Olimpiada Internacional de Matemáticas 2008 – Problema 4: Halla las funciones

Posted By on 19 de agosto de 2008 in Juegos | 6 comments

Cuarto problema de la Olimpiada Internacional de Matemáticas de 2008:

Hallar todas las funciones f: (0, \infty) \longrightarrow (0, \infty) (es decir, las funciones f de los números reales positivos en los números reales positivos) tales que

\cfrac{\left ( f(w) \right )^2 + \left ( f(x) \right )^2}{f(y^2)+f(z^2)}=\cfrac{w^2+x^2}{y^2+z^2}

para todos los números reales w,x,y,z que satisfacen wx=yz.

Author: ^DiAmOnD^

Miguel Ángel Morales Medina. Licenciado en Matemáticas y autor de Gaussianos y de El Aleph. Puedes seguirme en Twitter o indicar que te gusta mi página de Facebook.

6 Comments

  1. M

    19/08/2008

    En mi opinión, este era el más asequible de los seis.

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  2. Javier

    20/08/2008

    \displaystyle \frac{f(1)^2+f(1)^2}{f(1)+f(1)}=1 asi que f(1)=1

    \displaystyle \frac{f(1)^2+f(a)^2}{f(a)+f(a)}=\frac{1+a^2}{a+a}

    \displaystyle x=f(a), \frac{1+x^2}{2x}=\frac{1+a^2}{2a},\ a+ax^2=x(1+a^2)

    \displaystyle ax^2-(1+a^2)x+a=0, \ x=\frac{1+a^2\pm\sqrt{1+2a^2+a^4-4a^2}}{2a}

    \displaystyle x=\frac{1+a^2+1-a^2}{2a}=\frac{1}{a}

    \displaystyle x=\frac{1+a^2-1+a^2}{2a}=a

    Supongamos que f(a^2)=a^2

    \displaystyle \frac{f(1)^2+f(1)^2}{f(a^2)+f(a^{-2})}=\frac{2a^2}{a^4+1} asi que \displaystyle \frac{2}{a^2+f(a^{-2})}=\frac{2a^2}{a^4+1}

    \displaystyle 2a^4+2=2a^4+2a^2f(a^{-2}),\ f(a^{-2})=a^{-2}

    Analogamente demostrariamos que si \displaystyle f(a^2)=a^{-2}, \ f(a^{-2})=a^2

    Con lo que demostramos que las dos unicas funciones que cumplen las normas son f(x)=x y \displaystyle f(x)=\frac{1}{x}

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  3. M

    20/08/2008

    Javier, sí señor, la respuesta final es esa, aunque falta una cosa importante en tu razonamiento:

    Has demostrado que si a\succ 0 entonces se tiene que f(a)=a, o bien f(a)=\frac{1}{a}.

    ¿Por qué no puede darse el caso de que existan a,b\succ0 tales que f(a)=a y f(b)=\dfrac{1}{b}? De momento, tu razonamiento no excluye esta posibilidad.

    Para concluir que las dos únicas soluciones al problema son la función identidad y la función recíproca hay que aclarar esta cuestión.

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  4. Javier

    21/08/2008

    Si que lo he demostrado, puesto que he llegado a la conclusion de que si f(a)=a el unico resultado posible es f(b)=b usando el caso particular \displaystyle b=\frac{1}{a}

    Saludos

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  5. M

    21/08/2008

    Javier, sin ánimo de incordiar, debo decir que, tal cual lo has planteado, el problema aún no está completamente resuelto.

    Tu razonamiento no excluye una posible función «algo traviesa» que aplique x en x para algunos x’s, y x en \frac{1}{x} para otros valores de x en el complementario del conjunto anterior. Usar b=1/a como caso particular no demuestra nada en general (lo que has demostrado es que si para un cierto a se tiene que f(a)=a (resp. f(a)=a^{-1}), entonces f(a^{-1})=a^{-1} (resp. f(a^{-1})=a)).

    Por ejemplo, para el caso de la función identidad, en ningún momento has demostrado que si f(a)=a para un cierto a, entonces se tenga que f(x)=x, \forall x\succ 0. Y esto es lo que hay que probar.

    En otras palabras, debes demostrar que es imposible la existencia de a,b\succ 0 tales que f(a)=a y f(b)=\dfrac{1}{b}, siendo a,b reales positivos arbitrarios.

    Un saludo.

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  6. Javier

    21/08/2008

    Tienes razon

    Sea \displaystyle \frac{f(a)^2+f(b)^2}{f(1^2)+f(a^2b^2)}

    Para f(a)=a, f(b)=b es trivial que f(a^2b^2)=a^2b^2

    Si \displaystyle f(a)=\frac{1}{a},f(b)=\frac{1}{b}

    \displaystyle \frac{\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}}{1+f(a^2b^2)}=\frac{a^2+b^2}{1+a^2b^2}, \frac{a^2+b^2}{(a^2b^2)(1+f(a^2b^2)}=\frac{a^2+b^2}{1+a^2b^2}

    \displaystyle a^2b^2+a^2b^2f(a^2b^2)=1+a^2b^2,f(a^2b^2)=\frac{1}{a^2b^2}

    Si \displaystyle f(a)=a,f(b)=\frac{1}{b}

    \displaystyle \frac{a^2+\frac{1}{b^2}}{1+f(a^2b^2)}=\frac{a^2+b^2}{1+a^2b^2}

    si f(a^2b^2)=a^2b^2 la igualdad solo se cumple para b=1, y no para todo b

    si \displaystyle f(a^2b^2)=\frac{1}{a^2b^2}, \displaystyle \frac{\frac{a^2b^2+1}{b^2}}{\frac{a^2b^2+1}{a^2b^2}}=\frac{a^2+b^2}{1+a^2b^2}, a^2=\frac{a^2+b^2}{1+a^2b^2} que vuelve a ocurrir solo en b=1

    La demostracion para \displaystyle f(a)=\frac{1}{a},f(b)=b se haria de manera analoga

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