Hoy, como es habitual, os traigo el problema de la semana. Es el siguiente:
Calcular la probabilidad de que la ecuación de segundo grado con coeficientes reales
tenga raíces reales.
Se entiende dicha probabilidad en el caso límite cuando 
![a,b,c \in [ -N,N ]](https://s0.wp.com/latex.php?latex=a%2Cb%2Cc+%5Cin+%5B+-N%2CN+%5D&bg=ffffff&fg=000000&s=0 "a,b,c \in [ -N,N ]")
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[latex]código-latex-que-quieras-insertar[/latex]
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1/2
Creo que no es 1/2, pero estoy en ello…
se trata de ver en qué proporción del cubo las variables aleatorias cumplen , es decir, que el discriminante de sea positivo. Claramente por tratarse de VAs continuas la desigualdad estricta o no estricta da igual. Ahora bien, si , entonces la condición equivale a , y entonces la proporción del cubo que nos interesa es la que está encerrada debajo de la gráfica de para (notad que no hay problema al acercarse a cero, pintadlo!) Por otra parte, si , entonces la condición es , y como ahora la gráfica está «invertida» por cambiar el negativo el signo de… Lee más »
En efecto veamos cual es la proporción en que cae debajo de la gráfica de . Veamos lo que ocurre entre el eje y la gráfica. Si , entonces las parábolas «tocan al techo». En ese caso notamos que el punto en el que se «salen» de nuestro cubo es cuando . Tenemos entonces que considerar en ese corte el area dada por los dos rectángulos laterales (cuando ya se ha salido la gráfica del cubo) que suman area igual a . Aparte de eso el area que cae debajo de la parabola se calcula como: Resumiendo: en un corte… Lee más »
Sí, eso es lo que me salía a mí, pero no encontré una forma de reducir el volumen.
Muy buena, Dani! Ese es el valor pedido.
es curioso que no haya que tomar ningún límite, es decir, que la probabilidad sea la misma sea cual sea el cubo en el que escojas los coeficientes. Sería interesante plantearse la misma pregunta exigiendo, por ejemplo,
y luego tomar 
Creo que en tal caso, estaríamos aproximando el cubo a una esfera y por tanto, cuando M aumenta, la diferencia es menor.
Es decir, el conjunto de probabilidades que «estan» en la esfera y no en el cubo (conteniendo uno al otro) aumenta proporcionalmente al volumen interior de ambos respecto al exterior.
Vaya, que la solución tiende asintóticamente a la tuya del problema inicial.
Además debería ser bastante rápido, pues el volumen interior aumenta cúbicamente.
Creo…
Resolviendo numéricamente (Montecarlo):
http://jose-juan.computer-mind.com/jose-juan/img/gt/gfx1.png
Habría que ver si el «trocito» que la esfera nunca llega a alcanzar (del cubo) se aproxima a cero o rebaja la cota…
Uhm… en el infinito ¿un cubo y una esfera tienen el mismo volumen?, sí, pues entonces parece que da igual qué estructura convexa se elija, la solución debería tender asintóticamente a tu solución inicial (sea una esfera, un prisma, etc…).
Sería interesante ver entonces si un perímetro no convexo del problema (la restricción a ‘a’, ‘b’ y ‘c’) mantiene su estructura en el infinito o la pierde.
Ugh! vale, creo que no tiene que ver con el tamaño del recinto, sino con la proporción de soluciones reales versus complejas por unidad de volumen, por lo que curiosamente si tomamos una estructura tubular (por ejemplo la representación 3D típica de enlaces químicos) ¡la solución tendería al mismo valor!
¿no?
Y ya por divagar del todo, en un entorno del 0, hemos visto (numéricamente) que hay más soluciones complejas que reales, ¿cómo entonces se distribuyen dichas soluciones en todo el espacio? dicho de otra forma, aun cuando las soluciones reales y/o complejas fueran densas en todo el espacio, ¿cómo de densas son en un sitio y en otro? (ya hemos visto que «cerca» del cero cambian).
Sería algo así como obtener la representación de un campo vectorial (un gas, etc…).
Perdón por el desvarío.
Mi intuicion me ha fallado.
Si me hago la pregunta cómo la probabilidad de que las soluciones no sean imaginarias, parece que tengo que comparar el área de un rectángulo abierto (parte del plano complejo) con el área de un segmento cerrado [-N,N].Y yo diría probablilidad cero.
Parece que las soluciones prefieren situarse en la recta real más que en el plano complejo.
En fin, espero que no me echen por pesado…
Si hacemos rodajas en el plano B, entonces la representación de 4AC es una silla de montar, que divide las soluciones reales y complejas.
Si vamos montando las sillas de montar a lo largo del eje B (superponiendo proyecciones sobre planos B) tenemos una especie de parabólica de sillas de montar.
Y ya está, ni espacio vectorial ni gases ni leches…
Aunque no estoy nada puesto en el asunto, josejuan, mucho me temo que el valor de la probabilidad pedida depende la distribución asumida para los coeficientes. Asumiendo que los tres coeficientes son independientes y se distribuyen uniformemente en un cubo entonces la respuesta es la que ha dado Dani (aprox. 0’6272067…). Sin embargo, si se considera que los coeficientes son independientes con distribución normal (con media cero), entonces la probabilidad aumenta a 0’64851… Esto es consecuencia de la fórmula de Kac: para n=2 el número esperado de raíces reales es 1.29702… y se obtiene la probabilidad dividiendo entre dos (posibles… Lee más »
Desde luego en poco rato me ha dado tiempo a decir muchas tonterías, sin embargo, la distribución de los coeficientes siempre se ha supuesto uniforme en el espacio considerado (pues no se ha dado ninguna), lógicamente si se cambia la distribución de probabilidad de los coeficientes cambiará la probabilidad de obtener una raíz real o compleja ¡pues las raíces dependen funcionalmente de los coeficientes!. El caso que plantea Dani de restringir los coeficientes a cumplir a^2+b^2+c^2<=N (si no lo he interpretado mal) no cambia la distribución, únicamente el espacio muestral (claro, si cambiamos el espacio muestral forzosamente cambiará la distribución,… Lee más »
Si el soporte de la fución de densidad conjunta de las VAs
es 
no pueden ser independientes, ya que es obvio que no se pueden factorizar como el producto de las respectivas funciones de densidad de 
. Para poner un ejemplo, si sabemos que 
, 
pueden variar en un círculo de radio 
, mientras que si 
sólo lo podrán hacer en uno de radio 
. Esto cambia completamente la situación, y no veo nada obvio que vaya a dar el mismo resultado.
creo que viene de perlas la frase que discutimos hace nada:
«La generación de números aleatorios es una cuestión demasiado importante para dejarla al azar.»
Donald Knuth
🙂
Haciendo las cuentas para la cuestión de Dani, debo reconocer que me sorprendió al principio que no obtuviera el mismo resultado. Tras revisar las cuentas creo que para el caso que plantea Dani el resultado es el mismo que se obtiene asumiendo independencia y normalidad (o al menos se le aproxima bastante). Ahí van mis cuentas para ver que ahora la probabilidad es (y de nuevo veremos que es independiente del radio de la esfera) Consideramos la ecuación , con uniformemente elegidas en una esfera de radio : . Queremos hallar la probabilidad de que . Notar que si entonces… Lee más »
fantástico! me sigue pareciendo muy curiosa la invarianza por escala que ocurre tanto al elegir un cubo o una esfera como soporte de densidad para coeficientes uniformemente distribuidos. Por otra parte, ¿por qué precisamente en el caso de la esfera obtenemos la probabilidad correspondiente a una distribución normal? posiblemente la simetría tenga algo que decir ahí, pero no veo la relación así de primeras. Además, en todo caso la simetría sugeriría que haciendo crecer el radio coincidiría en el límite, sin embargo parece ser que coinciden aunque escojamos una esfera muy pequeña! $b^2 \geq 4ac $ es una condición tan… Lee más »
Realicé una simulación, y si comprendí bien el problema, la probabilidad es de 61.8%.
«Dani», tanto el cubo como la esfera están centrados en el origen, por tanto, dada la ecuación tenemos un doble cono (vaya, un cono normal y corriente) revolucionado sobre el eje X=Y. Tanto el truncamiento del cubo como de la esfera sobre el cono es independiente de la escala. En la imagen creo que se ve claramente: http://jose-juan.computer-mind.com/jose-juan/img/gt/cono.png – blanco, espacio en que signo(x)=-signo(y) y por tanto son todas soluciones reales. – rojo, espacio en que signo(x)=signo(y) que comparten la esfera y el cubo. – azul, espacio en que signo(x)=signo(y) que únicamente está en el cubo. Mi hipótesis (refutada por… Lee más »
jejeje qué boitos los dibujos, tengo que aprender a hacer cosas así 😀 sin embargo te equivocas en cuanto a que la figura no es un cono. eso haría las cosas muuuucho más simples jejeje para ver que no es un cono fíjate que si cortásemos con cualquier plano que contenga a su supuesto eje de rotación (necesariamente sería por el dibuo ), tendríamos que obtener dos rectas con el mismo ángulo interno independientemente del plano con el que cortemos. con z=0 se tiene x=0 o y=0, lo que daría un ángulo interno de , mientras que si cortas con… Lee más »
Es verdad, no es un cono «de verdad». Dada la expresión tenemos una «especie» de cono revolucionado sobre el eje X=Y (Z=0 para ser exactos) en la que la diferencia con un cono «de verdad» (de los buenos) está dada por es decir y por tanto la deformación del cono es lineal y proporcional a la constante y respecto los signos de los ejes X e Y, por lo que «las ovejas que entran por las que salen» el resultado viene a ser el mismo (aunque por supuesto antes estaba mal). Es decir, si hacemos el corte, obtenemos dos líneas… Lee más »
Decir que definitivamente las probabilidades en el caso de normalidad y en el caso de la esfera de Dani sí coinciden (exactamente). La integral de Kac para
(divida por dos)
coincide con la integral que puse en mi último comentario
tienes alguna idea para explicar este hecho, M?
Dani, la verdad es que no tengo ni idea. Sin embargo según se puede leer en el abstract del trabajo de Edelman y Kostlan (enlace al arxiv que indiqué en un comentario previo) «We show that the expected number of real zeros is simply the length of the moment curve $(1,t,\ldots,t^n)$ projected onto the surface of the unit sphere, divided by $\pi$» y en el último párrafo de la página 5 del pdf: «If the are independent standard normals, then the vector is uniformly distributed on the sphere » (además vimos que la probabilidad no dependía del radio de la… Lee más »
[…] Raíces y probabilidad | Gaussianos gaussianos.com/raices-y-probabilidad – view page – cached * 2 en ¿De dónde sale la fórmula para resolver ecuaciones polinómicas de segundo grado? * 3 en La notación de Knuth, o cómo escribir ciertos números sin morir en el intento * 46 en Monstruos numéricos […]
Con ecuaciones de 2º grado normalizadas: x²+px+q=0, es bastante sencillo y la probabilidad → 1 para raíces reales con coeficientes reales, y a 0 para raíces enteras con coeficientes enteros.
http://xente.mundo-r.com/ilarrosa/GeoGebra/Prob_Raices_Reales_Ec_Cuad.html…
https://geogebra.org/m/dCnt5RcB