Olimpiada Internacional de Matemáticas 2016 - Problema 2: I-M-O

Segundo problema de la Olimpiada Internacional de Matemáticas 2016, celebrada en Hong Kong los pasados días 11 y 12 de julio.

Hallar todos los enteros positivos $n$ para los que en cada casilla de un tablero $n \times n$ se puede escribir una de las letras $I,M$ y $O$ de manera que:

en cada fila y en cada columna, un tercio de las caillas tiene $I$ , un tercio tiene $M$ y un tercio tiene $O$ ; y

en cualquier línea diagonal compuesta por un número de casilla divisible por 3, exactamente un tercio de las casillas tiene $I$ , un tercio tiene $M$ y un tercio tiene $O$ .

Nota: Las filas y las columnas del tablero $n \times n$ se numeran desde $1$ hasta $n$ , en su orden natural. Así, cada casilla corresponde a un par de enteros positivos $(i,j)$ con $1 \le i,j \le n$ . Para $n > 1$ , el tablero tiene $4n-2$ líneas diagonales de dos tipos. Una línea diagonal del primer tipo se compone de todas las casillas $(i,j)$ para las que $i+j$ es una constante, mientras que una línea diagonal del segundo tipo se compone de todas las casillas $(i,j)$ para las que $i-j$ es una constante.

Si ya habéis visto la solución del problema en algún sitio, os agradecería que no la publicarais aquí, para así dar la posibilidad a los demás a resolverlo. Gracias.

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20/07/2016 00:08

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Rodrigo Javier Mercado Rojas

25/07/2016 00:31

Os deseo que verifiquen si la siguiente conjetura es cierta:

Sea el conjunto $K=\big\{n\in\mathbb{N}:(\exists a_{1},a_{2},\ldots,a_{n+1}\in\mathbb{N})(a_{1}\lt a_{2}\lt\ldots\lt a_{n+1}\land a_{1}^{n}+a_{2}^{n}+\ldots+a_{n}^{n}=a_{n+1}^{n})\big\}$ . Entonces $K$ es infinito.

Por ejemplo:
$latex 3^{2}+4^{2}=5^{2}\\
3^{3}+4^{3}+5^{3}=6^{3}$

Si es válida, significa que en los naturales existiría una sucesión de llamadas «potencias perfectas» (que son los $a_{n+1}^{n}$ ).

Si $n\in K$ y $m$ es un número entero mayor que $n$ , entonces no existen números enteros positivos $a_{1},a_{2},\ldots,a_{n+1}$ (distintos) que cumplan la igualdad:

$a_{1}^{m}+a_{2}^{m}+\ldots+a_{n}^{m}=a_{n+1}^{m}$

Aitor

Reply to Rodrigo Javier Mercado Rojas

25/07/2016 12:47

¿Que tiene qje ver eso con el.problema de la IMO?

Olimpiada Internacional de Matemáticas 2016 – Problema 2: I-M-O

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