa queda tal que así:

En esta situación, el teorema de Pitagoras nos dice que:

Como y son los lados de los tres cuadrados de la figura (además de ser los lados del triángulo), si demostramos que el área del cuadrado mayor (que es ) es la suma de las áreas de los otros dos (que son y ) tendremos demostrado el teorema. La brillante (a la par que bella) manera de hacer esto último es lo que, bajo mi punto de vista, hace que esta demostración sea especial.

Tomamos el cuadrado que aparece sobre el cateto mayor (en la figura anterior, el de lado ) y, por su centro (esto es, por el punto donde se cortan sus dos diagonales) trazamos un segmento paralelo a la hipotenusa del triángulo que corte a dos de los lados del cuadrado. Después trazamos un segmento perpendicular a éste que pase también por dicho centro hasta que corte a los otros dos. Nos quedaría lo siguiente:

Bien, la gracia de esto es que las cuatro partes en las que queda dividido dicho cuadrado son iguales. Y además podemos reconstruir el cuadrado mayor (el que está sobre , esto es, sobre la hipotenusa) con estas cuatro piezas y el cuadrado pequeño (el que está sobre el cateto ). ¿Cómo hacemos esto? Pues como puede verse en la siguiente figura:

Pienso que sería un buen ejercicio realizar la construcción en papel y recortar el cuadrado de lado y las piezas del cuadrado de lado para comprobar con nuestros propios ojos que podemos reconstruir con ellas el cuadrado de lado .

¿Qué hemos demostrado? Pues geométricamente acabamos de ver que el cuadrado mayor puede construirse con los dos cuadrados más pequeños; o lo que es lo mismo, el área del cuadrado construido sobre la hipotenusa es igual a la suma de las áreas de los cuadrados construidos sobre los catetos. Esto es, hemos demostrado el teorema de Pitagoras.

¿No os parece una demostración maravillosa?

Fuente:

• Pasiones, piojos, dioses…y matemáticas, de Antonio J. Durán.