En un curso de Álgebra en el que se traten conjuntos y relaciones definidas en conjuntos, uno de los temas a estudiar son las relaciones de equivalencia. Una de las propiedades que debe cumplir una relación para ser «de equivalencia» es la propiedad transitiva, que viene a decir lo siguiente:
Dado un conjunto
y una relación
en
de elementos de
está relacionado con
y
, entonces
Se ha entendido, ¿verdad? Un par de ejemplos:
- Si un número es menor que otro y este otro es menor que un tercero, entonces el primero es menor que el tercero.
- Si un objeto es igual que otro y ese segundo objeto es igual a otro más, entonces el primero de ellos es igual que el tercero
Ahora sí, ¿no? Bien, pues lo habitual es que los alumnos entiendan con cierta facilidad lo que significa esta propiedad, y además la vean «lógica». Es algo así como que de pronto le ponen nombre a algo con lo que han estado en contacto siempre, como si por fin saben cómo se llama eso que han tenido tan cerca desde que su mente acierta a recordar…
…¿Seguro? Es curioso cómo habitualmente ven tan razonable y coherente esta propiedad por su relación con su propia vida cuando en realidad, generalmente, la vida no es transitiva. Y menos mal que no es así, ya que si nuestra vida fuera transitiva todo sería mucho más aburrido.
Pensadlo un momento antes de seguir leyendo. ¿Vuestra vida es transitiva? ¿Lo que os rodea cumple la propiedad descrita un poco más arriba?
Pues supongo que, como la mía y la de cualquier otra persona, la respuesta a esas dos preguntas es un rotundo NO. Y ejemplos de ello los hay a montones:
- Si sois amigos de alguien y ese alguien es amigo de otra persona, ¿entonces sois amigos de esa tercera persona? Evidentemente no. De hecho podéis ser íntimo amigo de alguien, ese alguien ser íntimo de otra persona y resultar que os lleváis a matar con ese tercero.
- Y si las relaciones de amistad no son, en general, transitivas tampoco lo son las de pareja. ¿O acaso si a vosotros os gusta alguien y a ese alguien le gusta otra persona eso significa que a vosotros también os debe gustar esa tercera persona? No, ¿verdad?
- Si el equipo A le gana al equipo B, y el equipo B le gana al equipo C, ¿entonces el equipo A le ganará siempre al equipo C? Pues no, claro que no. De hecho este mismo año en la Liga Española de Fútbol hay muchos casos que no cumplen esta regla de transitividad. Por ejemplo, el Deportivo de la Coruña ganó 2-0 a Osasuna en la jornada 1 y el Osasuna ganó 4-0 al Levante en la jornada 6. Si se cumpliera la transitiva en este caso, el Deportivo debía ganar al Levante, pero en realidad no fue así: el Deportivo perdío 0-2 con el Levante en la jornada 12.
- Y en general el deporte no es transitivo, ni mucho menos. Tenis, fútbol, baloncesto, atletismo, etc. Si Nadal gana a Federer y Federer a Djokovic, ¿Nadal gana a Djokovic? Claramente no.
- ¿Y qué ocurre si hay que elegir quién comienza algo? Se puede hacer por el típico «pares o nones»…o por el no menos habitual «piedra, papel o tijera», que es un juego no transitivo. La tijera le gana al papel y el papel le gana a la piedra, pero la tijera no le gana a la piedra, sino todo lo contrario.
- Supongamos que desde vuestra casa podéis llegar a casa de un amigo en línea recta, y que desde casa de vuestro amigo se puede llegar en línea recta a la cafetería donde soléis tomar café. ¿Significa eso que desde vuestra casa de puede llegar en línea recta a la cafetería? Pues no, no tiene por qué ser así
- Hasta se pueden conseguir juegos de dados no transitivos, que consisten en tres grupos de dados que cumplen que los primeros ganan a los segundos y los segundos a los terceros, pero los primeros no ganan a los terceros. En Esos curiosos dados hablé sobre el tema.
Y como estos podemos encontrar muchísimos más ejemplos. Os sugiero que nos dejéis en los comentarios los que se os ocurran.
¿Qué nos muestran todos estos ejemplos? Pues después de analizarlos lo que yo veo es que la vida sería mucho más aburrida si fuera transitiva, todo sería mucho más simple y nos perderíamos muchas relaciones entre personas y colectivos de personas. Los juegos perderían interés, y la chispa de conocer a gente nueva no sería igual. Como reza el título de esta entrada, por suerte la vida no es transitiva.
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El siguiente ejemplo de no transitividad me lo sugirió hace tiempo una aburrida discusión respecto a qué estudiante se merecía cierto galardón. El problema es que muchos de los reunidos daban por hecho que había un criterio objetivo para elegir a ese estudiante cuando en realidad estaban tratando de una relación no transitiva. Supongamos que tenemos que darle un premio a uno de estos tres estudiantes Ana, Blas y Carmen. Las notas de Ana (nos limitaremos a tres asignaturas) han sido un 7 en Matemáticas, un 9 en Inglés y un 10 en Lengua. Las notas de Blas han sido,… Lee más »
Yo le daría el premio a Blas. El no tiene una nota tan baja de 7 como los compañeros y tiene un 10. Tiene lo mejor de cualquiera de los otros dos y no tiene la desventaja de ser malo en una asignatura como sus compañeros.
Muy buenas!
Esta característica es equivalente al principio zero de termodinámica! Aún no he dado muy a fondo el tema en mi primer año de física, pero seguro que su relación es más profunda que un simple enunciado 😀
Hay una rama de la matematica (matematica del orden, podriamos llamarla) que estudia las relaciones binarias. Parte de esa rama estudia la «indiferencia no transitiva», que se da por ejemplo en relaciones binarias conocidas bajo el nombre de ordenes intervalo y tambien sobre otras llamadas semiordenes. Este tipo de relaciones de indiferencia no transitiva se encuentran en diferentes areas de la ciencia (economia, fisica, psicologia, teoria de la medida…) y de la vida… por ejemplo, mi debilidad por un plato de chipirones en su tinta es tal, que me resulta indiferente pedir de segundo un plato de estos exquisitos cefalopodos… Lee más »
Aparte de aburrida, si aspectos de la vida formasen relaciones de equivalencia viviríamos en un sistema social clasista.
Ley de la no conmutatividad de las tareas domésticas:
No es lo mismo «barrer y fregar después» que «fregar y barrer después»
En Math Stack Exchange alguien preguntó:
Are there real-life relations which are symmetric and reflexive but not transitive?
La respuesta más votada, aquí:
http://math.stackexchange.com/questions/268726/are-there-real-life-relations-which-are-symmetric-and-reflexive-but-not-transiti/268732#268732
Otro ejemplo de no transitividad es uno que pude ver en la serie de The big bang theory en el cual el grupo de mujeres protagonistas están discutiendo una de estas situaciones la cual era la siguiente «si Hulk carga a Thor, y Thor carga al Mjolnir, entonces Hulk carga al Mjolnir?» lo cual claramente es un NO, y curiosamente al ver este singular ejemplo tuve estas reflexiones sobre la no transitividad en la vida.
Vestirse no es commutativo 🙂 . No es lo mismo ponerse gallumbos y luego pantalones que ponerse pantalones y luego gallumbos.
Me parece que elegiste los ejemplos menos adecuados, yo diría que la vida sí que es transitiva, lo que pasa es que transferir propiedades matemáticas a un ambiente tan divergente resulta extremadamente abstracto. Un ejemplo de los que se me ocurren: si Juan es más alto que José, y José es más alto que yo, entonces definitivamente Juan es más alto que yo.
[…] La respuesta, sorprendentemente, es no: no hay ninguna terna que gane al resto. Dada una terna cualquiera, siempre se puede elegir otra con la cual tendremos más posibilidades de ganar que con la primera. Esto quiere decir que el juego es no transitivo (como ocurre en muchas situaciones de nuestra vida). […]
[…] En marzo reflexionamos sobre la cuadratura del círculo, os mostramos el argoritmo de Chudnovsky y vimos que por suerte la vida no es transitiva. […]
El ejemplo de Elton y John no constituye una propiedad transitiva. Sino que es una cualidad compartida. Así como el agua es un fluido y el aceite es un fluido, que compartan la cualidad de ser fluidos no significan que sean lo mismo. Sinceramente me sorprende un error tan pobre de este trabajo.
Hola Miguel, los ejemplos que das son muy buenos y te agradesco mucho. Estaba buscando una base fisolófica para poder entender el pasaje del evangelio Mt 18, 21-35, donde un Rey perdona a su empleado una gran deuda pero luego el empleado perdonado cuando sale de la carcel se encuentra por la calle con un deudor, le exige que le pague su deuda. Luego el Rey se entera de lo que hizo su empleado con su deudor, se molesta y envia a los verdugos para que lo castiguen por no haber procedido de forma transitiva. ¡qué interesante este tema! Gracias.