Las lúnulas de Hipócrates

Introducción

Hipócrates de Quíos fue un matemático griego que vivió en el siglo V a.c. Es famoso en la historia de la geometría por los siguientes hechos:

• Proclo en el llamado sumario de Eudemo dice que fue el primero en escribir unos Elementos.
• Redujo el problema de la duplicación del cubo al problema de hallar dos medias proporcionales.
• Redujo el problema de la cuadratura del círculo al problema de cuadrar determinadas lúnulas y demostró que determinadas lúnulas son cuadrables.

Una lúnula es la superficie que queda al quitar de un segmento de círculo otro con la misma base, es decir la superficie entre dos arcos de circunferencia cuando éstos están situados formando una figura no convexa. Llamamos arco exterior al arco de mayor longitud.

Las proposiciones y demostraciones de Hipócrates nos han llegado a través de la transcripción por Simplicio de pasajes de Eudemo de Rodas y Alejandro de Afrodisias. Esos resultados son los expuestos a continuación, sin las demostraciones (y con una lúnula añadida):

Lúnulas con arco exterior igual a una semicircunferencia

Alejandro de Afrodisias expone los siguientes resultados.

Figura 1. La lúnula que se obtiene al dibujar una semicircunferencia sobre un lado de un cuadrado inscrito en una circunferencia es igual a la cuarta parte del cuadrado.

Figura 2. La lúnula que se obtiene al dibujar una semicircunferencia sobre un lado de un hexágono regular inscrito en una circunferencia es igual a la sexta parte de la diferencia entre el hexágono y un círculo cuyo diámetro es uno de los lados del hexágono.

Lúnulas con arco exterior mayor que una semicircunferencia

Eudemo de Rodas, después de la lúnula 1 anterior, nos da la siguiente:

Figura 3. Construimos un trapecio con razón entre la base y los otros lados. Circunscribimos una circunferencia al trapecio y sobre la base construimos un segmento de círculo semejante a los segmentos sobre los otros lados. Entonces la lúnula que resulta es igual al trapecio.

Figura 4. Este caso no aparece en Simplicio. La lúnula obtenida al reflejar sobre un lado uno de los segmentos del círculo circunscrito a un triángulo equilátero es la tercera parte del la suma del círculo y dos veces el triángulo.

Lúnulas con arco exterior menor que una semicircunferencia

El fragmento de Eudemo concluye con la exposición de los resultados de Hipócrates sobre dos lúnulas con arco exterior menor que una circunferencia.

Figura 5. Sea una circunferencia con centro B y radio BA. Trazamos por el punto medio de BA una perpendicular GD y por A una recta que corte a esa perpendicular en D y a la circunferencia en C de forma que .
Sea E el simétrico de C respecto a GD.

La lúnula que se obtiene formando los arcos CBAE, CDE es igual a la figura pentagonal rectilínea ABCDEA.

Figura 6. Sean M,L,N vértices consecutivos de un hexágono regular inscrito en una circunferencia de centro O. Prolongamos ON hasta OS de forma que . Prolongamos OM, OL hasta U, T, en la circunferencia de centro O y radio OS.
Construimos sobre US un segmento de círculo semejante al segmento ML del círculo circunstrito.

La lùnula entre el arco UTS y ese segmento es igual al triángulo UTS más el hexágono MLN menos el círculo circunscrito a ese hexágono.

Conclusiones e historia posterior

Las lúnulas 1,3,5 son equivalentes a figuras rectilíneas construibles. (Con regla y compás, aunque la figura 5 es construida por Hipócrates como se ha expuesto).Y como las figuras rectilíneas son cuadrables, existen lúnulas cuadrables.

Por otro lado las lúnulas 2,4,6 son la suma o diferencia de un círculo y figuras rectilíneas. Por tanto si podemos cuadrar una de esas lúnulas podemos cuadrar el círculo, y viceversa. Podemos llamar a esas lúnulas cuadradoras. (De éstas, el fragmento de Eudemo solo atribuye a Hipócrates la lúnula 6)

Hoy sabemos que no puede haber una lúnula a la vez cuadradora y cuadrable, como pudo pensarse hace más de 2400 años.

El comentario de Simplicio con los resultados de Hipócrates pasó desapercibido hasta 1870 y solo se conocía de Hipócrates la lúnula de la figura 1.

En el siglo XVIII se redescubrieron las lúnulas de las figuras 3 y 5 y otras dos lúnulas cuadrables, haciendo un total de 5 lúnulas cuadrables, descritas en «Recreations in Mathematics…» de Montucla-Ozanam, o en Mathpages

Y finalmente en el siglo XX se demostró que esas 5 son las únicas lúnulas cuadrables.

Este artículo es una colaboración enviada por Fede a gaussianos (arroba) gmail (punto) com. Si estás interesado en colaborar con Gaussianos envíanos tu propuesta a estas dirección de email.