Segundo problema de la Olimpiada Internacional de Matemáticas 2016, celebrada en Hong Kong los pasados días 11 y 12 de julio.
Hallar todos los enteros positivos
para los que en cada casilla de un tablero
se puede escribir una de las letras
y
de manera que:
- en cada fila y en cada columna, un tercio de las caillas tiene
, un tercio tiene
y un tercio tiene
; y
- en cualquier línea diagonal compuesta por un número de casilla divisible por 3, exactamente un tercio de las casillas tiene
, un tercio tiene
y un tercio tiene
.
Nota: Las filas y las columnas del tablero
se numeran desde
hasta
, en su orden natural. Así, cada casilla corresponde a un par de enteros positivos
con
. Para
, el tablero tiene
líneas diagonales de dos tipos. Una línea diagonal del primer tipo se compone de todas las casillas
para las que
es una constante, mientras que una línea diagonal del segundo tipo se compone de todas las casillas
para las que
es una constante.
Si ya habéis visto la solución del problema en algún sitio, os agradecería que no la publicarais aquí, para así dar la posibilidad a los demás a resolverlo. Gracias.
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Os deseo que verifiquen si la siguiente conjetura es cierta:
Sea el conjunto
. Entonces
es infinito.
Por ejemplo:
$latex 3^{2}+4^{2}=5^{2}\\
3^{3}+4^{3}+5^{3}=6^{3}$
Si es válida, significa que en los naturales existiría una sucesión de llamadas «potencias perfectas» (que son los
).
Si
y
es un número entero mayor que
, entonces no existen números enteros positivos
(distintos) que cumplan la igualdad:
¿Que tiene qje ver eso con el.problema de la IMO?