El problema de esta semana es el siguiente:
Halla el valor de la parte entera de la siguiente suma:
Corto pero seguro que interesante. Ánimo.
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Parte entera y 2010
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Valora en Bitacoras.com: El problema de esta semana es el siguiente: Halla el valor de la parte entera de la siguiente suma: Corto pero seguro que interesante. Ánimo. Comparte este artículo: Artículos relacionadosSumando hasta 2010 Formando 2010 F……
Creo que hay problemas con el plug-in de TeX. Por ello sólo pondré el resultado final de mis cuentas:
.
El paso clave de mi solución estuvo en el establecimiento de la desigualdad
es un natural mayor que 
cuando
JHS, creo que tu resultado no es correcto, tal como se lee, éste es menor que 2^1006, sin embargo, si tomamos el elemento más pequeño del sumatorio
1/sqrt( 2010^2010 )
y lo multiplicamos por el número de sumandos (2010^2010) nos da
7.5e+3016
un valor muy superior a tu solución.
Así haciendo la cuenta a ojo, creo que la solución debe ser como los primeros 3500 dígitos de Pi o algo así.
Pero le estoy dando vueltas y no veo por donde cogerlo, incluso hacer acotaciones se hace complicado con semejante número…
¡Buf!
«si tomamos el elemento más pequeño del sumatorio
1/sqrt( 2010^2010 ) y lo multiplicamos por el número de sumandos (2010^2010) nos da 7.5e+3016…»
Me temo que son tus cuentas las que andan un poquito mal, J. J.
Tienes razón, es
pero para el caso lo mismo ¿no?.
Hay que decir que josejuan lleva razón cuando indica que el resultado no es correcto. No obstante, se trata de una errata menor en el valor indicado.
Creo, josejuan, que lo que has querido escribir es : 2(2010^1005-1)
Que es tanto como decir que estoy equivocado. Por supuesto no me importa, lo que no entiendo es en dónde, porque la acotación inferior parece clara, ¿no debería ser el resultado mucho mayor incluso que 5.1e+3319?
Perdon, mi comentario anterior estaba dirigido a J H S
Igual estoy en el «País de las maravillas» (y todo lo veo al revés), pero la solución de JHS es
que cláramente es inferior a
(de hecho en tan sólo 2 unidades) y ésta a su vez es muchísimo menor que mi (bien pobre sea dicho de paso) acotación inferior de la solución
por favor, que alguien me explique mi error porque de tan sencillo que me parece (la pobre acotación) no lo veo.
Ok JJGJJG, eso cuadra más, porque entonces el valor solución es
que está justo por encima de mi acotación.
Buenos Días Este post, no aporta nada nuevo; sólo pretende exponer la solución ya dada de una manera evidente. Considerada como serie infinita, la serie con termino general no es convergente, por lo que a lo único que se puede aspirar es a realizar la suma para un número finito de términos como es el caso. Teniendo en cuenta el significado de la integral definida de una función se cumple la siguiente desigualdad: Resolviendo las integrales definidas Esta acotación se puede modificar un poco eliminando las igualdades de la misma. En el caso… Lee más »
Fantástico, aunque no veo de qué propiedad han salido las primeras inecuaciones (o si han sido hechas «a ojo»), lo más que llego a recordar es el criterio de cauchy para testear la convergencia.
Es decir, ¿de dónde/porqué han salido esas acotaciones?.
¡Gracias!
Buenos Días Me acabo de dar cuenta de que he cometido un pequeño error al considerar los límites de integración de la segunda integral. La expresión debía haber sido la siguiente: Resolviendo las integrales definidas Esta acotación se puede modificar un poco eliminando las igualdades de la misma. Lo cual se puede hacer debido a que al aumentar el número de terminos sumados siempre aumentamos la diferencia entre el segundo y el tercer termino de la desigualdad. Ahora ya podemos deducir que, el sumatorio considerado está entre y ; y como se solicita… Lee más »
Vale, vale, ¿para qué entonces añadir 1/sqrt(n) a la acotación inferior?.
Que fácil es cuando alguien te lo pone delante de las narices…
Buenos Días La integral de Riemann para una función real de variable real positiva en un intervalo se define como el valor común del súpremo de las posibles sumas inferiores y el ínfimo de las posibles sumas superiores de la función en un intervalo, si tal valor común existe. Si no existe tal valor común, la función no es integrable en el sentido de Riemann en ese intervalo. Una suma inferior, no es otra cosa que un conjunto de bloque verticales, que cubren, sin exceder, el máximo del área de la función en el intervalo considerado. Cuanto más pequeño… Lee más »
Buenos Días
, y es monótona decreciente. Si considero bloques verticales con base de anchura 1 y altura 
, en el intervalo [1,n] puedo cubrir con exceso el área entre la función y el eje en este intervalo por un conjunto de n-1 bloques:
Nuestra función es
Para completar el sumatorio del alado derecho de la expresión, al que pretendo acotar, sumo a ambos lados de la expresión en termino que te causa dudas:
Espero haberte resuelto la duda.
Un Saludo
¡Impecable!
¡Gracias!
Josejuan,
al lado izquierdo de la desigualdad. Con el objeto de que fuese más visible el origen de la desigualdad preferí sumar el termino, y realizar la acotación de una manera más ajustada al principio.
No sé si te habrás dado cuenta de que podía haber realizado la acotación sin necesidad de sumar el termino
Un saludo
Sí Antonio, lo has dejado realmente claro, de hecho es bastante básico (prácticamente y como indicas, la construcción de la integral de Riemann), pero entre lo oxidado y torpe que estoy me ha venido fantástica tu explicación.
¡Gracias!
También se puede llegar a las acotaciones de J.H.S. y AntonioQD teniendo en cuenta que
(para lo cual únicamente hace falta racionalizar los radicales).
@JJGJJ: Tienes razón, hombre… ¿Cómo pudé haberme equivocado ahí? El 2 dentro del paréntesis en mi primer post debe cambiarse por 2010.
Saludos a todos.