Sucesión «imaginaria pura»

Esta semana es hoy lunes cuando os traigo el problema semanal. Ahí va el enunciado:

Sea i=\sqrt{-1}. Demostrar que

\displaystyle{i^{i^{\cdot^{\cdot^{i}}}}}

esto es, la sucesión i, i^i, i^{(i^i)}, i^{(i^{(i^i)})},\ldots, es convergente (en \mathbb{C}), considerándose en la potenciación compleja

u^v=e^{v \cdot ln(u)}

como la rama principal del logaritmo.

No se pide dar una expresión cerrada del límite, sino demostrar la convergencia de la sucesión (vamos, que el límite existe).

Que se os dé bien.


Éste no es el problema de la serie Desafíos GaussianosyGuijarro. El viernes tendréis el primero de ellos.

Author: ^DiAmOnD^

Miguel Ángel Morales Medina. Licenciado en Matemáticas y autor de Gaussianos y de El Aleph. Puedes seguirme en Twitter o indicar que te gusta mi página de Facebook.

12 Comments

  1. Bonito ejercicio. Para los interesados, el valor del límite se obtiene usando la función W de Lambert.

    Post a Reply
  2. Que bonito problema, lástima que no poseo de las teorías necesarias para interpretar bien un número elevado a un complejo @_@

    Post a Reply
  3. ^DiAmOnD^: Tal y como defines la recurrencia
    a_0=i,\quad a_{n+1}=(a_n)^i,
    el resultado es cícliclo:

    a_0=i
    a_1=(a_0)^i=i^i=e^{i Log(i)}=e^{-\pi/2}
    a_2=(a_1)^i=e^{i Log(a_1)}=e^{i\ln(a_1)}=e^{-i\pi/2}=-i
    a_3=(a_2)^i=e^{i Log(a_2)}=e^{i(-i\pi/2)}=e^{/pi/2}
    a_4=(a_3)^i=e^{i Log(a_3)}=e^{i\ln(a_3)}e^{i\pi/2}=i=a_0

    Creo que la definición correcta de la recurrencia sería ésta:
    A_0=i,\quad A_{n+1}=i^{A_n}

    Post a Reply
  4. Cierto Tito Eliatron. YA está arreglado. Muchas gracias por el aviso 🙂

    Post a Reply
  5. @Tito_Eliatron:

    Efectivamente la sucesión es la siguiente

    a_0 = i ,\quad a_{n+1} = i^{a_n}

    Con lo que el resultado cíclico que muestras no es exactamente lo que sale en la sucesión…

    Post a Reply
  6. Aporto la solución numérica.

    0.438282936727032 + 0.360592471871385 · i

    Post a Reply
  7. Con un EXCEL y 300 iteraciones obtengo el mismo resultado numérico que GOB:
    0,43828293672703 + 0,3605924718714 i
    es decir, un módulo de 0,567555 y un argumento de 39,445464º
    Pero ni idea de demostrar la convergencia.

    Post a Reply
  8. En Oeis.org podeis ver la respuesta con más decimales:

    La parte entera en: http://oeis.org/A077589

    0.43828293672703211162697516355126482426789735164639460360922124049579153222269569…

    Y la parte imaginaria en: http://oeis.org/A077590

    0.36059247187138548595294052690600065382657703078602700474145129838046019521150773

    Post a Reply
  9. Si llamo Y=i^i^i^i^i…… tenemos en el límite i^Y=Y. Por tanto i=Y^(1/Y) Hay que resolver esta ecuación de punto fijo.

    Post a Reply
  10. Como bien ha dejado entrever Sebastián Martín Ruiz, se trata de verificar que la función g(z)=i^z admite un punto fijo (en un determinado conjunto a determinar). Tenemos que

    g(z)=exp(i\frac{\pi}{2}z)=exp(-\frac{\pi}{2} Im\;z)\cdot exp(i\frac{\pi}{2}Re\;z),

    y es directo comprobar que g(z) aplica la semibanda \{z/\; 0\leq Re\;z\leq 1,\;Im\;z\geq 0\} en el sector circular \mathcal{W}=\{w/\;|w|\leq 1,\;0\leq Arg(w)\leq \frac{\pi}{2}\}. En particular, g(\mathcal{W})\subseteq \mathcal{W}, siendo \mathcal{W} cerrado y convexo. Del teorema del punto fijo de Brouwer para convexos y cerrados (http://en.wikipedia.org/wiki/Brouwer_fixed-point_theorem#Statement) se deduce la existencia de al menos un punto fijo z para g:

    \exists z\in \mathcal{W}:\;z=g(z)=i^z=i^{i^z}=i^{i^{i^z}}=\ldots=i^{i^{i^{i^{i^{\vdots}}}}}.

    (Por otra parte, dicho punto fijo es único en \mathcal{W} como consecuencia del teorema de Denjoy-Wolff: http://en.wikipedia.org/wiki/Denjoy%E2%80%93Wolff_theorem#Statement).

    Post a Reply

Trackbacks/Pingbacks

  1. Bitacoras.com - Información Bitacoras.com... Valora en Bitacoras.com: Esta semana es hoy lunes cuando os traigo el problema semanal. Ahí va el…

Puedes utilizar código LaTeX para insertar fórmulas en los comentarios. Sólo tienes que escribir
[latex]código-latex-que-quieras-insertar[/latex]
o
$latex código-latex-que-quieras-insertar$.

Si tienes alguna duda sobre cómo escribir algún símbolo puede ayudarte la Wikipedia.

Y si los símbolos < y > te dan problemas al escribir en LaTeX te recomiendo que uses los códigos html & lt; y & gt; (sin los espacios) respectivamente.

Submit a Comment

Tu dirección de correo electrónico no será publicada. Los campos obligatorios están marcados con *

Este sitio usa Akismet para reducir el spam. Aprende cómo se procesan los datos de tus comentarios.