Tercer problema de la Olimpiada Internacional de Matemáticas 2016, celebrada en Hong Kong los días 11 y 12 de julio.
Sea
un polígono convexo en el plano. Los vértices
tienen coordenadas enteras y se encuentran sobre una circunferencia. Sea
el área de
. Sea
un entero positivo impar tal que los cuadrados de las longitudes de los lados de
es un entero divisible por
Si ya conocéis la solución porque la habéis visto publicada, lo ideal sería que dejarais a los demás intentar el problema. Muchas gracias.
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Según los foros de aficionados a las olimpiadas internacionales donde participan también antiguos concursantes y medallistas este es el problema más difícil con muchísima diferencia de la IMO 2016. No digo más. … a ver quien lo expone resuelto en castellano. ¡Suerte!
El 3 y el 6 siempre son los más difíciles…
Para mí el más difícil, por ahora, es el segundo, aún estoy dándole vueltas y nada. Este lo he resuelto casi sin hacer trampas (digo «casi», porque me hizo falta la fórmula de Herón, no la recordaba, no tenía ganas de deducirla, y la googleé). A lo mejor hay algo que estoy pasando por alto pero no creo. Primero he demostrado el enunciado para el caso de tres vértices, lo cual es muy fácil con la mencionada fórmula. Después lo he supuesto cierto para k-1 lados (k>3), y he demostrado que entonces también lo es para k, lo cual es… Lee más »
Me cito a mí mismo, y pongo en negrita lo que falta:
Primero he demostrado el enunciado para el caso de tres vértices, lo cual es muy fácil con la mencionada fórmula, sabiendo que el doble del área de cualquier polígono con coordenadas enteras es un entero.
Lo que me escama de mi demostración es que no entiendo por qué exigen que el polígono esté inscrito en una circunferencia, ni que sea convexo (para mi son datos irrelevantes). A lo mejor sí estoy pasando algo por alto…
Pues sí que estaba pasando algo por alto, para que mi razonamiento fuera válido, el cuadrado del segmento
tiene que ser un entero múltiplo de n, lo cual no se si es cierto o no (en las condiciones del problema, en general no lo es) pero ahora no veo la forma de demostrarlo, así que, de momento… bluf.
¿Hay algún polígono inscrito en una circunferencia que sea cóncavo?. ¿Si 2S es múltiplo de impar, puede ser que S no lo sea?
Si ABCD es un cuadrado (que obviamente es cíclico) entonces el polígono ACBD está inscripto en una circunferencia pero no es convexo.
Eso digo yo Oscar; cfreo que en el enunciado existen redundancias lógicas como las que señalas.
Un saludo
Lo de 2S no es redundante.
En las condiciones del problema, S puede no ser entero, pero 2S, siempre lo es (https://gaussianos.com/el-teorema-de-pick/)
Lo otro si es redundante, pero no es para tanto. Al fin y al cabo el enunciado primero dice que el polígono es convexo y DESPUÉS que está inscrito en una circunferencia.
Que buena idea recurrir al teorema de pick. Sin embargo dudo que la solución oficial vaya por ahi ya que no entra en los temas que entran en las IMO, y el problema no estará orientado en 2ese sentido. Aun así voy a probar porque es una camino interesante
Bueno en realidad mencione el teorema de Pick sólo porque me pareció la forma más inmediata de probar que 2S es entero, pero S no necesariamente. Pero no es difícil de probar por otros medios (al fin y al cabo sólo hay que probarlo para los triángulos).
Sabemos que la Fórmula de Herón nos dice (https://es.wikipedia.org/wiki/F%C3%B3rmula_de_Her%C3%B3n) Ahora imaginemos que la circunferencia sobre la cual se ubican los vértices el polígono esta centrada en el origen y tiene un radio , entonces la distancia de cada vértice al origen es . Luego dividimos el polígono de vértices en triángulos cada triangulo de lados , , . Ahora el Área total del polígono sera: Donde el área de cada triangulo formado por una arista del polígono y las distancias de los vértices adyacentes, al origen (seras iguales al radio de la circunferencia donde el polígono esta inscrito). Luego Ahora… Lee más »
Tienes un error cuando introduces el sumatorio, te tragas el cuadrado de Si
Uy! lo siento mucho, sí hay una falla en el razonamiento
Corregido quedaria:
Pero con esa expresion no puedes resolver el problema porque sabes que los cuadrados de los lados son divisibles por n, pero te quedas con los lados a secas asi que…
Lo he pensado y pensado, e incluso revisado una deducción de la Formula de Brahmagupta … y se me ocurre seria fácil digamos mecánico resolver este problema si se tuviera una formula general para el área de polígonos en base a la longitud de sus lados … de otra forma se usan esas deducciones entreveradas de divisibilidad de un numero y su modulo y demás, que siempre me han costado seguir. Nota: Si! existe una formula general para hallar el Área de un polígono regular o irregular en base a las coordenadas cartesianas (x, y) con determinantes, pero me refería… Lee más »
Jajaja todo mal en esa deducción, Vamos por otro lado hallemos el área del triangulo con base en el lado y los otros dos lados Donde la es y la es (por Pitagoras) Luego Entonces … Ahora me pregunto si sería condición suficiente para hallar un formula general del área de polígonos irregulares en base a las longitudes de sus lados, que el polígono este inscrito a una circunferencia. PD. Antes había la opción de una vista previa de lo que uno iba a subir para estar seguro que las formulas en estaban bien construidas, debo insistir esa opción era… Lee más »
Me pregunto como seria la formula para hallar el área de un pentágono irregular, viendo las formulas de Heron y Brahmagupta aparentemente hay un patrón.
Sea
el area del triangulo de lados 
, Formula de Heron y
el area del cuadrilatero de lados 
, Formula de Brahmagupta
Sea
o
o
Por ejemplo si son polígonos regulares (todos los lados iguales), sea
el área del polígono regular de tres lados, 
la longitud del el lado y 
el radio de la circunferencia circunscrita
Las formulas se transforman en:
He estado leyendo las sugerencias para las soluciones, y hay algo que no me cuadra. En alguna de las soluciones se divide el polígono en triángulos para calcular el área del polígono, pero obviamente esto sólo funciona si el centro de la circunferencia esta dentro del polígono, lo cual no es mencionado en el problema. ¿Estoy en lo cierto?
Viendo el área del polígono como la suma de los triángulos isósceles de bases m_i donde estos son los lados del polígono. Y otros dos lados R siendo este el radio de la circunferencia. Luego apliquemos el teorema de Herón para una de estas áreas. Se tendría q : (disculpa por la raiz q no sta completa) Ahora, m_(i )^ es de la forma nx_(i )^ donde n es el entero positivo impar. Luego: Luego para este entero positivo n existe un radio R tal q R=√n de donde: Luego: S= 2S= esto son solo ideas para resolver el ejercicio.… Lee más »
Lo primero disculparme por la notación, pero no manejo mucho el LaTeX. 1º Por tener los vértices coordenadas enteras el área del polígono es entera (usando la forma de Gauss mediante determinantes) 2º Por estar los vértices en una circunferencia existe un punto interior que nos sirve para dividir nuestra superficie en tantos triángulos como el número de lados (si no estuviesen en una circunferencia podría ocurrir que necesitase más triángulos u otros polígonos que el número de lados). 3º Tengo k triángulos de área Bi (B sub i) con base Li (L sub i) y altura Hi (H sub… Lee más »
Disculpadme, me acabo de dar cuenta de que los Corolarios son falsos. Debería decir:
La Suma de (Di x Ci) es racional.
Di es racional.
Que expreses Hi como Hi = Li x Ci no implica que Ci sea entero (o racional). De ahí tampoco se puede aplicar el criterio de divisibilidad, que solo se predica a enteros, a algo de la forma 2S = n x Suma (Di x Ci), puesto que tampoco es Di x Ci entero necesariamente (ni, por tanto, lo sería n x Suma (Di x Ci)).
Es cierto que no se ha resuelto el problema (Mi error es no haberlo dicho. Me di cuenta después).
Creo que con lo que he escrito si tenemos que:
– Di es entero (Por ser Li x Li divisible por n)
– Suma (Di x Ci) es racional ya que Suma (Di x Ci)=2S/n (S y n son enteros)
Faltaría poder comprobar que la suma es entera para poder probar el resultado. Aquí es donde entra en juego el Ci (que por supuesto no se que tipo de número es).
Gracias por tus puntualizaciones.
En una publicación de antes no tuve en cuenta lo del entero. Asi q he aquí mi solución definitiva. Sea A el área de un polígono con las condiciones del problema excepto q sus lados al cuadrado sean divisibles por un entero positivo impar. Creemos por homotecia un polígono B semejante al anterior con centro de homotecia en el eje de coordenadas, para que de esta forma las coordenadas de los vértices de B también sean enteras; y con razón de semejanza . Luego B es el polígono dado en el problema y su área sería S. Luego por homotecia… Lee más »
Perfecto.
Creo que puede demostrarse (MAXIMA mediante) que, tanto el doble del cuadrado del radio, como todas las diagonales del polígono al cuadrado son múltiplos de n.
A partir de esto la demostración es trivial.