Casi una semana después del comienzo de 2013 creo que ya iba siendo hora de proponer un problema relacionado de alguna manera con 2013. Ahí va:
Sea
el polinomio de grado menor o igual que
que verifica
siendo
y
,
, la sucesión de Fibonacci. Hallar
Que se os dé bien.
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[latex]código-latex-que-quieras-insertar[/latex]
o
$latex código-latex-que-quieras-insertar$.
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Y si los símbolos < y > te dan problemas al escribir en LaTeX, te recomiendo que uses los códigos html & lt; y & gt; (sin los espacios) respectivamente.
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Creo que lo tengo, pero tengo que plantear unos sumatorios. El truco creo que es la suma de 1005 términos cada uno de los cuales se anula para todos los valores diferentes de uno bien escogido, en este caso, cada uno de los números de la sucesión de Fibonacci que nos dan. Para 1008: (x-1007)(x-1009)…(x-2012)F_1008/(1*(-1)*(-2)*…*(-1004)) que no se anula para x=1008 y produce F_1008, los otros términos, que contienen (x-1008) como factor, se anulan, por ejemplo, (x-2008)(x-2009)… y (x-2007)(x-2008)(x-2010)…
Con este polinomio, cuando x=2013 me sale que vale la suma de F_1007+F_2008+…+F_2012
Los diferentes términos son polinoios de grado 1004
La suma no es la que digo. La dejo para los demás. En fin…
Planteemos el problema en forma más general: P(n) = F(n) para n = k+1, k+2, …, 2k. Averiguar el valor de F(2k+1). El polinomio será de grado k-1. 1) Los valores del polinomio para n entero forman una progresión aritmética de orden k-1. 2) las diferencias sucesivas de la serie de Fibonacci son la misma serie de Fibonacci desplazada 2 lugares ya que F(h)-F(h-1) = F(h-2). 3) Es fácil ver que para una serie de F(h) sucesivos con h par la última diferencia será F(2) las anteriores serán F(3) y F(4), las anteriores F(4), F(5) y F(6) y así sucesivamente.… Lee más »
JJGJJG
No sé si me he confundido yo, o algo falla en tu resultado final.
He tomado el caso para n=3,4,5 y quiero resolverlo para n=6
p(x)=ax2+bx+c
p(3)=9a+3b+c=F(3)=2
p(4)=16a+4b+c=F(4)=3
p(5)=25a+5b+c=F(5)=5
me sale a=1/2, b=-5/2, c=5
y
p(6)=36a+6b+c=18-15+5=8=F(6) y no F(6)-1
He visto que lo planteaba mal (no empiezo de la mitad + 1) y he repetido los cálculos para n=4,5,6 y la ecuación que me sale tiene la misma solución y
p(7) = 49/2 – 35/2 + 5 = 12 = F(7) – 1
Lo primero que se me ocurre es intentar determinar el polinomio de interpolación por diferencias divididas de Newton (ya que es la forma menos engorrosa de determinarlo) a ver que sale…
También escribiendo un programa que lo calcule o usar mathematica o alguno similar, para ver si se simplifican los cálculos
Del proceso descrito en mi anterior comentario se desprende esta ley general. Si elegimos cualquier secuencia consecutiva de números de Fibonacci desde F(i) hasta F(j) y obtenemos el polinomio (DE MENOR GRADO POSIBLE) P(x) tal que P(n) = F(n) para n desde i a j, el valor de p(j+1) es F(j+1) para j impar y F(j+1)-1 para j par. Realmente el grado del polinomio debe se precisamente j-i. Con un grado menor no hay polinomio que cumpla las condiciones y con un grado mayor el valor de P(j+1) puede tener cualquier valor elegido arbitrariamente además de los citados F(j+1) y… Lee más »
Me parece curioso que el mismo ejemplo (por ahora no generalizado) que he resuelto, n=3,4,5 genere p(6)=F(6). Diamond, ya tienes un posible ejercicio para el 2014
Usando la definición de la sucesión de Fibonacci y usando la fórmula de Newton en diferencias divididas se obtiene:
luego
Efectivamente, también se puede ver planteándolo como un problema de interpolación, y de paso lo ponemos un poquillo más general (esperando no colar demasiados gazapos). Interpolando mediante diferencias divididas y utilizando , no cuesta mucho trabajo ver que el polinomio de grado a lo sumo que cumple se puede escribir de donde vemos que, puesto que , $latex F_{m+p}=\displaystyle\sum_{i=0}^p \left( \begin{array}{l} p\\ i \end{array} \right)F_{m-i}$. Ahora queremos evaluar , que sale, sustituyendo en el polinomio, $latex P(m+k+1)=\displaystyle\sum_{i=0}^k \left( \begin{array}{c} k+1\\ i \end{array} \right)F_{m-i}$ y comparando con la anterior expresión para vemos que . Tomamos ahora los valores particulares y tenemos… Lee más »
Otra prueba:
como se ha dicho ya, vamos a probar en general que
«Para todo
, si 
es el polinomio de grado menor o igual que 
que interpola 
, 
, entonces 
.»
Para
, 
y el enunciado es inmediato. Supongamos cierta la propiedad para 
, es decir, el polinomio 
que interpola 
, 
, verifica 
.
Entonces, tenemos que los polinomios
y 
son iguales, por tener ambos grado menor o igual que 
, y coincidir al menos sobre 
valores (en concreto, sobre 
). Luego, 
, y evaluando en 
se tiene por las condiciones de interpolación y la hipótesis de inducción que
La variante que propone Juanjo Escribano para los números pares, es decir,
«Para todo
, si 
es el polinomio de grado menor o igual que 
que interpola 
, 
, entonces 
»
(planteó el caso
) se prueba exactamente siguiendo los mismos pasos.
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