Aprovechando que acabamos de entrar en el año 2009 os dejo unos problemas relacionados con este número:
- Sea
el
-ésimo término de la sucesión
, sucesión que comienza con el
, número impar, que sigue con dos pares (los siguientes al
, ¿cuál es el valor de
- Encontrar todas las ternas
de enteros tales que
, con
.
- Encontrar el mayor número entero que es menor que
.
- Demostrar que no existen funciones
tales que
para todo
.
Ánimo y a por ellos.
Por cierto, a ver si terminan las fiestas y vuelvo a la publicación más o menos habitual. Estas fechas son magníficas para trastocar todo tipo de planificación.
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La sucesión se puede dividir en bloques: En el bloque 1 hay un impar, en el bloque 2 hay dos pares y se salta un impar, en el bloque 3 hay tres impares y se saltan dos pares. En general, el bloque k tiene k números y salta k-1. El número de término n al final del bloque k es al final del bloque k es Es decir, que al final del bloque k, La raíz de 2009 es 44,82…. El número final del bloque 44 es y el del bloque 45 es , así que 2009 está en algún… Lee más »
Es la sucesión de Connell:
Ver aquí.
Para z=2, (y-x)(y+x) = 2009, y tanto y-x como y+x son divisores de 2009. Los divisores positivos son 1, 7, 41, 49, 287 y 2009.
Puedo mirar primero los casos y>0, x>0 y y-x>0, y luego añadir soluciones negativas.
Casos:
d1=1 d2=2009
d1= 7 d2= 287
d1=41 d2=49
No hay soluciones para
.
, con z impar, es creciente, necesariamente 
para que 
.
, de modo que 
es divisor positivo de 2009. a = 1, 7, 41, 49, 287 o 2009.
, 
.
ha de ser positivo y además un cuadrado perfecto, sin embargo esta condición no se cumple para ninguno valor de a divisor de 2009, así que no hay soluciones.
Como la función
Como
Para cada a esto es una ecuación de segundo grado. El discriminante
[…] Problemas sobre el número 2009gaussianos.com/problemas-sobre-2009/ por pichorro hace pocos segundos […]
Una posible forma de atacar el número 3: Sea la sucesión , (). Se ve que . Tomando logaritmos (naturales), llegamos por recurrencia a la fórmula Así, la sucesión es estrictamente creciente y acotada superiormente (ya que la serie converge por comparación). Por lo demás, ya sólo resta acotar la serie anterior. Sumando doce términos ya obtenemos una aproximación con un error menor que una milésima (lo cual nos dará un error menor que tres milésimas al tomar la exponencial). De cualquier manera, dicha serie converge a un valor , y por tanto, tomando exponenciales, estará comprendido estrictamente entre 2… Lee más »
Iba a excusarme diciendo que tengo una demostración de que no hay soluciones de para z>2, pero que la ventana de comentarios es demasiado pequeña para anotarla. Supongo que no cuela, así que allá voy. Basta con encontrar soluciones para primo, porque el caso de z compuesto es un caso particular del de sus factores primos. Podemos limitar al estudio a los casos en que y es positivo y es positivo, porque para una solución que no lo sea, tomando los negativos de x e y, e intercambiando x e y, llegaremos a una solución que cumpla esas condiciones. También… Lee más »
1.)… vaya sucesion. pero, esto no es diferente, por que responde al numero, de… … hasta ir completando el respectivo numero de veces impares para el y pares de veces para el claro esta, con el respectivo que genere el valor. como ya es sabido 2009 es impar, luego responde a , en una posicion en la sucesion. asi el 17, corresponde a la posicion en la sucesion, el 25 sera , asi la posicion del numero 2009 en la sucesion, sera , , y esa posicion corresponde a un impar, es decir a , y cual es ese que… Lee más »
Si n=1005, Tobar, entonces tenemos que a(n)=1965.
El valor correcto del índice es el mencionado por Gulliver, pues en la sucesión de Connell a(1027)=2009.
Bueno vamos con la cuarta cuestión (que por cierto no será aplicable el año que viene 😀 ). La cuestión está en que la función definida sobre tiene «raíz cuadrada» si y sólo si es par ( cumpliría ). Vamos a ver porqué no es posible en el caso impar 1) (aplicar en la ecuación original) 2) (aplicar en la ecuación original) 3) De la propiedad 2), 4) Por 3) y 1), los valores son incongruentes módulo 2009: si y (con ), entonces vemos de 3) que , y de 1) que y . 5) De la identidad del enuncado… Lee más »
Perfecto. Solo añado que tampoco es posible f(k) = k, porque aplicando f en ambos lados se obtendría k + 2009 = k.
Retiro lo dicho. Ya estaba contemplado en el punto 6 de tu demostración, cuando p=0.
si, he examinado un poco y estoy de acuerdo con lo que dice Omar-P y la conclusion de Gulliver sobre la sucesion de conell. que por cierto para los interesados es…![a_n=2n-\frac{1}{2}\sqrt[2]{8n-7}](https://s0.wp.com/latex.php?latex=a_n%3D2n-%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%5Csqrt%5B2%5D%7B8n-7%7D&bg=ffffff&fg=000000&s=0 "a_n=2n-\frac{1}{2}\sqrt[2]{8n-7}")
.
agrega +1, pero es relativamente facil hacer igualar a 2009, la cuestion que amerita es, como sale la sucesion? es decir, cual es el procedimiento logico-deductivo para obtenerla? puede alguien ayudar dando esta informacion para obtener termino general ?. de antemano gracias si responde.
estoy de acuerdo con la pregunta, alguien puede explicar de donde sale la formula de conell ?.
por que ^DiAmOnD^ no opina ?, vamos ^DiAmOnD^ opina… tu debes saber bastante eh… . magnifico blog.
¿Has verificado esa fórmula?
una preguntita… quienes de ustedes son matematicos?, todos son matematicos?… .parece un blog de solo matematicos.
por supuesto, si no no estaria de acuerdo.la pregunta es otra.
vaya, la pregunta es eso no se saca con termino general comun, verdad ? por ejemplo, las sucesiones »faciles» responden a la aritmetica o geomtrica (A. Tn= an +(n-1)d, Tn = termino general) entonces como se llega a la formula de conell ?.
También debe llevar el símbolo de redondeo.
Respecto a la fórmula explícita de la sucesión de Connell: Nombremos a la sucesión por bloques como hizo Gulliver: Bloque 1: Bloque 2: Bloque 3: Etcétera Es decir, dentro del bloque (), hay elementos y existe una función (para ) que nos indica la posición del elemento que ocupa la posición del bloque respecto al valor inicial de la sucesión. Así, el bloque está formado por los elementos ’s cuyos índices son de la forma (como decía Gulliver, el bloque k+1 empieza en la posición y acaba en la posición ). Además, ya sabemos que el elemento que ocupa la… Lee más »
Vaya, M, me acabas de ‘robar’ la explicación, je, la he visto mientras usaba la vista previa. Un saludo.
Bueno, como también estaba en ello, lo mismo dicho de otra forma: El libro ‘Sobre los números poligonales’ de Diofanto da una fórmula para encontrar el lado de un número poligonal dado, que en el caso de un numero triangular se traduce en . Entonces si D(n) es la secuencia 1 1 2 2 2 3 3 3 3 4 …, D(n) es el lado del mayor número triangular menor o igual que n. D(n) = Si B(n) es la secuencia 1 2 2 3 3 3 4 4 4 4 5…., B(n) = D(n-1) + 1. Y como la… Lee más »
Encontré que una fórmula general para hallar números poligonales es:
P(n,k) = (n-2)(k-1)k/2 + k
En donde P(n,k) es el k-ésimo número n-gonal.
Por ejemplo, si hacemos: k=19 y n=12, nos encontraremos con el décimonoveno número dodecagonal:
¡Un número muy interesante!
Muy buena observación, fede! Resulta que tengo la versión de la Aritmética y el Sobre los números poligonales de Diofanto que sacó hace unos meses Nivola pero no aún no he tenido tiempo de estudiarla con calma. Por si alguien está interesado, acabo de ver que la expresión del lado
de un número 
-gonal 
viene en la página 284 del tomo II:
¡Muy buena!. Si P=1729 entonces n=19.
Ahora nos falta saber que tipo de m-gonal es el número poligonal P, conociendo su índice n, mayor que 1. Para ello empleamos la siguiente fórmula:
m = 2(P-n)/(n(n-1)) + 2
Ejemplo:
Sabiendo que n=19 y P=1729 utilizamos la fórmula y vemos 1729 es un número 12-gonal.
[…] problema relacionado con este año . Aquí podéis ver alguno más que se publicaron en […]
Les felicito por el aporte a la ciencia con la elaboración de páginas de esta naturaleza.
Sinceramente, felicidades.
Leandro Garcia
Me impresiona que aveces nos ahogamos en un vaso de agua; felicidades señor gulliver puedo decirte aun no entender tu gran capacidad, pero te cuento que en el año 2002 yo ya tenia una solución del ultimo teorema de Fermat con el metodo que utilizaste en tu demostración de no existir ternas para numeros mayores al 3 para el ejercio 2 de este portal, es decir la solución maravillosa de que Fermat hablo si existe.
fantástico! podrías enseñárnosla?
Ya empezamos…