Nueva entrega de los problemas propuestos en la edición digital de El País. Esta semana toca el problema número 34 de los, ahora, 40 problemas que se van a proponer aprovechando la celebración del Centenario de la RSME.
Este problema treinta y cuatro se titula Dos gusanitos y una golondrina voraz y lo propone Vadym Paziy, estudiante de Doctorado en el Grupo de Física Nuclear de la Universidad Complutense de Madrid y antiguo guía en la Olimpiada Matemática Internacional celebrada en 2008 en Madrid. Podéis ver dicho problema haciendo click en este enlace.
Recordamos que se sorteará la colección de libros «Las matemáticas nos rodean» entre todos los que acierten el problema de cada semana. Si encontráis la solución y queréis participar, sólo tenéis que enviarla a problemamatematicas@gmail.com antes de que termine el lunes 7 de noviembre.
Respecto a la dificultad de los problemas, recordad que se intenta llegar a la mayor cantidad de gente posible, por lo que no se pretende proponer problemas con una gran complejidad.
Y respecto al tema de los comentarios, os recuerdo mi opinión. En principio no tengo pensado quitaros la oportunidad de comentar, pero me gustaría que si queréis comentar no dierais la solución directamente, preferiría que si queréis comentar dierais pistas, que hablarais de la forma de resolverlo, en vez de limitaros a dar la solución tal cual. Muchas gracias a todos.
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No he hecho los cálculos, pero vamos, es un ejercicio fácil y difícil a la vez. Difícil porque encontrar el camino óptimo si no lo sabes debe de ser complicado. Fácil porque sé directamente cuál es el camino óptimo y me bastaría echar unas cuentas.
Y sin hacer cuentas me aventuro a decir que el que usa el camino óptimo ya que esto haría el problema más fácil (si ganase el otro, habría que encontrar el camino óptimo y demostrar que lo es, si gana el óptimo solo hay que encontrar un camino con el que gane, no hace falta demostrar que es el óptimo).
Quizá se pueda considerar dar pistas decir ya cuál es el que gana, pero no lo considero así porque no lo he dicho, simplemente he hecho una suposición. Si ganase el otro gusano, me gustaría ver cómo lo explicaría para conocimientos de instituto.
A mi me gusta y me parece dificil encontrar el camino optimo. Si es por hacer apuestas yo creo que esta trucado para que empaten.
¿Qué importa quién llegue antes si la golondrina está muerta… de hambre y se salvan los dos? 🙂
Como es un problema de geometría métrica plana es perfectamente abordable por un alumno de instituto.
Yo creo que el problema es muy sencillo, al tratarse de un cono. Y la moraleja no me convence mucho …
Yo en cambio lo veo un problema muy complejo para realizar un cálculo exacto… ¿alguien sabe cómo calcular el perímetro de una e…..?
Voy a dar una pista, jeje, aunque no sirva de mucho: la curvatura gaussiana del cono es 0. Qué bonita es la geometría de superficies y que poca cancha se le da…
Para caer en la cuenta he tenido que construir un cono de papel, quitarle la base y recortarlo por la generatriz. ¡Curioso problemilla!
Creo que ya se han dado demasiadas pistas. Añado un dibujo para despistar.
http://www.wolframalpha.com/input/?i=plot+x%5E2%2By%5E2%3D4+%2C+y%3D-x%2B2+from+x%3D+-2+to+2+from+y+%3D+0+to+2
¿Y si lo que quiere el astuto es llegar más tarde para que no le pille la golondrina? En lugar de buscar el camino óptimo tendrá que buscar el camino «pésimo». Pero no puede parar, ha de ir en línea recta, y no puede retroceder (siempre se ha de alejar del punto de partida). ¿O no hay camino pésimo?
@Jesus C: Se supone que ninguno de los gusanos sabe de la golondrina…
Perdon por no contribuir al problema, pero si alguien tiene ganas, aca hay otro para resolver, que yo no puedo resolver, todavia no se me ocurre como. Si se les ocurre algun camino para resolverlo o lo resuelven, envienme un mail!
http://www.mediafire.com/?ylasqplfxy596aj
El despiste consistirá en decir que es un despiste, si no no lo veo.
Parabola. Esa es la palabra clave.
Yo ya he enviado la solución.
El gusano astuto (que de astuto va a tener poco cuando vea a la golondrina avalanzándose sobre él) recorre una distancia inconmensurable.
Saludos 😉
Pedro T, lo de la parábola no lo veo claro.
Podemos recordar aquí, aunque no tiene que ver con el problema, que al cortar con un plano a una superficie cónica, se obtiene distintas figuras geométricas: las secciones cónicas. Pueden ser: circunferencias, elipses, parábolas e hipérbolas.
Está explicado por ejemplo en la wikipedia
http://es.wikipedia.org/wiki/Cono_%28geometr%C3%ADa%29
http://es.wikipedia.org/wiki/Secci%C3%B3n_c%C3%B3nica
La parábola parece un caso raro. No sé si tiene sentido hablar de la «probabilidad de obtener una parábola al cortar un cono con uno de los planos que lo cortan, elegido al azar». Pero desde luego, si tuviera sentido, la probabilidad sería CERO.
Jesus C, creo que te estás liando y es mucho más sencillo. Hay que pensar que el cono es una superficie de curvatura total 0 y eso nos permite desplegarla como una hoja de papel.
Manuel, lo del desafío está claro. Estábamos comentando otras cosas, por comentar. 🙂
De todas formas, creo que en este desafío se han dado demasiadas pistas. O casi se ha dado la solución en lugar de dar pistas.
Voy a ver si enciendo la polemica:
GuillermoX pedía la longitid de la e….., por aqui marchaba yo, y con esta curva me da un recorrido muy ajustado a lo que supongo se pretende en el problema.
Al hacer unos dibujos con AutoCad he quedado sorprendido pues las dimensiones no se ajustaban a lo que pretendia del cono, considerando que el recorrido podria buscarlo de otras formas como he supuesto de JJGJJG (habla de geometria métrica) o de Manuel (él apunta curvatura 0) muy facil de intuir y calcular por geometría elemental.
Pasando a la práctica como antoniete, construiendo el cono fisicamente, lo que queria comprobar con AutoCad me confirma que hay otro recorrido mas ventajoso (pero no para la vida del gusano) bastante mas corto que el supongo será la solución,
Despues he leido parabola de Pedro T, suponia que se equivocaba de curva…
He quedado despistado con la curva que se genera al buscar el camino optimo, estoy dudando de si es una cónica, pues supongo que no es plana.
Admito sugerencias, y como no aclaraciones.
Saludos
Perdón, no es una parabola. Yo lo que hice fue desarmar el cono y ponerlo en 2D. Por las dimesiones originales queda un semicirculo de radio 2. Despues uní los puntos de un cuarto de circulo y queda un triangulo iscoceles, y el segmento supongo que tiene una inclinacion de 45º tambien en 3D (al menos eso parece en mi contruccion). La generatriz tiene inclinacion 60º, asi que creo que esto (por no ser paralelos) hace que no sea una parabola. Igualmente, creo que se tendria una curva obtenida por el corte del plano que pasa por (-1,-1,0) y (1,1,0) y corta al cono a 60º. Digamos que la curva es plana sobre el cono. No se, igualmente, si el camino que pense es el optimo. Es lo mejor que se me ocurre hasta ahora. Pero estoy bastante convencido.
Si alguien tiene conocimientos de geometria analitica, que me diga cual es la ecuacion de la curva que propongo. Empiricamente, parece ser el camino mas corto, pero no se.
Pedro T: Te he citado en mi anterior nota al tener mis dudas del recorrido optimo que estudio.
Al leer tu última nota veo que tienes tambien dudas, la inclinación que dices de 45º creo que no es correcta y dudo que el segmento sea el resultado de una sección plana, esperemos que los entendidos en el tema nos lo aclaren
Saludos
Corrijo, que aunque no sea a 45º (puse 60º), seria la proyeccion de ese angulo del iscoceles en el cono el angulo de corte
Les dejo imagenes. SI miran la imgen en 3D se puede ver que si cambiaramos ese angulo (supuestamente de 45º) la curva se haria mas larga en ambos sentidos.
http://www.mediafire.com/?i3dt8os5ch9rwrh
http://www.mediafire.com/?wlerzdg7n63wuh8
Pedro T: He hecho las proyecciones y como dije no es sección a 45º , ni es plana. Considero que es el recorrido minimo y para mi seria la solución.
Saludos
Si, se que no es 45º, y que no es plana, pero esa es definitivamente la solucion.
No estoy completamente seguro, pero creo que la curva solución -que creo que todos hemos Eestudiado en el plano- en el espacio es una curva plana, con el plano que la contiene formando un ángulo de 60º con el eje del cono. De ahí se concluye que la curva intersección entre plano y cono ha de ser necesariamente una ELIPSE.
Manuel, creo que es correcto lo que comentas, excepto el ángulo.
ejemplo
http://www.wolframalpha.com/input/?i=triangle+with+vertices+%280%2C0%29%2C+%280%2Csqr3%29%2C%28sqr2%2F2%2Csqr3%282-sqr2%29%2F3%29
Manuel, efectivamente, si cortas el cono por un plano que, pasando por el punto de partida de los gusanos, forme 60º con el eje de aquél, consigues un recorrido menor para el gusano astuto. Sin embargo no es el camino óptimo.
Como he comentado anteriormente el recorrido que consideramos correcto (segmento en 2D) en el cono (3D), por las proyecciones que he hecho, no veo que sea una sección plana, por lo tanto no es la elipse (la intersección plana en el cono, elipse, en su desarrollo es una curva) su plano tangente en el punto de arranque y final forma un ángulo con el eje ligeramente superior a 50º.
He efectuado y visualizado las intersecciones con AutoCad, por lo que tengo dificultad en esponerlas
Saludos
Cuando escribia el anterior post he visto que JJGJJG ha colgado los comentarios a manuel, por lo que creo que me estoy acercando a la opinión de JJGJJG
Ejemplo de antes corregido…
http://www.wolframalpha.com/input/?i=triangle+with+vertices+%280%2C0%29%2C+%280%2Csqr3%29%2C%28sqr2%2F2%2Csqr3%282-sqr2%29%2F2%29
La «polémica» que queda es si el camino que recorre el gusano es un trozo de elipse, es decir, si es el corte de un plano y el cono. Yo pensaba que sí, pero ahora ya no lo sé, porque me cuesta imaginar en 3D.
Sigo pensando que es una elipse. En cuanto a lo del ángulo, intentaré dar un razonamiento «físico». Recordemos que la curva que recorre el mínimo trayecto entre dos puntos se denomina geodésica. Supongamos que tenemos dos puntos de la superficie que están en una zona de curvatura gaussiana positiva. Ahora cogemos un trozo de elástico y unimos los dos puntos poniéndo el elástico en tensión. El hilo adoptará la posición que le permita tener la menor tensión posible, es decir se acortará al máximo, describiendo la geodésica entre los dos puntos. Ahora bien, por cuestiones de equilibrio, el plano que contiene a la curva geodésica en cada punto debe ser perpendicular al plano tangente a la superficie en dicho punto ( si no fuese así el hilo en tensión resbalaría sobre la superficie hasta alcanzar su equilibrio ) Ahora apliquemos esto al problema. Llamemos P al punto más alto en la curva geodésica que hemos obtenido. El plano tangente al cono en dicho punto tiene una inclinación de 60º con la horizontal. Como el plano que contiene a la curva geodésica y pasa por P ha de ser perpedicular al anterior, formará necesariamente un ángulo de 30º con la horizontal, o de 60º con la vertical, como se prefiera.
La «polemica está servida.
La intersección del plano con el cono no hemos descubierto ahora que es una cónica, pero esta cónica (elipse) en el desarrollo del cono (sector circular) no es un segmento recto, es curvo, yo tambien he estado a punto de caer en la trampa (en este caso de longitud aproximada de 3.084), por lo que dudo que sea lo idoneo. Y al reves una recta en el desarrollo no me sale de intersección plana
Manuel: no soy matemático (no lo digo de cuento ,si lees mis anteriores posts veras que tenia dudas) y menos físico, pero para tus argumento ten en cuenta que partes con una inclinación de los grados que sean por lo que la trayectoria en principio y al final no puede ser perpendicular a la generatriz (puede que también esté equivocado)
Saludos
Manuel,
Tu camino, que es el corte del cono con un plano que pasa por el punto de partida y el de llegada y tiene una inclinación de 30º con la horizontal, es un trozo de ELIPSE. De eso estoy seguro. Pero también estoy seguro de que ese NO es el camino más corto. Ya se ha dicho varias veces cual es el camino más corto.
Y como tu razonamiento físico tiene buena pinta, se me ocurre que tu camino sea el de «mínima energía» (propiedad física) y el otro sea el de «mínima distancia» (propiedad matemática), y parece que no tienen por qué coincidir. Pero de esto no estoy seguro, es sólo una ocurrencia.
También estoy seguro de que tu camino es más largo, pero tiene menos pendiente, que el camino más corto.
Bueno, la verdad es que nadie tiene las cosas claras. Y eso ocurre porque nos cuesta ver en tres dimensiones. Por cierto recuerdo la anécdota del cubo de Rubik. Su inventor, arquitecto y diseñador, lo que pretendía era aumentar con el manejo de un cubo la visión espacial de sus alumnos, en principio no buscaba un rompecabezas matemático.
En cuanto al problema en sí, hay dos cuestiones separadas. La longitud mínima yo creo que todos la hemos obtenido sin ninguna dificultad desarrollando la superficie en el plano. Eso no admite dudas. Lo que está por ver es que tipo de curva espacial origina esa linea cuando devolvemos al cono su aspecto tridimensional. Yo voto por una curva plana elíptica, pero desde luego no estoy nada seguro.
Manuel: Si pruebas de hacer la proyección del segmento (con cualquier programa de Cad o a mano) sobre el cono veras que no es plana y que corta con un ángulo (no se si exacto) de 40º
Saludos
Tenemos tres puntos de la curva perfectamente identificados: el origen, el destino y el «vértice» en el centro del recorrido. Estos tres puntos definen un plano.
He calculado las coordenadas del punto de la trayectoria donde se encontrará el gusano después de girar 60º sobre el eje del cono y encuentro que está algo por encima del plano anterior, luego la curva es alabeada y no puede ser elíptica.
JJGJJG,
Ya para rematarlo podíamos intentar obtener las ecuaciones de las curvas y superfices de las que estamos hablando.
Ecuación del plano que pasa por (0,-1,0), (0,1,0) y (spr2/2, 0, (2sqr3-sqr6)/2 )
sqr3 (sqr2 – 1) x – z = 0
http://www.wolframalpha.com/input/?i=plane+through+%280%2C-1%2C0%29+and+%280%2C1%2C0%29+and+%28sqr2%2F2%2C0%2C%282sqr3-sqr6%29%2F2%29
Ecuación del cono
x^2 + y^2 – 1/3 (sqr3-z)^2 = 0 para 0< z =<sqr3
http://www.wolframalpha.com/input/?i=circular+cone+radius+1+and+height+sqr3
Ecuación de la elipse (intersección de cono y plano)
2(sqr2-1)x^2+y^2+2(sqr2-1)x-1=0 y z=sqr3(sqr2-1)x
http://www.wolframalpha.com/input/?i=2%28sqr2-1%29x%5E2%2By%5E2%2B2%28sqr2-1%29x-1%3D0
(no es la del dibujo, porque wolfram la ha dibujado en el plano XY)
Y nos falta la ecuación del camino óptimo (la línea recta en el desarrollo plano).
No me entero mucho de la fiesta, pero me animo a aportar mi deducción que igual hasta no es válida.
El plano de la curva podría tener una inclinación aproximada de 42 grados y 46 minutos, sobre el plano inferior.
No, Julio.
La opinión mayoritaria es que la curva NO está contenida en un plano. La inclinación que forma el plano que pasa por los 3 puntos (origen, destino, y punto más alto del camino) con el suelo es de unos 35º 26´.
No podemos hablar de «la inclinación del plano de la curva» porque la curva no es plana. Y de la «inclinación de la curva», no sé, tendríamos que explicar qué es.
Gracias Jesús, seguro que lo tendréis bien, Me pongo a repasar y ahora me sale 45º 48′. Está claro que lo mío no son las matemáticas.
Lo que sí entiendo es que esos tres puntos que comentáis pueden formar un plano.
Julio, con 3 puntos (que no estén alineados) en el espacio siempre se forma un plano. Por eso las sillas de 3 patas no cojean.
Por 2 puntos pasa una recta, por 3 puntos un plano,..
Si lo que buscas es la solución al desafío, no hacen falta cálculos.
Jesús, en efecto son 35 grados, utilizaba el arco seno, y es arco tangente. Ahora me he dado cuenta de mi error.
La solución la sé. Pi por un lado y la diagonal de un cuadrado de dimensión XX por otro.
De pequeño había hecho alguna manualidad. Nada más verlo, me situé en el caso.
He entrado a raíz de los comentarios, por lo de las curvas, me tiene intrigado, por lo que comentáis. Tal vez tenga que hacer nuevamente manulaidades.
Ya estoy bastante convencido de que la curva no es plana sino alabeada. Lógicamente, no puede ser una elipse. Lo que puedo rescatar de mi razonamiento «fisico» es que en el punto más alto de la trayectoria el plano de la curva forma 30 grados con la horizontal, se trata de un plano tangente a la curva en dicho punto, si prolongáramos dicho plano cortaría al eje del cono un poco por encima de la altura de los puntos A y B de partida y llegada.
Tengo las matemáticas bastante oxidadas, pero me suena a que todo se reduce a encontrar la curva de longitud mínima que se produce al intersecar un plano con el cono pasando el corte por los extremos del diámetro del circulo base. Tendríamos, por tanto, dos ecuaciones: la del cono y la del plano, que darían como resultado, siempre, una parábola. Se trataría, por tanto, de encontrar aquella parábola que tenga la menor longitud. Me suena al clásico problema de máximos y mínimos. Tendríamos que expresar una ecuación en función de la otra y recurrir a la segunda derivada, igualarla a 0 y obtener la curva resultante, que será la solución. El resto, sobre quien llega antes o después, sería trivial. Me suena que los tiros van por ahí
La ecuación del camino óptimo (que es la recta en el desarrollo plano) me sale así:
0 =< t =< pi
x(t) = sen(t) / (sen(t/2)+cos(t/2)) ,
y(t) = – cos(t) / (sen(t/2)+cos(t/2)) ,
z(t) = sqr3 – sqr3/(sen(t/2)+cos(t/2))
http://www.wolframalpha.com/input/?i=parametric+plot+%28sen%28t%29+%2F+%28sen%28t%2F2%29%2Bcos%28t%2F2%29%29%2C-+cos%28t%29+%2F+%28sen%28t%2F2%29%2Bcos%28t%2F2%29%29%2Csqr3+-+sqr3%2F%28sen%28t%2F2%29%2Bcos%28t%2F2%29%29%29+t+from+0+to+pi
Me puedo haber equivocado en cálculo, pero tiene buena pinta.
Jesus C: Estaba a punto de comprobar la ecuación que he calculado de la superficie que contiene la curva y de momento coincidimos con la «x», la «y» puede que sea la misma, varia en su expresión, mañana si tengo tiempo comprobaré si coincidimos.
Yo me he equivocado infinidad de veces.
Saludos
Jesus C: Coincido contigo, estaba estudiando el plano y unicamente habia comprobado tus variables «x, y» sin comprobar la «z» que es la que yo tomo como «y».
Creo que podemos dar por hecho (no es dogma de fe o si) de que la curva no está en un plano.
Saludos
Otro paso mas: La superfície que contiene la curva tiene de ecuación «y^2-sqr3*xy+3x-2sqr3*y=0», superficie hiperbólica con plano asintótico horizontal por el vertice del cono (salvo herror u omisión).
Para su comprobación animo a JJGJJG que verifiques si «tu» punto despues de girar 60º (si no lo has perdido) está en la superfície, grácias.
Saludos
Comprobando que la curva no es plana.
Si lo fuera la pendiente del plano (cociente entre la altura de un punto de la trayectoria y la distancia entre su proyección horizontal y el diámetro de la base) debería ser la misma para todos ellos.
Dicho cociente es: Raíz(3)*(sin(t/2)+cos(t/2)-1)/sin(t) que varía al variar t.
Cuando arranca el gusano esa pendiente es el límite de la expresión anterior cuando t tiende a 0 y que vale raíz(3)/2. (0,8660254…)
En el punto más alto el valor es el que adquiere la expresión cuando hacemos t =90º y vale: raíz(3)*(raíz(2)-1). (0,7174389…)
Se ve que no coinciden.
JJGJJG: Si, lo tengo claro, unicamente te pedía que comprobaras las coordenadas de los puntos que nombras, inicio, despues de girar 60º que comentaste en anterior post y final, en la función hiperbólica que he anotado anteriormante para ver que se ajusta a lo que comentas.
Los ángulos de inicio, final y en cualquier punto lo podriamos deducir por derivadas, tengo anotado tambien la función en forma explicita, en la que se ve facilmente que es una hipérbola con asíntota horizontal por el vertice del cono
Saludos
Jesús C
Integrando ds=sqrt(dx^2 + dy^2 +dz^2) con tus ecuaciones con t entre 0 y pi me da una longitud de 2*sqr2 que es la longitud de la diagonal en el plano. con una precision de unos 8 digitos,luego tus ecuaciones deben estar bien.
Sebas, al grabar mi anterior comentario he comprobado que has encontrado la misma ecuación que yo.
Es un cilindro hiperbólico. Su eje es la recta que pasa por el vértice del cono y es paralela a la que une el origen y el destino del paseo de los gusanos.
El primer plano asintótico es, como tú dices, el horizontal que pasa por el vértice del cono.
El otro plano asintótico es, casualmente, el plano tangente al cono que contiene la generatriz del mismo de la que parten los gusanos.
Resulta grato comprobar cómo la geometría ofrece soluciones peregrinas a problemas de fácil planteamiento.
El camino solicitado es un trozo de la intersección de dos superficies de segundo grado, en este caso, de dos cuádricas degeneradas pues ninguna de ellas tiene doble curvatura, ambas son regladas.
Sebas y frank
Sí, las ecuaciones del camino del gusano son correctas porque sólo hay un camino que vaya por la superficie del cono entre los 2 puntos y que mida 2sqr2 (la línea recta en el desarrollo plano).
(1) Parte del punto (0,-1,0), para t = 0, y llega a (0,1,0), para t=pi. También pasa (para t=pi/2) por el punto (spr2/2, 0, (2sqr3-sqr6)/2 ).
(2) El camino está en la superficie del cono porque cumple su ecuación
Ecuación del cono
x^2 + y^2 – 1/3 (sqr3-z)^2 = 0 para 0< z =<sqr3
(3) La longitud del camino es 2sqr2.
Para el punto (3) se tendría que calcular una integral.
http://www.wolframalpha.com/input/?i=Integrate%5BSqrt%5BD%5BSin%5Bt%5D%2F%28Sin%5Bt%2F2%5D+%2B+Cos%5Bt%2F2%5D%29%2C+t%5D%5E2+%2B+D%5B-Cos%5Bt%5D%2F%28Sin%5Bt%2F2%5D+%2B+Cos%5Bt%2F2%5D%29%2C+t%5D%5E2+%2B+D%5BSqrt%5B3%5D+-+Sqrt%5B3%5D%2F%28Sin%5Bt%2F2%5D+%2B+Cos%5Bt%2F2%5D%29%2C+t%5D%5E2%5D%2C+t%2C0%2Cpi%5D
A wolfram le da 2sqr2.
Sebas,
La superficie que comentas no pasa por los puntos (0,-1,0) y (0,1,0)
y^2-sqr3*xy+3x-2sqr3*y=0
http://www.wolframalpha.com/input/?i=3d+plot+y%5E2-%28sqr3%29xy%2B3x-%282sqr3%29y%3D0
No veo que la curva esté contenida en esta superficie.
Ya tenemos solución del desafío:
La astucia a veces no basta
Jesus C: La curva si pasa por los puntos, ten en cuenta que para aplicarlos a la función la función es f(x,z) (yo tengo cambiada la y por la z)
Saludos
Sebas,
OK, para que nos cuadre con las otras ecuaciones (cono, curva, plano,..), sería entonces
z^2-(sqr3)xz+3x-(2sqr3)z=0
http://www.wolframalpha.com/input/?i=3D+plot+z%5E2-%28sqr3%29xz%2B3x-%282sqr3%29z%3D0
Saludos