Joan nos envía este problema que al parecer se planteó en las Oposiciones de 2008 en la Comunidad de Madrid. Nos pide ayuda para una amiga suya. Ahí va:
Con dados de 1 cm de arista se construye un cubo sólido de 4cm de arista y se pinta de negro toda la superficie del cubo así construido. Se deshace el cubo y cogiendo los dados al azar sin mirarlos se construye de nuevo. Calcular la probabilidad de que en el nuevo cubo figure, al menos, una cara blanca.
Vamos a por él.
¿Te ha gustado la entrada? Puedes invitarme a un café, Gauss te lo agradecerá 😉
Información Bitacoras.com…
Si lo deseas, puedes hacer click para valorar este post en Bitacoras.com. Gracias….
Partamos de saber cuántos minicubos y con qué caras hay (para esto, un Rubik 4×4 ayuda bastante) Habrá 8 vértices, luego habrá 8 cubos con 3 caras negras (nigún par diametralmente opuesto) y 3 blancas. Habrá 16 aristas no vértices, luego habrá 16 cubos con 2 caras negras (no diametralmente opuestas) y 4 blancas. Habrá 24 minicubos centrales en las caras (los 4 centros de cada cara), luego habrá 24 cubos con 1 única cara negra y el resto blanca. Por último, habrá 8 minicubos interiores, que serán enteramente blancos. Mi propuesta de atacar este problema sería, FIJAR una cara… Lee más »
Tito: si no me equivoco, la probabilidad de que una cara del cubo quede blanca es independiente de que quede blanca la cara opuesta, pero no ocurre esto con las caras adyacentes, pues en este último caso se comparten dados entre ambas caras. Por tanto, creo que multiplicar por 6 no vale (imagino que de aquí viene la dificultad del problema).
Son 24 aristas.
Son 12 aristas
En un primer cálculo (sin garantías) me sale que la probabilidad es ésta:
Básicamente lo que he hecho es considerar que cada tipo de pieza tenga que ir es su sitio y con la orientación adecuada para volver a formar un cubo completamente negro.
La probabilidad de que alguna cara sea blanca será su complementario (de ahí el 1 – …).
Como dice Pakito, son 12 aristas.
Y como creo que quería decir Luis, son 24 minicubos de aristas (con dos caras negras cada uno).
Total: 8 minicubos vértices + 12*2=24 minicubos aristas + 24 minicubos de centros de caras + 8 minicubos interiores = 64 = 4*4*4
Que yo sepa, un cubo tiene 8 aristas.
Como cada arista tiene longitud = «4 minicubos», sólo 2 de ellos están «en medio», luego habrá 8×2=16 minicubos-aristas
CReo.
Tito, por favor, que son 12 !
http://es.wikipedia.org/wiki/Cubo
Caras + Vertices = Aristas + 2
Además te he puesto la suma para que veas que con mis cuentas sí coincide con el total de minicubos.
Las 12 aristas son: 4 lados de un cuadrado (suelo), 4 lados de otro cuadrado (techo) y 4 columnas (para que el techo quede sostenido sobre el suelo, que si no se cae). Ahora ves las aristas que olvidaste ¿no?
Tito, por favor, que son 12 !
http://es.wikipedia.org/wiki/Cubo
Caras + Vertices = Aristas + 2
Además te he puesto la suma para que veas que con mis cuentas sí coincide con el total de minicubos.
Las 12 aristas son: 4 lados de un cuadrado (suelo), 4 lados de otro cuadrado (techo) y 4 columnas (para que el techo quede sostenido sobre el suelo, que si no se cae). Ahora ves las aristas que olvidaste ¿no? xD
Tito, son 12 aristas: http://es.wikipedia.org/wiki/Cubo
Al colocar un cubo cualquiera en una posición aleatoria, este irá con probabilidades:1/8 a la esquina, 3/8 a la arista, 3/8 al centro de la cara y 1/8 al interior. Cada cubo se puede orientar de 24 maneras distintas. Vamos a ver la probabilidad de que salga otro cubo negro. Un cubo vértice original vuelve al vértice con p=1/8. Nos valen 3 orientaciones de 24. Total 1/64. Como hay 8 cubos vértice p=(1/64)^8 = 2^(-48). Un cubo arista vuelve a la arista con p=3/8. Nos valen 2 orientaciones de 24. Total 1/32. Para 24 aristas p=(1/32)^24 = 2^(-120). Un cubo… Lee más »
Permitidme corregir mi estimación, las orientaciones no estaban bien:
Luis, en tu estimación me parece que no tienes en cuenta que una vez colocada bien una pieza las demás piezas ya no tienen la misma probabilidad de colocarse en el sitio correcto. Me parece que estamos ante variaciones, que es lo que he utilizado yo.
https://gaussianos.com/%c2%bfcuantos-videos-caben-en-youtube-la-respuesta-esta-en-la-combinatoria/
En un primer cálculo, y con altas probabilides de error, llego a algo muy parecido (si no igual) a lo de Asiel:
Correcto Asier
Me ha entrado la duda: «al menos una cara blanca» puede interpretarse de varias formas. Puede significar que el nuevo cubazo no sea todo negro… (como todos creo que hemos supuesto en una primera impresión)
Pero «una cara blanca» también puede ser una cara de cubazo 4x4x4, en lugar de una cara de cubito…
PD: Puse otro comentario en respuesta a Tito (son 12 aristas), pero como puse un enlace debe estar en moderación.
¿Habéis tenido en cuenta que un cubo-esquina del primer cubo, por ejemplo, puede aparecer en cualquier posición en el segundo, incluso ser un cubo interior?
Luis, Asier, Creo que serían Permutaciones con Repetición ¿verdad? (o también interpretable como variaciones con repetición) Si llamamos V, A, C, I (= Vértices, Aristas, Centros e Interiores) Para que fuese todo negro, primero nos tiene que tocar el boleto: VVVVVVVVIIIIIIIIAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAA (Es decir, 8 vértices han caido en 8 posiciones de vértice, 8 interiores en el interior y 24 aristas en aristas… por verlo de una de las posibles maneras) Y luego, suponiendo que cayeron así, también se tendría que cumplir que cada cubito con algo de negro esté en una de las posiciones válidas. Como dijo Luis, son: 3… Lee más »
Perdón, era Asier (no Asiel).
Me uno a la duda de Acid.
Y confirmo que mi solución es igual a la de Asier.
Perdón, también es igual a lo de Asier, qué despiste (al reordenar potencias de 3 y de 2 me olvidé de que es igual).
Nótese que lo que hemos calculado es «lo fácil» pero la interpretación que hemos hecho todos puede no ser la adecuada… El enunciado dice: «en el nuevo cubo figure, al menos, una cara blanca.» Está claro que el nuevo cubo es el de 4x4x4 … y «una cara blanca» se puede interpretar con bastante razón como una cara del «nuevo cubo», el cubazo, no los cubitos!!! mmmmm
Convengamos en que la interpretación alternativa es razoblable, dado el enunciado, y la probabilidad pedida parece tener más sentido práctico (la otra da un valor ridículamente alto, del orden de 1 – 10e-90) pero torna al problema bastante engorroso, por no decir desesperadamente complicado.
Una estimación rápida (muy grosera, incorrecta, como si las caras fueran independientes y se extrajeran con reposición; pero que acaso tire un orden de magnitud razonable) me da p~0.06
Haber que os parece esto:
Calculamos la probabilidad de que al escoger 1 cara al azar de cualquier «minicubo» salga blanca:
Tenemos:
-(2×2 cubos x 6 caras) 24 cubos por
cara pintada de negro.
-(12 aristas x 2 cubos) 24 cubos por
caras pintadas de negro.
-(8 vertices x 1 cubo) 8 cubos por
caras pintadas de negro
Asi la probabilidad será:
Con lo que tenemos que:
Salu2
Modifico mi anterior respuesta:
La probabilidad de:
P(16 Caras Blancas) = P(1 Cara Blanca)^16 = 0,152243 %
Salu2
Mellon: tu autocorrección está bien, pero hay otros errores. 1. La probabilidad de que una «minicara» cualquiera sea blanca puede ser calculada más simplemente, contando el número total de minicaras negras (16 x 6) y el total de minicaras (64 x 6). Entonces P(1 mini cara blanca ) = 3/4 2. La probabilidad de que una «gran cara» sea blanca sería PCB=(3/4)^16 ~ 0.01 si los eventos fueran independientes. No lo son en este caso. Podemos tomarla como simple aproximación (sin garantías de que sea buena aproximación; yo intuyo que es razonablemente buena). 3. Eso no responde la pregunta del… Lee más »
Desdigo parte de lo dicho:
Con lo que la probabilidad (creo) que definitivamente es:
P(16 Caras Blancas) = 0,75^16 = 1,002 %
¿Ahora si no? xD
Salu2
@hernan
Tienes razon no había tenido en cuanta que fuese un succeso dependiente.
Salu2
Numero de dados = 64 Cada dado lo puedo orientar de 24 formas distintas Calculo la probabilidad de que todos sean negros Nº Casos posibles = 24*64! Para los casos favorables: Centro cara = 24!*8 vértices = 8!*3 Centro de una arista = 24!*2 Centro = 8!*24 Casos favorables = producto de los anteriores Aplicamos Laplace y sale la probabilidad de todos negros La probabilidad de que no todos sean negros es igual a la probabilidad de que al menos uno sea blanco (en este razonamiento tengo mis reservas), luego: P = 1- ((8*3*2*24*24!*24!*8!*8!)/(24*64!)) Decidle a la amiga que en… Lee más »
Hay 8 dados de 3 caras pintadas, con probabilidad = 3/6. (vertices)
Hay 16 dados de una sola cara pintada, con probabilidad = 1/6. (centro)
Hay 24 dados de dos caras pintadas, con probabilidad = 2/6. (aristas)
entonces:
Asier (15:33) da el resultado correcto.
Solución «informática». En el siguiente mensaje pondré otra más matemática, con el mismo resultado. Pongo primero esta porque fue la que obtuve primero, y la que me permitió llegar a la otra. Supongamos que el dado final (el grande) está formado por 8 celdas, y que cada celda puede tener 8 posiciones diferentes (según como esté orientado el dadito de esa posición). Cada una de estas posiciones se puede codificar con un número de 3 bits (un número binario de 3 dígitos, para los no informáticos). Todas las codíficaciones que se pueden hacer con 3 bits, tendrían un equivalente único… Lee más »
Sive, así a primera vista no veo dónde tienes en cuenta que hay 4 tipos de dados: los que no tienen ninguna cara negra (8), los que tienen una (24), dos (24) y tres (8).
Solución matemática. No lo voy a demostrar todo en este caso porque algunas cosas son cuestión de tomar un dado real y ver que son ciertas, y explicarlas por escrito me llevaría demasiado y ensuciaría la demostración. Supongamos que los daditos ya están unidos formando un dado grande, pero que podemos girarlos libremente para formar cada una de las combinaciones. Dado que así todas las combinaciones son igual de probables el problema es equivalente a desarmar el dado y volverlo a armar. En un dadito cualquiera (por ejemplo, el dadito de la esquina inferior-izquierda de la cara frontal), se cumple… Lee más »
Asier, un dadito que ocupa una posición concreta en el dado final sólo se puede colocar de una forma para que tenga sus tres caras exteriores negras, de 3 formas de modo que sólo dos sean negras, de 3 formas para que solo una sea negra, y sólo de una forma para que sus tres caras sean blancas. No sé cual es tu razonamiento pero el hecho de que yo obtenga 1-3-3-1, y tú 8-24-24-8 (justo 8 veces más), me hace pensar que estás considerando variaciones que son sólo rotaciones y que yo reduzco al mismo caso. Con mi razonamiento… Lee más »
No entiendo tu razonamiento, Sive.
No se trata de maneras de contar, ni de rotaciones.
El cubo grande está compuesto de 4^3 = 64 cubitos. Al pintar las caras exteriores del cubo grande de negro, resulta que los 64 cubitos quedan clasificables en los cuatro grupos que bien dice Asier: ninguna cara negra (8), una (24), dos (24) y tres (8). Rearmar el cubo grande significa considerar que cualquiera de estos 64 cubitos puede ir a parar a cualquier lugar ¿No estás de acuerdo con esto, o estamos hablando de problemas diferentes?
Ah! lo siento, leí mal. Creía que era un cubo de 2x2x2, ocho cubitos.
Ya decía yo que me resultó demasiado fácil…
Me uno ahora a la discusión.
Me parece un problema muy interesante. Aunque veo que ya está resuelto (véase el anterior comentario de Manuel), quiero dedicarle un tiempo a pensarlo.
De todas formas, quería aportar lo siguiente: por intuición, SIN DUDA, resultará más sencillo enfocar el problema como P(alguna cara blanca) = 1 − P(todas las caras negras).
Aunque los sucesos no sean independientes, siempre es más fácil calcular la probabilidad de una intersección que de una unión de sucesos (sobre todo, cuando se trata de más de dos sucesos y NO son INCOMPATIBLES entre sí).
VINCENT, lo contrario de «AL MENOS 1 CARA BLANCA» es «En todas las caras haya un minicubo negro».
Hola, por favor que alguien me diga donde está el error a mi planteo. Cuando hago el cálculo que presenta Cristobal me da ~ 1, por lo que creo que está mal expresado o me estoy equivocando al calcular. Yo planteo mi solución desde el punto de vista de caras independientes (quizás este sea el error). 1) l = Lado dado = 1 L = Lado cubo = 4 x l = 4 c = Cantidad caras 1 dado = 6 CT = Cantidad caras totales en el cubo = c x L x L x L = 6 x… Lee más »
Pablo, mirá mi comentario 21 de Octubre de 2008 | 17:36
Tomar las caras independientes no es correcto, aunque pueda dar una aproximación. O sea, el paso 3 es inexacto.
Y el paso 4 es fundamentalmente erróneo. Si tengo N realizaciones de un evento cada uno con probabilidad P de exito, la probabilidad de «al menos un exito» NO es NxP (pensá que esto podría ser mayor que 1, por ej). Preguntate: tiro 3 dados. Cual es la probabilidad de que al menos uno salga el «6» ?
Asier 15:33 tiene toda la razón. Explico mis cuentas: 64 cubitos en total luego formas de organizarlos. Cada uno puede colocarse en 6 caras x 4 rotaciones=24 maneras. Total casos posibles. Veamos las favorables a que se arme totalmente negro. Hay cuatro tipos de dados según las caras negras, y debe estar cada uno en una posición del mismo tipo que de partida para que el cubón sea negro: * Los situados en los vértices con 3 caras pintadas. Para que el cubón sea totalmente negro deben estar en los 8 vértices y pueden estar de 3 formas (rotando). Subtotal:… Lee más »
Hernan, Tenés razón, el paso 3 y el 4 son errores, dado que las probabilidades de las caras que van «faltando» son dependientes de las probabilidades de las caras que van «apareciendo». (Probabilidad Condicional !!! Que oxidado que estoy). COn el ejemplo del dado se ve claramente si tomamos por ejemplo 12 dados, la probabilidad érroneamente daría P = 12 x 1/6 = 2 ?! Bluf, Me parece que esa es una inetrpretación errónea del problema como plantearon por ahí, porque que el cubo tenga una cara blanca no es lo opuesto a que sea todo negro, eso sería que… Lee más »
Hola, bueno el ejercicio planteado como dije esta resuelto para el caso de 27 cubos en esos tomos tan famosos y tan caros de oposiciones, aunque yo lo tuve resuelto en una academia. En cuanto al que se plantea aquí he de decir que en los casos favorables igual no los metí donde tocaban o metí alguno de más o de menos porque me hice un buen lio contando. En los casos totales se que estan bien y que son 64!*24 y no los que propone Bluf. Pero bueno unos cuantos más o menos no van a influir en el… Lee más »
Se complica mucho más si uno se pregunta cual es la probabilidad de que todas las caras sean blancas.
Es complicado incluso en dos dimensiones y con un cuadrado de 3×3 piezas cuadradas. ¿Alguien se anima a calcularlo?
BUENO COMENCEMOS POR DESCRIBIR CUANTOS CARAS TIENE UN DADO NUMERO DE CARAS POR DADO: 6 NUMERO DE DADOS USADOS PARA FORMAR EL DADO GRANDE: 16*4=64 NUMERO DE CARAS TOTALES: 64*6=384 NUMERO DE CARAS PINTADAS: 16*6=96 NUMERO DE CARAS NO PINTADAS: 384-96=288 COMO ES UNA PROBABILIDAD DEL COMPLEMENTO DE UN EVENTO SE USA LA SIGUIENTE FORMULA P(E`)=1 – P(E) AHORA CALCULAMOS LA PROBABILIDAD DE CUANTAS CARAS PUEDEN SALIR BLANCAS P(E)= n(E)/n(S) P(E)= CARAS PINTADAS/ CARAS NO PINTADAS P(E)= 96/288 P(E)= 0.333333 P(E)= 1/3 AHORA YA PODEMOS CALCULAR LA PROBABILIDAD DEL COMPLEMENTO DE UN EVENTO: P(E`)=1 – P(E) P(E`)=1 – 1/3 P(E`)=2/3… Lee más »
no encontre la informacion que requeria
quisiera saber cuantas formas hay de armar un cubo,un cono,un prisma pentagonal,un cilindro,una piramide y una esfera