Cuarto problema de la Olimpiada Internacional de Matemáticas de 2008:
Hallar todas las funciones
(es decir, las funciones
de los números reales positivos en los números reales positivos) tales que
para todos los números reales
que satisfacen
.
Puedes utilizar código LaTeX para insertar fórmulas en los comentarios. Sólo tienes que escribir [latex]código-latex-que-quieras-insertar[/latex]
o$latex código-latex-que-quieras-insertar$.
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Y si los símbolos < y > te dan problemas al escribir en LaTeX, te recomiendo que uses los códigos html & lt; y & gt; (sin los espacios) respectivamente.
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En mi opinión, este era el más asequible de los seis.
Supongamos que
Analogamente demostrariamos que si
Con lo que demostramos que las dos unicas funciones que cumplen las normas son
y 
Javier, sí señor, la respuesta final es esa, aunque falta una cosa importante en tu razonamiento:
Has demostrado que si
entonces se tiene que 
, o bien 
.
¿Por qué no puede darse el caso de que existan
tales que 
y 
? De momento, tu razonamiento no excluye esta posibilidad.
Para concluir que las dos únicas soluciones al problema son la función identidad y la función recíproca hay que aclarar esta cuestión.
Si que lo he demostrado, puesto que he llegado a la conclusion de que si
el unico resultado posible es 
usando el caso particular 
Saludos
Javier, sin ánimo de incordiar, debo decir que, tal cual lo has planteado, el problema aún no está completamente resuelto. Tu razonamiento no excluye una posible función «algo traviesa» que aplique x en x para algunos x’s, y x en para otros valores de x en el complementario del conjunto anterior. Usar b=1/a como caso particular no demuestra nada en general (lo que has demostrado es que si para un cierto se tiene que (resp. ), entonces (resp. )). Por ejemplo, para el caso de la función identidad, en ningún momento has demostrado que si para un cierto , entonces… Lee más »
Tienes razon
Sea
Para
es trivial que 
Si
Si
si
la igualdad solo se cumple para b=1, y no para todo b
si
que vuelve a ocurrir solo en b=1
La demostracion para
se haria de manera analoga