Hoy viernes os traigo uno de los problemas matemáticos que se proponen en la edición digital de El País. Ayer jueves apareció el duodécimo de los 30 que se van a proponer aprovechando la celebración del Centenario de la RSME.
Este duodécimo problema se titula Una exhibición de coches de carreras y lo propone Josefa Ramírez Rodríguez, licenciada en Matemáticas por la Universidad de Extremadura y Responsable de Sistemas de Información en el RACC. Podéis ver dicho problema haciendo click en este enlace.
Recordamos que se sorteará la colección de libros «Las matemáticas nos rodean» entre todos los que acierten el problema de cada semana. Si encontráis la solución y queréis participar, sólo tenéis que enviarla a problemamatematicas@gmail.com antes de que termine el lunes 6 de junio.
Respecto al tema de los comentarios, os recuerdo mi opinión. En principio no tengo pensado quitaros la oportunidad de comentar, pero me gustaría que si queréis comentar no dierais la solución directamente, preferiría que si queréis comentar dierais pistas, que hablarais de la forma de resolverlo, en vez de limitaros a dar la solución tal cual. Muchas gracias a todos.
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Lo tengo hecho pero mi razonamiento es feo feo feo…
Plantear ecuaciones y deducir condiciones necesarias hasta que llego a algo sencillo que puedo resolver y deducir así todas las posibles soluciones del problema inicial. Pero… feo feo feo, la demostración no me da idea de lo que está pasando.
A ver si dais alguna pista para encontrar un razonamiento más «limpio» 🙂
Pero es la única forma que tengo de encontrar por mis propios méritos lo que ya me había contado el Excel en un plis 🙂
Saludos
Si en lugar de 5 filas, fueran 8, el numero de coches serian 3136.
@Javier
si fueran 8 filas, el numero de coches es 3116 o 576 o 64
si el nº de filas a aumentar no es primo la solucion no es única
Yo lo he resuelto de una forma bastante simple y directa. Se asemeja a la resolución de un tipo de integrales.
Información Bitacoras.com…
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No hace mucho había en gaussianos un problema (totalmente diferente a éste, creo) cuya solución pasaba por lo mismo (si tienes la de uno, tienes la del otro).
Pero no recuerdo cual era…
Como bien dice Lezcano, la resolución es muy parecida a la de un tipo de integral. Pero cuidado, que aquí no hay que resolver ninguna integral, solamente hay que ‘dividir’.
A mí me ha resultado tan fácil que estoy por pensar que he hecho algo erróneo. ¿Alguien más tiene esa sensación?
Aitz, no sé cómo lo habrás hecho. Yo planteo una única ecuación, teniendo cuidado de elegir las expresiones adecuadas (creo que eso es lo que simplifica el problema). A partir de ahí sale solo. Sólo hay que probar con un rango muy pequeño de números y ya está.
Se pasa de un cuadrado n*n a un rectángulo con dos cuadrados
Con una división, basta. Este ha sido el más fácil de todos.
Bueno, con la pista que habéis dado de las integrales ya me doy cuenta que sale en una línea la demostración. (O con la pista de Agus)
Pero no caí en hacer eso por mi mismo, cuando se pase la fecha de entrega ya daré mi solución inicial que por ultra complicada que llega a ser se puede volver curiosa…
Yo lo resolví usando una sencilla ecuación de segundo grado. Aun que siento que el razonamiento fue algo rebuscado, y no estoy del todo seguro de que este correcto. Seguramente había una forma más fácil de resolverlo, pero en fin hay a quedado.
Intentaré no meter la pata como en el anterior.
Creo que es muy facil, unicamente diré que apoyo a los que dividen y listo
Saludos
Vale, ahora ya empiezo a digerir el caso general y el comentario de frank.
Por ejemplo, si el número de filas a aumentar es un número tal que se descompone en producto de m primos distintos entonces el número de soluciones es 2^m – 1.
En particular si el número de filas aumentar es primo m=1 y tiene solución única.
Lo voy pillando, un par de viajes en tren más y empezaré a aburrir las exhibiciones de coches.
En general, si aumenta en K filas, el número de soluciones es (N-1)/2, siendo N el número de divisores de K^2.
Para K primo, K^2 tiene tres divisores {1, k, k^2} y el número de soluciones es (3-1)/2=1.
Me lo estoy viendo venir, el próximo problema será del tipo: «Un tren sale de Zaragoza a una velocidad de 100 km/h…»
@Mmonchi
Creo mas bien que el numero de soluciones es N-1 donde N es el numero de divisores de K
Sive, no creo que llegue la cosa a tanto :).
Por cierto, por si alguien lo duda (por ejemplo, el propio interesado), he borrado dos comentarios donde una persona publicaba una solución del problema. Pensé en editarlos, pero el móvil no me dejaba hacer tanto, por lo que he decidido borrarlos directamente. Leyendo el último párrafo de este post y los comentarios de problemas anteriores se entiende perfectamente el porqué.
@Frank, 6 tiene cuatro divisores {1, 2, 3, 6} y cuatro soluciones: 9, 36, 144 y 900, por lo que no cumple (4-1)=4.
En cambio 6^2 tiene nueve divisores, por lo que se cumple (9-1)/2=4.
En mitad de la demostración, el profesor dice «Es evidente que…». Súbitamente, calla. Consulta sus apuntes. Hace unos cálculos en una esquina de la pizarra. Sale corriendo hacia el seminario. Consulta bibliografía. Mas cálculos. Finalmente regresa a la clase y exclama triunfante «¡Es evidente que …!».
Admito que yo he tenido que llenar medio folio antes de decir «es evidente».
El problema está sencillo. n+k divide a k^2 de manera general y listo
Estoy con sherekan (¡muy fino!). El problema es MUY fácil (o me estoy columpiando de forma estrepitosa) y no pillo lo de las integrales.
EDITADO POR ^DiAmOnD^
Yo también lo he resuelto por ecuaciones diofánticas pero con un cambio de variable
Sebastián parece que no sabe leer…
A mi me sale lo mismo que Sebastián, solo que he usado un par de equaciones de segundo grado y una hoja de excel. La cosa hubiera tenido su «chica» con un caso más general, creo yo, algo así como n+k coches.
Rafaelillo, Sebastián sabe leer y muchas otras cosas. Que no te quepa duda, muchacho.
Sebastián, tiene razón Rafalillo al decir que parece que no sabes leer. Igual es que ni siquiera te has parado a leer el texto del post. Por ello lo repito aquí:
Juanjo, lo de las integrales debe ser un cambio de variable. Salió en una de las soluciones de los comentarios. O vete a saber qué, que esto empieza a parecer más crítica de arte contemporáneo que matemáticas. Yo, lo del asunto de saber o no leer y los comentarios borrados lo veo más como un pudor muy extraño que como otra cosa. O como un juego del tipo «no se puede emplear la e» muy irritante en este contexto. Además, los que dan las soluciones me parece que pretenden hacerse entender más que lo que es habitual aquí pero se… Lee más »
Algunas veces los problemas que creemos fáciles terminam convirtiendose en «verdaderos problemas»
Saludos
Bueno, se ve que el que manda aquí ha dejado las cosas claras. Sebastián, yo no suelo culpar o criticar sin fundamento, y es evidente que el autor del blog te lo ha mostrado. Parece mentira que hayas explicado la solución cuando no es la primera vez que comentas en un post de los problemas de El País, así que la excusa de que no sabías que no se podía escribir la solución no me la creería. Y ya que estamos, ni sabes leer ni tampoco escribir, porque no soy Rafaelillo, sino Rafalillo. Pero vamos, que a esto le otorgo… Lee más »
Rafaelillo, es la primera vez que escribo aquí y para los problemas matemáticos de El País. El error de inferencia es tuyo.
Y para terminar, una cosa es no saber y otra cosa es que, incluso sabiendo, me dé la gana de no leer ‘según qué’ y de escribir como me da la gana. Otro error de inferencia.
Pero bueno, como dices, respetemos las normas del juego. Saludos.
Rafalillo, es cierto, Sebastián no había escrito antes por aquí. Igual lo has confundido con Sebas, otro comentarista que sí ha escrito en otras ocasiones. Sebastián, evidentemente una cosa es «no saber» y otra es hacer lo que a uno le dé la gana «incluso sabiendo», eso está bastante claro. Teniendo en cuenta tu segundo comentario, cualquiera podría pensar que sabías que se pide que no se publique la solución del problema pero que te saltaste a la torera dicha petición, pero como no estoy seguro de ello no puedo afirmarlo con rotundidad. De todas formas te vuelvo a pedir,… Lee más »
Gaussianos: sinceramente no me leí las normas, vi el problema y me lancé directo a resolverlo -no sabía que no estaba permitido publicar la solución. De aquí en adelante procuraré no volverlo a hacer.
De acuerdo Sebastián, malentendido resuelto. Gracias por tu comprensión de la situación :).
¿alguien sabría como demostrar esto?
para todo 
. Entonces, 
.
Sea A un operador lineal definido en un espacio de Hilbert, tal que
Es que creo que no es verdadero. En el plano, un giro de 90º cumple las condiciones de ortogonalidad de todo vector con su imagen y el operador no es nulo.
Lo que dices parece razonable, pero no sé, es una pregunta de examen, no se como resolverlo pero esa no era la solución. Es en un espacio de Hilbert, donde las cosas que aplicamos en dimensión finita a veces no son válidas, puede que lo que digas sea una de esas, ahora mismo no lo sé.
Reconozco que he me equivocado en una cosa con respecto a Sebastián. No le he confundido con el otro Sebas que comenta de vez en cuando estos problemas. Me refería a este comentario que Sebastián hizo en el problema 11: https://gaussianos.com/problemas-de-matematicas-en-el-pais-problema-n%C2%BA-11/#comment-20782 Yo me suscribo a los comentarios de las entradas en la que comento y resulta que ayer por la noche vi al mismo tiempo los que hizo Sebastián tanto en el problema 11 como en el 12, y asumí que había comentado antes en el 11 que en el 12, cuando en realidad fue al revés. Así que lo… Lee más »
David, ¿Es A autoadjunto?
Es lo que yo me preguntaba, si es autoadjunto. Con operadores autoadjuntos o simétricos, ese resultado, que es verdadero en este caso, se emplea en algún que otro torema.
No se dice nada al respecto, o sea que no en general. Gracias por vuestro interés.
Ya tenemos solución de este problema:
Un cuadrado de 400 coches de carreras
La 1ª solución propuesta me parece una broma del Día de los Santos Inocentes. Es pésima.
La 2ª no me parece elegante, aunq mejor, y lo sigue liando demasiado todo. Mucho más fácil:
n^2=(n+5)K -> n^2/(n+5)=K -> (dividisión polinómica básica)-> n-5 + 25/(n+5)=K
Para que K sea entero n=20 (n=0 no vale, obviamnt).
Es el problema q menos me ha gustado y las soluciones, sobre todo la 1ª, me parece digna de «enmarcar» para el 28 de Dic.