Polinomio y sucesión

Publicado por ^DiAmOnD^ | 28 septiembre, 2010 | Juegos | 18 |

Vamos con el problema semanal. Ahí va su enunciado:

Sea $p(x)$ un polinomio con coeficientes enteros. A partir de él definimos la siguiente sucesión:

$\begin{matrix} a_0=0 \\ a_{n+1}=p(a_n) \end{matrix}$

con $n \geq 0$ .

Demostrar que si existe $m \geq 1$ tal que $a_m=0$ entonces $a_1\cdot a_2=0$ .

Suerte.

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Sobre el Autor

^DiAmOnD^

Miguel Ángel Morales Medina. Licenciado en Matemáticas y autor de Gaussianos y de El Aleph. Puedes seguirme en Twitter o indicar que te gusta mi página de Facebook. También tengo un blog dedicado a las "escape rooms", por si te apetece pasarte: XRooMers.

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18 Comments

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Bitacoras.com

28/09/2010 12:24

Información Bitacoras.com…

Valora en Bitacoras.com: Vamos con el problema semanal. Ahí va su enunciado: Sea un polinomio con coeficientes enteros. A partir de él definimos la siguiente sucesión: con . Demostrar que si existe tal que entonces . Suerte. Entra en Gaussianos si……

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Vayapordios

28/09/2010 18:22

Creo que la expresión del producto nulo es una manera enrevesada de decir que si se cumplen las condiciones, la sucesión es idénticamente nula. Lo que es evidente es que si se cumplen las condiciones, la sucesión es periódica y forman el ciclo los valores de, como mucho, a(0) a a(m – 1)

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28/09/2010 18:26

vayapordios, lo dice el enunciado es que la sucesión debe ser nula o de la forma 0,a,0,a,0,a,…

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Vayapordios

28/09/2010 18:40

Ya, pero eso es lo que no sé demostrar. A lo más que llego es a lo que he escrito, que es periódica.

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Antonio QD

28/09/2010 20:24

Buenas tardes El problema es un tanto complejo. Al menos, a mi me lo parece. Partamos de que sabemos que el polinomio tiene la siguiente forma: Esto nos lleva a deducir que todos los son enteros. Además, como deducimos también que todos los son múltiplos de . Si todos los y ya hemos acabado. Consideremos el caso no trivial en que . Como existe un tal que tenemos la relación o lo que es lo mismo, es una raiz entera de , esta raiz debe ser a la vez divisor y múltiplo de , así que o bien , o… Lee más »

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josejuan

28/09/2010 22:03

¿Eso pone el enunciado?, pues yo no veo ni el enunciado…

Yo lo que veo que pone es que, «con que haya un elemento de la sucesión ( $a_{0},a_{1},a_{2},\cdot \cdot \cdot$ ), sin contal el primero, que valga cero, entonces, se puede asegurar que el segundo elemento o el tercer elemento valen 0″.

$a_{m\geq 1}=0\rightarrow a_{1}a_{2}=0$

Yo otra cosa no veo que ponga…

Lo de la periodicidad, ¿dónde lo pone? 🙁

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hernan

28/09/2010 22:10

Lo de la periodicidad es consecuencia de cómo está armada la secuencia: cada nuevo valor es función del valor anterior. Con lo cual, la propiedad a demostrar equivale a lo que dice M (18:26).

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fede

28/09/2010 23:58

Sea c el término independiente de p(x).

$a_1 = p(0) = c$ , y todos los $a_i$ son múltiplos de c.

Si $a_m = 0, \ \ a_{m-1}$ es raiz de p(x) y por tanto divide a c.

Entonces $a_{m-1}= \pm c$ y c o -c son raices.

Si c es raiz, la secuencia es 0 c 0 c …

y basta con demostrar si -c es raiz, -c no puede estar en la secuencia $a_i$ .

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mtristan

29/09/2010 01:49

No soy un gran entendido en matemáticas (estudio ingeniería), pero hace un tiempo que me atrae esta página, sobre todo sus ejercicios demostrativos semanales 🙂
En este debe haber algo que no me queda bien claro…

Si $a_0 = 0$ entonces el polinomio tiene la pinta $p(x)=0+a_1 x+a_2 x^{2}+ .. .+a_n x^{n}$
Pero si $a_{n+1}=p(a_n)$ queda

$p(a_1) = p(0) = 0+a_1 0+a_2 0^{2}+ .. .+a_n 0^{n} = 0$

Y $a_1 . a_2 = 0$ sin importar si existe o no existe m

¿Dónde se ve mi error?

¡Saludos a todos!

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frank

29/09/2010 04:27

Me parece que la relacion cumple con cierto patron recursivo…. tal vez desglosandolo un poco y usando unos de los razonamientos de fede podria demostrarse. si me da tiempo lo publico, si nadie se me adelanta.

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gaussianos

Admin

29/09/2010 05:54

Dadle otra vuelta a los comentarios porque algunos habían sido marcados como spam y los acabo de poner.

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fede

29/09/2010 13:13

Vaya, no vi el comentario de Antonio QD. Parece que por esa vía se complica el tema.

Buscando por ahí he visto el truco:
X-Y | p(X)-P(Y) (en Z[X,Y])
De aquí se obtiene que $\dfrac{a_{i+2} - a_{i+1}}{ a_{i+1} -a_{i}} = \pm\ 1$ si la serie es ciclica
y por tanto $a_2$ = 0 o 2c, si $a_0=0$ y $a_1=c$ .
Pero si es 2c la serie $a_i$ no puede llegar a 0, si sigue la regla anterior.

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Dani

29/09/2010 14:48

Fede, Antonio QD:
efectivamente yo tambien necesito solamente ver que pasa si $a_{m-1}=-b_0$ , entendiendo por $b_0$ como el termino constante del polinomio. Es desde luego claro que hay polinomios que tienen al negativo de su termino constante como raiz, por lo que hay que demostrar que si ese es el caso entonces $p^k(0) \neq -b_0 \, \, \forall k \in \mathbb{N}$ . No he conseguido demostrar esto ultimo.

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fede

29/09/2010 15:18

Un comentario anterior quizá fué a spam.

Dani, el resultado del post se deduce a partir del hecho de que X-Y | p(X)-p(Y) (en Z[X,Y])
(No hace falta pasar por $a_{m-1} = -b_0$ )

Responde

29/09/2010 17:13

De acuerdo, fede. Una posible vía es considerar que es divisible por , siempre que . A continuación detallo una justificación del resultado, que espero no desvíe la atención a otras alternativas. Teniendo en cuenta el comentario inicial consideramos , . Entonces siempre que tendremos . Sea el menor índice para el que se verifica . Dado que , tendremos y . Si entonces . Supongamos entonces que (con lo cual ). Entonces se tiene que , ya que de existir <m con , tendríamos , y para todo . Esto implicaría que , con n<m (contradicción). Luego, podemos escribir… Lee más »

-1

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Alfonso

30/09/2010 01:27

@mtristan tu error está en que estás suponiendo que $a_{0}$ viene dado por el polinomio, pero observa que $a_{n+1}=p(a_{n})$ para $n\geq0$ .

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orlin

01/10/2010 18:10

estoy intentando publicar algo y no me deja.

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orlin

02/10/2010 13:06

A ver si hoy me deja publicar….

Sabemos:
$a_{1}=p(a_{0})=p(0)=b_{0}$ , donde $b_{0}$ es el término independiente del polinomio.
$a_{2}=`p(a_{1})$

Si, $a_{m}=p(a_{m-1})=0\rightarrow p^{m-1}(a_1)=0=p^{m-1}(b_{0})$ , entonces $b_{0}$ es raiz del polinomio $p^{m-1}(t)$ . Luego tiene que ser proporcional al término independiente de $p^{m-1}(t)$ , que és $p^{m-2}(b_{0})$ , entonces $p^{m-2}(b_{0}) = kb_{0}\rightarrow p^{m-2}(b_{0})=p^{m-2}(a_{1})=p(a_{m-2})=a_{m-1}=kb_{0}=ka_{1}$ (1).

También sabemos que $a_{m}=p(a_{m-1})=0\rightarrow b_{0}=qa_{m-1}, a_{1}=qa_{m-1}$ (2). De (1) y (2) $a_{1}=a_{m-1}$ y de ésta $p(a_{m-1})=p(a_{1})=0$ (3).

(3) implica que:
a) $a_{1}=0 ~ (p(0)=0)$
b) $a_{1}$ distinto de 0 y $p(a_{1})=0\rightarrow a_{2}=0$

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04/10/2010 16:57

orlin, de (1) y (2) lo que se deduce es $a_1=\pm a_{m-1}$ . Con la determinación positiva obtienes directamente que $a_2=0$ . Sin embargo podría darse el caso negativo.

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