Esta semana es hoy lunes cuando os traigo el problema semanal. Ahí va el enunciado:
Sea
. Demostrar que
esto es, la sucesión
, es convergente (en
), considerándose en la potenciación compleja
como la rama principal del logaritmo.
No se pide dar una expresión cerrada del límite, sino demostrar la convergencia de la sucesión (vamos, que el límite existe).
Que se os dé bien.
Éste no es el problema de la serie Desafíos GaussianosyGuijarro. El viernes tendréis el primero de ellos.
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Bonito ejercicio. Para los interesados, el valor del límite se obtiene usando la función W de Lambert.
Que bonito problema, lástima que no poseo de las teorías necesarias para interpretar bien un número elevado a un complejo @_@
^DiAmOnD^: Tal y como defines la recurrencia
,
el resultado es cícliclo:
Creo que la definición correcta de la recurrencia sería ésta:
Información Bitacoras.com…
Valora en Bitacoras.com: Esta semana es hoy lunes cuando os traigo el problema semanal. Ahí va el enunciado: Sea . Demostrar que esto es, la sucesión , es convergente (en ), considerándose en la potenciación compleja como la rama principal del lo……
Cierto Tito Eliatron. YA está arreglado. Muchas gracias por el aviso 🙂
@Tito_Eliatron:
Efectivamente la sucesión es la siguiente
Con lo que el resultado cíclico que muestras no es exactamente lo que sale en la sucesión…
Aporto la solución numérica.
0.438282936727032 + 0.360592471871385 · i
Con un EXCEL y 300 iteraciones obtengo el mismo resultado numérico que GOB:
0,43828293672703 + 0,3605924718714 i
es decir, un módulo de 0,567555 y un argumento de 39,445464º
Pero ni idea de demostrar la convergencia.
En Oeis.org podeis ver la respuesta con más decimales:
La parte entera en: http://oeis.org/A077589
0.43828293672703211162697516355126482426789735164639460360922124049579153222269569…
Y la parte imaginaria en: http://oeis.org/A077590
0.36059247187138548595294052690600065382657703078602700474145129838046019521150773
Si llamo Y=i^i^i^i^i…… tenemos en el límite i^Y=Y. Por tanto i=Y^(1/Y) Hay que resolver esta ecuación de punto fijo.
En WolframAlfa.com podeis ver el desarrollo de 2 (i/pi) W(-i pi/2)
http://www.wolframalpha.com/input/?i=+2+%28i%2Fpi%29+W%28-i+pi%2F2%29&t=ietb01
Como bien ha dejado entrever Sebastián Martín Ruiz, se trata de verificar que la función
admite un punto fijo (en un determinado conjunto a determinar). Tenemos que
y es directo comprobar que
aplica la semibanda 
en el sector circular 
. En particular, 
, siendo 
cerrado y convexo. Del teorema del punto fijo de Brouwer para convexos y cerrados (http://en.wikipedia.org/wiki/Brouwer_fixed-point_theorem#Statement) se deduce la existencia de al menos un punto fijo 
para 
:
(Por otra parte, dicho punto fijo es único en
como consecuencia del teorema de Denjoy-Wolff: http://en.wikipedia.org/wiki/Denjoy%E2%80%93Wolff_theorem#Statement).
Denjoy-Wolf…
Me ha encantado esta demostración,.