Comenzamos este mes de julio con el problema de la semana. Ahí va:
Demostrar que cada
entero se puede representar de infinitas formas como
con
y elecciones adecuadas de los signos
y
.
Que se os dé bien.
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A mí lo que se me ocurre es lo siguiente. El enunciado a probar equivale a probar que el número 1 se puede expresar de infinitas formas distintas (con la regla de que si usamos un número en una de las combinaciones para hacer el 1, no lo podemos usar en ninguna otra). Notemos: . Y obviamente hay infinitos cuadrados de la forma como pueden ser al tomar n como 8, 32, 124 obtenemos los cuadrados de 4, 8, 16. Entonces y todo se resumiría en tomar un n que verifique que es un cuadrado perfecto. Sea y por tanto… Lee más »
Perdón, acabo de releer el problema y vi que leí mal el enunciado. Disculpas.
Lo que sí es cierto, es que tiene que haber al menos algún número que se represente de infinitos modos puesto que las posibilidades de combinar los signos entre los valores que puede alcanzar la suma
tiende a infinito.
Una vez que se demuestra que existe al menos una combinación que cumple la fórmula inicial, es bastante directo demostrar que hay infinitas (pista: con un cubo pequeño de números adicionales es suficiente).
Pero claro, falta demostrar que al menos hay una…
Mmm, pensándolo mejor y basándome en lo desarrollado para demostrar que hay infinitas soluciones, es sencillo demostrar que hay al menos una manera de representar n de la forma deseada (construcción).
Si nadie más se anima, luego lo pongo.
@Daniel Cao
¿Puedes explicar por qué habías leído mal el enunciado? A mí tu primer comentario me parecía correcto.
Yo lo que demostré es que había infinitas formas distintas de descomponer un entero como suma y resta de cuadrados.
Pero en ningún caso tuve en cuenta que la suma de cuadrados tuviera que ser de la forma
(podríamos decir que mi descomposición no era de «cuadrados seguidos»).
Por ejemplo descompondría
(pero como ves la descomposición no se ajusta a lo propuesto).
De hecho si probamos lo que en realidad se pide, lo que he hecho yo es un corolario trivial e inmediato.
Pues la verdad, a mí no se me ocurre absolutamente nada.
este es de los entretenidos… + 1 + 4 + 9 + 16 – 25 – 36 + 49 + 64 – 81 = 1 + 1 + 4 – 9 – 16 + 25 – 36 + 49 + 64 – 81 = 1 + 1 – 4 + 9 + 16 – 25 + 36 – 49 – 64 + 81 = 1 + 1 – 4 – 9 – 16 + 25 + 36 – 49 – 64 + 81 = 1 – 1 + 4 + 9 – 16 – 25 – 36 + 49 –… Lee más »
@Santiago, más pistas: Si consigues (de forma genérica) con sumas y restas de cuadrados consecutivos obtener un cero, ya tienes más de la mitad del problema resuelto 😉
@rtomas, vas por buen camino…
A.M. ya veo, muy buena pista. Con cualesquiera 8 cuadrados consecutivos se puede hacer un cero.
@rtomas, efectivamente! Con eso lo de infinitas soluciones es directo. Pero falta probar que al menos hay una solución para cualquier n. Para esto el truco está en mirar qué se puede hacer con menos de 8 cuadrados consecutivos…
A.M. si bueno, el resto ya me parecia mas facil:
el 1 es 1^2
el 2 es – 1 – 4 – 9 + 16
el 3 es -1 + 4
con cualesquiera 4 cuadrados consecutivos se puede hacer un 4.
Asi que teniendo el 1,2,y 3 y cualquier multiplo de 4 ya esta.
(los infinitos los dan los octetes de antes)
gracias por la pista.
jeje, a mí me costó más ver esa última parte 😉
Si se me permite poner la siguiente migaja apuntada ya por A.M (sí, me aburría, jeje) …Es simplemente demostrar que 4 se puede expresar como suma/resta de cualesquiera 4 cuadrados consecutivos:
4 = n^2 – (n-1)^2 – (n-2)^2 + (n-3)^2 = n^2 – n^2 + 2n – 1 – n^2 + 4n – 4 + n^2 – 6n + 9 = – 1- 4 + 9 = 4
Veamos primero que para todo m natural, se verifica: m^2 – (m+1)^2 -(m+2)^2 + (m+3)^2 = 4 Desarrollando; m^2 – (m+1)^2 -(m+2)^2 + (m+3)^2 = m^2 – m^2 – 2m – 1 – m^2 – 4m – 4 + m^2 + 6m +9= -1-4+9=4 Probemos que existe alguna manera de expresar cada número natural como se enuncia: Sea n natural; puede ser: 1. n = 4k ; en ese caso, n = (1 – 4 – 9 +16) + … + (m^2 – (m+1)^2 -(m+2)^2 + (m+3)^2 ) donde m = 4(k-1) + 1 2. n = 4k -1 .… Lee más »
Lo siento; en el 4º caso debería ser;
n= 4k -3
si k>1,
n = (1 – 4) + (9 – 16 – 25 + 36) + … + (m^2 – (m+1)^2 -(m+2)^2 + (m+3)^2 )
donde m=4k-1
@Daniel Cao A mí me pasó lo mismo y lo peor es que no me di cuenta cuando lo dijiste tú. Si lo entiendo bien, la clave es que si tenemos una expresión de sumas y restas de cuadrados de un conjunto de números, con un valor, de forma que los números con signo + y los de signo – suman lo mismo, entonces se puede sumar una constante a cada número y el valor no cambia. Usando eso se demuestra que con cualquier conjunto de 4 números consecutivos se puede conseguir un 4 y con cualquier conjunto de 8… Lee más »
[…] […]
golvano, no entendí qué quisiste decir con eso de que «se puede sumar una constante a cada número y el valor no cambia»… LMM, me parece correcto lo que dices, aunque creo que te complicaste un poco… Por ejemplo, desarrollaste la expresión de los 8 cuadrados consecutivos que dan cero, pero no era necesario. Si 4 cuadrados consecutivos con signos + – – + dan 4 está claro que otros 4 cuadrados consecutivos con signos – + + – dará exactamente -4 y la suma de los 8 dará 0. También haces casos 4k-1, 4k-2, 4k-3 y creo que hubiese… Lee más »
Creo tener otra forma de resolver el problema. Para mi fue mas facil al ver el cuadrado de un numero como la suma de impares consecutivos. Nuestro numero k debe ser expresado como la siguiente sumatoria: k=a1*1+4a2+9a3+…..+an*n^2. Donde an=(+-)1 Ahora bien, yo puedo expresar el numero k como la siguiente sumatoria: k=m1+3m2+5m3+7m4+…..+(2n-1)mn. Vamos a revisar la primera sumatoria en funcion de los numeros impares k=a1*(1)+ a2*(1+3)+ a3*(1+3+5)+ a4*(1+3+5+7)+ . . . an*(1+3+5+7+…..+2n-1) Al relacionar la primera sumatoria con la segunda sumatoria, se tiene que: m1=a1+a2+a3+….+an m2=a2+a3+a4+….+an . . . mn=an Esto implica que |m1-m2|=|a1|=1 |m2-m3|=|a2|=1 |m3-m4|=|a3|=1 |mn|=|an|=1 De aqui se… Lee más »
Ah, por cierto, el problema este me recordó la secuencia de Thue-Morse (la cual conocí en el libro de Pickover «El libro de las matemáticas») Que es una secuencia binaria definida de manera recursiva con esta regla: el 0 se transforma en 01 y el 1 se transforma en 10. Se parte de 0, el cual se transforma en 01 y en cada iteración se tranforman todos los dígitos así que en 01 cada uno de ellos se transforma dando como resultado 0110 (que recuerda a los signos de los 4 cuadrados) y transformando 0110 llegamos a 01101001 (que recuerda… Lee más »
Me estoy preguntando si se podrá hacer lo mismo con cubos y con cualquier otra potencia… En el caso de cubos, restando dos cubos consecutivos nos libramos de las potencias cúbicas y queda una resta en función de un cuadrado… Intuyo que restando al estilo Thue-Morse (una resta de cubos menos la resta opuesta, 4 cubos) llegaríamos a una función de potencia 1 y con otra resta (8 cubos) llegaríamos a una constante… y con 16 cubos llegaríamos a obtener el 0. (m+1)^3 – m^3 = 3*m^2 + 3m +1 (m+3)^3 – (m+2)^3 – (m+1)^3 + m^3 = 3*3m^2 +… Lee más »
@Acido Lo que intentaba era ver en qué condiciones se puede sumar una constante a cada número de una expresión de este tipo y que no cambie el resultado final. Por ejemplo: La segunda expresión se obtiene sumando 10 a los números de la primera. Y el valor se conserva si sumamos cualquier otro número. Sin embargo: En este caso el valor no se conserva. Es fácil ver que las condiciones que se tienen que cumplir son: – El número de elementos con signo + tiene que ser igual al número de elementos con signo -. – La suma de… Lee más »
Problema interesante.
Basta con conseguir secuencias de resultaol 1 al 4, el resto se automatiza con lo visto para cuadrados de 4 y 8.
1 = 1^2
2 =
3 = -1^2 + 2 ^2
4 = 1^2-2^2-3^3+4^2
Si conseguimos el dos, sumando series de valor cuatro conseguimos cualquier n.
Los negativos son iguales con los signos cambiados y el cero ya se ha visto como construirlo con los 8 primeros
Y 2 = -1^2-2^2-3^2+4^2, con lo que se termina
Una vez establecido como obtener el 4 sumando cuatro cuadrados consecutivos con los signos adecuados y el 0 sumando ocho cuadrados consecutivos con los signos adecuados basta obtener únicamente el 1 y el 2 ya que el 3 es innecesario pues 4*n + 3 es igual a -1^2 +4*(n-1).
Acido; he completado la demostración de los cubos que sugieres. Contamos ya con una secuencia de ocho cubos para obtener 48 y otra de dieciséis para obtener 0. En todas las sumas obtengo el resto de dividir por 48. Si este resto es mayor de 24 cambio todos los signos de la secuencia y le añado un grupo de ocho cubos que sume 48. Con el primer cubo obtenemos el 1. Con los dos primeros obtenemos 7 y 9. Con los tres primeros obtenemos 12, 14 y 20. Con los cuatro primeros obtenemos 2 y 4. Con los cinco primeros… Lee más »
Perdón, al final debe decir complementarios a 48.
Genial, JJGJJG
Empecé a hacerlo yo también y borré lo que había escrito sin querer (y no me puse a rehacerlo)…
De todas formas, olvidaste el 18.
Voy a ver si puedo obtenerlo «a partir» del 20 (tres cubos):
27 – 8 -1 = 18 … Sí !! (el 20 es 1-8+27 … cambia el signo del 1)
(si no hubiese probado por cercanía al 16)
Efectivamente, yo también tenía ese 18, pero olvidé transcribirlo en mi comentario.
Así que tenemos que… Para cuadrados se obtiene: * una constante (4) con 4 consecutivos con signos + – – + y * cero con 8 consecutivos con signos + – – + – + + – Para cubos: * una constante (48) con 8 consecutivos con signos + – – + – + + – y * cero con 16 consecutivos con signos + – – + – + + – – + + – + – – + Para potencias cuartas… intuyo: * una constante (?) con 16 consecutivos + – – + – + + – –… Lee más »
La fórmula queda mejor así: C_p = p!*2^(P*(P-1)/2)
Cierto, JJGJJG, mejor esa que dices, gracias.
No he leido todos los comentarios y por lo tanto no se si se habrá hablado ya pero supongo que demostrando que estamos ante una serie alternada condicionalmente convergente, por el teorema de reordenamiento de Riemann ya lo tendríamos…