Sobre la nueva demostración trigonométrica del teorema de Pitágoras

Desde hace unos días, llevo viendo en distintos sitios de internet la noticia de que dos estudiantes de instituto han demostrado el teorema de Pitágoras usando trigonometría, y que es la primera vez que se demuestra este teorema de esta forma, ya que hasta ahora se creía que era imposible.

El recelo ante ello es evidente, ya que aparecen noticias de este tipo sacadas de contexto (o directamente falsas) en medios de comunicación con demasiada frecuencia. Por poner un ejemplo, la de hace unos años con Shouryya Ray como protagonista (que, tras el revuelo, fue aclarada por sus profesores), en la que yo mismo caí (por presiones externas, aunque eso no justifique mi error) y por lo cual me llovieron los palos (posiblemente, con razón).

Volviendo a la noticia que nos ocupa, lo que he hecho es intentar recopilar toda la información que he podido sobre ella para brindárosla en esta entrada, y así ayudaros a que podáis sacar vuestras propias conclusiones. Por cierto, huelga decir que agradezco cualquier aclaración, corrección o ampliación de información que podáis hacer, tenéis los comentarios de esta entrada para ello.

Creo que lo más lógico es comenzar dando la noticia en sí, ya que puede que haya gente que no la haya visto: Dos estudiantes de instituto, Calcea Johnson y Ne’Kiya Jackson (de la St Mary’s Academy de Nueva Orleans) demuestran el teorema de Pitágoras usando trigonometría, demostración que los matemáticos consideraban imposible. Podéis leerla en inglés en este artículo de Scientific American o en este artículo de The Guardian. También es bastante interesante este artículo de Why evolution is true, que contiene mucha información sobre este tema.

En español, aparece en unos cuantos sitios, aunque la mayoría (si no todos) son traducciones casi directas de artículos de webs en inglés. Por dejar alguno, aquí tenéis este de Business Insider.

¿Es cierta la noticia? Aunque la mayoría de los sitios en los que he leído sobre el tema tiende a exagerar un poco (incluso dicen cosas que no son ciertas), algo debe haber si Calcea y Ne’Kiya han presentado su trabajo en la American Mathematical Society (AMS) y la propia AMS ha compartido la noticia en sus redes sociales. Ahora, hay unas cuantas cosas que comentar al respecto.

Comencemos con el asunto. Básicamente, se ha entendido siempre que, por decirlo de alguna forma, la trigonometría y el teorema de Pitágoras son equivalentes. Sirva como explicación esta cita del libro The Pythagorean Proposition, de Elisha Loomis (que contiene una buena cantidad de demostraciones del teorema), sobre el tema:

No hay demostraciones trigonométricas del teorema de Pitágoras porque todas las fórmulas de la trigonometría están ellas mismas basadas en la veracidad del teorema de Pitágoras.

Esto es, no podríamos utilizar trigonometría, basada en que el teorema de Pitágoras es cierto, para demostrar que el teorema de Pitágoras es cierto. Vamos, que estaríamos cayendo en un razonamiento circular de manual, y por tanto nuestras supuestas demostraciones no servirían para nada, no serían demostraciones válidas.

¿Es cierta esta relación de la trigonometría con el teorema de Pitágoras? Sí, y no. Es evidente la relación entre el teorema de Pitágoras y la identidad , conocida como identidad fundamental de la Trigonometría (de hecho, son en esencia la misma cosa), pero, por ejemplo, las definiciones de seno y coseno de un ángulo agudo no dependen del teorema de Pitágoras. De hecho, tampoco depende del teorema de Pitágoras otro resultado muy conocido de la trigonometría: el teorema del seno. Y no depende de él porque puede demostrarse la validez de este teorema del seno sin usar Pitágoras.

La razón por la que menciono aquí el teorema del seno es que se trata del resultado trigonométrico que estas dos estudiantes han utilizado en su estudio. Según el abstract de su presentación:

In the 2000 years since trigonometry was discovered it’s always been assumed that any alleged proof of Pythagoras’s Theorem based on trigonometry must be circular. In fact, in the book containing the largest known collection of proofs (The Pythagorean Proposition by Elisha Loomis) the author flatly states that “There are no trigonometric proofs, because all the fundamental formulae of trigonometry are themselves based upon the truth of the Pythagorean Theorem.” But that isn’t quite true: in our lecture we present a new proof of Pythagoras’s Theorem which is based on a fundamental result in trigonometry—the Law of Sines—and we show that the proof is independent of the Pythagorean trig identity .

Por tanto, es cierto que su demostración utiliza trigonometría, y que no se basa en el propio teorema de Pitágoras. Creo que es momento de comentar algo más sobre ella.

Johnson y Jackson parten de un triángulo rectángulo de catetos e hipotenusa y ángulos agudos y y de la definición del seno de un ángulo agudo como cateto opuesto dividido entre hipotenusa. Lo que quieren probar es la validez de estas dos igualdades:

Evidentemente, si ambas son ciertas llegaríamos a que , esto es, al teorema de Pitágoras.

La segunda igualdad la demuestran replicando su triángulo, obteniendo así un triángulo isósceles de ángulos y usando el teorema del seno (se llega a ello con una sencilla manipulación algebraica). Ya tenemos una.

Para la primera, construyen lo que llaman el cucurucho (creo que waffle cone se traduce así) uniendo de la siguiente forma infinitos triángulos semejantes al inicial:

Trabajando esta figura, llegan a demostrar la validez de la primera igualdad, con lo que el teorema de Pitágoras quedaría demostrado. Por cierto, en esta fase obtienen series geométricas, y para «sumarlas» usan la conocida expresión de la suma de una serie geométrica. Quedaos con esto, que en un rato comentaremos algo sobre ello.

El trabajo de Calcea y Ne’Kiya todavía no está publicado (si alguien se entera de su publicación, que lo avise en los comentarios), pero hay ya vídeos comentando lo que se cree que es su demostración a partir de la presentación que hicieron en la AMS. Lo que yo os acabo de contar lo he sacado del siguiente vídeo de polymathematic, que también cuenta en detalle cómo demostrar la primera igualdad. Os recomiendo que le echéis un vistazo:

También es interesante este otro vídeo sobre el tema del canal MathTrain:

Como digo, lo que se comenta en estos vídeos no es la demostración completa de las estudiantes, sino lo que se ha sacado como conclusión a partir de la presentación que hicieron. Por tanto, habrá que esperar a su publicación para tener todos los detalles. Y el hecho de que todavía no esté publicado es lo que hace que, aunque tenga buena pinta, se siga tomando con recelo, ya que (hasta donde yo sé) el trabajo todavía no ha podido ser revisado por expertos ni por revistas especializadas. Por ejemplo, ahí va una de las dudas que he visto por ahí que tienen algunos sobre esto:

Habrá que esperar, ojalá poco tiempo.

Acabada la parte en la que comento la demostración propiamente dicha, vamos con lo de que «los matemáticos consideraban que una demostración trigonométrica del teorema de Pitágoras era imposible». Cierto es que en la época de Loomis no había demostraciones trigonométricas del teorema de Pitágoras, pero actualmente ya hay demostraciones de este tipo. No del tipo de la de Calcea y Ne’Kiya, sino demostraciones que utilizan trigonometría.

De hecho, hay una bastante sencilla publicada por Jason Zimba en 2009 y que a mí me parece preciosa. Aquí la tenéis:

Para con , se puede demostrar sin utilizar el teorema de Pitágoras que las expresiones conocidas para el seno y el coseno de la diferencia de ángulos son ciertas:

Esta es la imagen que proporciona Zimba en su artículo para demostrarlo:

Para esta situación, , calculemos el coseno de de la siguiente forma:

De aquí, es evidente que . Ahora, tomando un triángulo rectángulo con catetos e hipotenusa , para uno de sus ángulos tendríamos, con las definiciones de seno y coseno pertinentes, que . O, lo que es lo mismo, el teorema de Pitágoras:

El artículo de Zimba está disponible en la web, por ejemplo aquí: On the Possibility of Trigonometric Proofs of the Pythagorean Theorem. Podéis ver también la demostración en la maravillosa Cut-The-Knot.

Por tanto, NO, la demostración de Calcea y Ne’kiya del teorema de Pitágoras no sería la primera que utiliza trigonometría.

Por otra parte, dijimos unos párrafos más arriba que nuestras dos protagonistas usaban la suma de una serie geométrica en su demostración. ¿Será ésta una idea original en el sentido de ser la primera vez que se utiliza? Pues…tampoco. De nuevo, en esta página de Cut-The-Knot se puede ver una demostración del teorema de Pitágoras que usa esta herramienta.

En consecuencia, TAMPOCO en la utilización de la serie geométrica para demostrar el teorema de Pitágoras serían las primeras.

Resumiendo: puede ser que el trabajo de Calcea johnson y Ne’kiya Jackson tenga buena pinta, y tener una nueva demostración de uno de los teoremas más icónicos de las matemáticas siempre es buena noticia, pero no sería el primero que utiliza trigonometría para ello ni el primero que usa la serie geométrica en su desarrollo. De todas formas, y siempre manteniendo el recelo y las reservas razonables, es digno de mención que dos chicas de instituto hayan sido capaces de llegar hasta donde han llegado. Acabe como acabe la cosa, mis felicitaciones para las dos, y también para los profesores que las han ayudado a llegar hasta ahí.