Sucesión «imaginaria pura»

Publicado por ^DiAmOnD^ | 5 marzo, 2012 | Juegos, Números complejos | 12 |

Esta semana es hoy lunes cuando os traigo el problema semanal. Ahí va el enunciado:

Sea $i=\sqrt{-1}$ . Demostrar que

$\displaystyle{i^{i^{\cdot^{\cdot^{i}}}}}$

esto es, la sucesión $i, i^i, i^{(i^i)}, i^{(i^{(i^i)})},\ldots$ , es convergente (en $\mathbb{C}$ ), considerándose en la potenciación compleja

$u^v=e^{v \cdot ln(u)}$

como la rama principal del logaritmo.

No se pide dar una expresión cerrada del límite, sino demostrar la convergencia de la sucesión (vamos, que el límite existe).

Que se os dé bien.

Éste no es el problema de la serie Desafíos GaussianosyGuijarro. El viernes tendréis el primero de ellos.

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Sobre el Autor

^DiAmOnD^

Miguel Ángel Morales Medina. Licenciado en Matemáticas y autor de Gaussianos y de El Aleph. Puedes seguirme en Twitter o indicar que te gusta mi página de Facebook. También tengo un blog dedicado a las "escape rooms", por si te apetece pasarte: XRooMers.

Puedes utilizar código LaTeX para insertar fórmulas en los comentarios. Sólo tienes que escribir
[latex]código-latex-que-quieras-insertar[/latex]
o
$latex código-latex-que-quieras-insertar$ .

Si tienes alguna duda sobre cómo escribir algún símbolo puede ayudarte la Wikipedia.

Y si los símbolos < y > te dan problemas al escribir en LaTeX, te recomiendo que uses los códigos html & lt; y & gt; (sin los espacios) respectivamente.

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12 Comments

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Francis

05/03/2012 09:22

Bonito ejercicio. Para los interesados, el valor del límite se obtiene usando la función W de Lambert.

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Eder Contreras

05/03/2012 09:40

Que bonito problema, lástima que no poseo de las teorías necesarias para interpretar bien un número elevado a un complejo @_@

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Tito Eliatron

05/03/2012 12:35

^DiAmOnD^: Tal y como defines la recurrencia
$a_0=i,\quad a_{n+1}=(a_n)^i$ ,
el resultado es cícliclo:

$a_0=i$
$a_1=(a_0)^i=i^i=e^{i Log(i)}=e^{-\pi/2}$
$a_2=(a_1)^i=e^{i Log(a_1)}=e^{i\ln(a_1)}=e^{-i\pi/2}=-i$
$a_3=(a_2)^i=e^{i Log(a_2)}=e^{i(-i\pi/2)}=e^{/pi/2}$
$a_4=(a_3)^i=e^{i Log(a_3)}=e^{i\ln(a_3)}e^{i\pi/2}=i=a_0$

Creo que la definición correcta de la recurrencia sería ésta:
$A_0=i,\quad A_{n+1}=i^{A_n}$

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Bitacoras.com

05/03/2012 13:37

Información Bitacoras.com…

Valora en Bitacoras.com: Esta semana es hoy lunes cuando os traigo el problema semanal. Ahí va el enunciado: Sea . Demostrar que esto es, la sucesión , es convergente (en ), considerándose en la potenciación compleja como la rama principal del lo……

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gaussianos

Admin

05/03/2012 16:23

Cierto Tito Eliatron. YA está arreglado. Muchas gracias por el aviso 🙂

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05/03/2012 18:43

@Tito_Eliatron:

Efectivamente la sucesión es la siguiente

$a_0 = i ,\quad a_{n+1} = i^{a_n}$

Con lo que el resultado cíclico que muestras no es exactamente lo que sale en la sucesión…

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GOB

06/03/2012 14:20

Aporto la solución numérica.

0.438282936727032 + 0.360592471871385 · i

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Alriga

06/03/2012 18:35

Con un EXCEL y 300 iteraciones obtengo el mismo resultado numérico que GOB:
0,43828293672703 + 0,3605924718714 i
es decir, un módulo de 0,567555 y un argumento de 39,445464º
Pero ni idea de demostrar la convergencia.

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Ignacius

06/03/2012 21:35

En Oeis.org podeis ver la respuesta con más decimales:

La parte entera en: http://oeis.org/A077589

0.43828293672703211162697516355126482426789735164639460360922124049579153222269569…

Y la parte imaginaria en: http://oeis.org/A077590

0.36059247187138548595294052690600065382657703078602700474145129838046019521150773

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Sebastian Martin Ruiz

07/03/2012 11:09

Si llamo Y=i^i^i^i^i…… tenemos en el límite i^Y=Y. Por tanto i=Y^(1/Y) Hay que resolver esta ecuación de punto fijo.

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Ignacius

07/03/2012 17:29

En WolframAlfa.com podeis ver el desarrollo de 2 (i/pi) W(-i pi/2)

http://www.wolframalpha.com/input/?i=+2+%28i%2Fpi%29+W%28-i+pi%2F2%29&t=ietb01

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08/03/2012 17:07

Como bien ha dejado entrever Sebastián Martín Ruiz, se trata de verificar que la función $g(z)=i^z$ admite un punto fijo (en un determinado conjunto a determinar). Tenemos que

$g(z)=exp(i\frac{\pi}{2}z)=exp(-\frac{\pi}{2} Im\;z)\cdot exp(i\frac{\pi}{2}Re\;z)$ ,

y es directo comprobar que $g(z)$ aplica la semibanda $\{z/\; 0\leq Re\;z\leq 1,\;Im\;z\geq 0\}$ en el sector circular $\mathcal{W}=\{w/\;|w|\leq 1,\;0\leq Arg(w)\leq \frac{\pi}{2}\}$ . En particular, $g(\mathcal{W})\subseteq \mathcal{W}$ , siendo $\mathcal{W}$ cerrado y convexo. Del teorema del punto fijo de Brouwer para convexos y cerrados (http://en.wikipedia.org/wiki/Brouwer_fixed-point_theorem#Statement) se deduce la existencia de al menos un punto fijo $z$ para $g$ :

$\exists z\in \mathcal{W}:\;z=g(z)=i^z=i^{i^z}=i^{i^{i^z}}=\ldots=i^{i^{i^{i^{i^{\vdots}}}}}.$

(Por otra parte, dicho punto fijo es único en $\mathcal{W}$ como consecuencia del teorema de Denjoy-Wolff: http://en.wikipedia.org/wiki/Denjoy%E2%80%93Wolff_theorem#Statement).

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Tito Eliatron

13/03/2012 13:30

Denjoy-Wolf…

Me ha encantado esta demostración,.

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