Un problema (bueno, en realidad dos) sobre sumas de series:
Sea
, la n-ésima raíz positiva de la ecuación
. Estudiar la convergencia de las siguientes series:
y
Indicar el valor de dichas sumas en caso de convergencia.
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La primera serie, así a vuelapluma, es divergente, pues
, 
, por lo que 
, con lo que la serie 
tiene el mismo carácter que la serie armónica 
, es decir, DIVERGENTE.
De forma parecida, la segunda serie es CONVERGENTE, pues tendría el mismo carácter que la serie
, que es CONVERGENTE, ya que como 
, entonces 
y se tiene que 
.
Otra cosa es calcular la segunda suma, que ya no tengo ganas ni tiempo de ponerme… y además, que soy de Análisis, que con la existencia de la suma me conformo…
Para demostrar que la primera diverge habría que comparar sus términos con los términos de la serie armónica, que sabemos que sí diverge.
En el caso de la segunda habría que comparar sus términos con los de una progresión geométrica infinita de razón menor que 1 (|q|<1) para llegar a colegir que esa suma es menor o igual que la suma de la progresión, que como sabemos es a/(1-q)
Pero tengo sueños y pocas ganas de ponerme…
Es más, en este caso los x sub-ene están contenidos en la recta y=x.
En esencia, estoy de acuerdo con la idea de Tito Eliatron (exceptuando, claro está, «que ya no tengo ganas ni tiempo de ponerme… y además, que soy de Análisis, que con la existencia de la suma me conformo…» 🙂 ), pero la localización de los ceros en relación a sus índices debe ser:
Una pista, que espero no distraiga de otras posibles vías: los ceros positivos de
se relacionan con los ceros (no nulos) de la función 
.
Por otro lado, la función
tiene polos de orden uno sobre la semirrecta real positiva, en los valores 
en cuestion, y sus residuos, si no me equivoco, valen precisamente 
. ¿Tal vez alguna integración por contorno en el plano complejo?
Numéricamente, parece que
hernan, aunque tengas que hacer bastantes cálculos, seguramente la integración compleja te llevará a buen puerto.
Atacándolo un poco a lo bruto (a lo Euler), y aprovechando la sugerencia de M (bien razonable en esta manera de atacarlo) llego a que la suma da 1/10.
Lo verifico numéricamente (también a lo bruto… en perl!) y parece que da bien.
perfecto hernan, puedes indicar el razonamiento «a lo Euler»?
Ahí va: Tenemos que (Sí, cuidado con los ceros del coseno. Pero es fácil ver que en esos puntos no son solución del la ecuación) Nos interesan entonces los ceros (positivos) de la función Su serie de Taylor es $latex \displaystyle f(x) = ( x – \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} – \ldots ) – x \; ( 1 – \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} – \ldots ) = 2 \; \frac{x^3}{3!} – 4 \; \frac{x^5}{5!} + 6 \; \frac{x^7}{7!} \ldots $ Tiene un cero triple en el origen. Nos conviene entonces dividir por , para deshacernos de ese cero. Así nos queda esta… Lee más »
Me faltó el signo negativo en la anteúltima ecuación, el coeficiente cuadrático es negativo (tanto en la serie de Taylor como en la expansión).
Sí señor, hernan, precioso desarrollo. Aunque por su carácter poco riguroso no es una prueba en sí, me parece que cubre bastante las expectativas planteadas. Una prueba rigurosa de este estilo pasa por demostrar el desarrollo de la función compleja en producto infinito , lo cual exige ver que todos los ceros de se hallan sobre la recta real. Al aplicar el teorema de factorización de Weiertrass http://en.wikipedia.org/wiki/Infinite_product , obtenemos , siendo analítica, y habría que demostrar que la función . Dando por válido el valor de la suma (1/10), yo sólo he podido obtener que . En el caso… Lee más »
Como ya es viernes, escribo la solución «elemental real» que conozco al valor . A pesar de que el desarrollo es largo, creo que debo escribirla y espero que se entienda ya que creo que contiene aspectos bastantes interesantes. Los valores soluciones positivas de tienden a infinito y es conveniente dividir entre para hacer un estudio en . Por eso vamos a considerar previamente la ecuación , en , para . Teniendo en cuenta las asíntotas verticales, es fácil ver que el número de soluciones de la ecuación , en , es exactamente , . Llamemos a estas soluciones (notar… Lee más »
Hola, sè que esta fuera de tema pero necestito vuestra ayuda. Como pruebo que el K espacio vectorial de los polinomios de grado menor e igual a n, de un cuerpo K, no existe una base con todos sus vectores(polinomios) de grado n… De antemano gracias por su ayuda.
Sí existe tal base. Por ejemplo,
Vaya!! que no m habia fijado. Muchas gracias por la aclaraciòn Señor Domingo.
Bueno, la demostración de M es «elemental», pero sólo en cierto sentido 🙂 Yo intenté alguna generalizacion de la prueba 9 de http://www.maths.ex.ac.uk/~rjc/etc/zeta2.pdf , pero me parece terminaba en algo bastante equivalente a lo de M. Más allá de esto, anduve tratando de ver este problema como una generalización del problema de Basilea, pero a todo lo que llegué fue a este resultado más general, que no pasa de ser una conjetura: Consideremos la familia de funciones Son todas funciones de forma parecida a la («sinc function»), pares, continuas, casi periódicas. Sea el n-ésimo cero positivo de . Entonces, el… Lee más »
Bah, ahora que lo pienso, creo que mejor podría haber arrancado la recursión con
, 
Precioso, hernan! Intentaré estudiar el asunto en cuanto se pueda.
Como era de esperar, esa «familia de funciones» no resultó muy nueva que digamos: son funciones de Bessel (más precisamente, las esféricas denotadas
en la wikipedia ) salvo un factor (polo/cero en origen) que a la hora de considerar los ceros positivos no importan.