Sumad todos los números naturales del 1 al 10 en orden creciente. Sí, sí, hacedlo: 1 más 2 más 3… Os sale 55, ¿verdad? Bien. Ahora volved a sumar los números naturales del 1 al 10, pero esta vez en orden decreciente: 10 más 9 más 8… Os vuelve a salir 55, ¿no? Bien. ¿Y si los sumamos sumando primeros los pares y luego los impares? ¿O primero los múltiplos de 3 y luego el resto en orden decreciente? ¿Y con cualquier otro orden? Siempre saldrá 55, ¿verdad? Bueno, pues eso no siempre es así.

Como veis lo único que cambia es el orden de los números. ¿Importa el orden en el que coloque los números a la hora de sumarlos?. No…si el conjunto de números que sumo es finito. ¿Y si es infinito? Pues…depende.

¿Qué es una serie?

Sabemos lo que es una serie numérica, ¿verdad? Ese concepto ha salido ya en varias ocasiones por aquí, por ejemplo la semana pasada con la lentitud de la serie armónica y hace algo más de tiempo con el problema de Basilea (y II). Si meternos en mucho formalismo, podemos decir que una serie numérica es una sucesión de términos que se forman sumando los términos de otra sucesión (que es la que genera a dicha serie).

Al ser una sucesión, podemos plantearnos el cálculo del límite de la misma, que si existe se denomina suma de la serie. Generalmente, tanto la serie como su suma, si existe, suelen representarse así:

\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty} a_n}

siendo a_n la sucesión que genera a nuestra serie.

Si el límite al que hemos llamado suma de la serie es un número real, se dice que la serie es convergente. Si no es así la serie puede ser divergente u oscilante, pero eso ahora no nos va a importar.

Esta suma de la serie, que hemos dicho que era el límite de nosequé, en realidad se puede interpretar como la suma de los infinitos términos de la sucesión a_n que genera a la serie, a la vista de la notación utilizada:

\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty} a_n}=a_1+a_2+a_3+ \ldots

Si la serie es convergente, esa suma dará como resultado un número real. Sí, sí, aunque parezca extraño que una suma de infinitos términos dé como resultado un número. Sirva como ejemplo la del problema de Basilea que hemos comentado antes:

\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty} \cfrac{1}{n^2}=1+\cfrac{1}{4}+\cfrac{1}{9}+\cfrac{1}{16}+ \ldots =\cfrac{\pi^2}{6}}

¿Importa el orden en el que se suman los números en una serie?

Entre las sucesiones convergentes podemos distinguir dos tipos: las absolutamente convergentes y las condicionalmente convergentes:

  • Absolutamente convergentes: si tomamos el valor absoluto de a_n nos queda otra serie que también es convergente.
  • Condicionalmente convergentes: si tomamos el valor absoluto de a_n nos queda una serie que no es convergente.

Un ejemplo de las primeras es la propia serie del problema de Basilea, ya que si tomamos el valor absoluto de \textstyle{\frac{1}{n^2}} obtenemos la misma serie, que por tanto será convergente. Y un ejemplo de las segundas podría ser la serie

\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty} \cfrac{(-1)^{n+1}}{n}}

ya que al tomar valor absoluto obtendríamos la serie

\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty} \cfrac{1}{n}}

que es la serie armónica, serie que sabemos que no es convergente.

Bien, pues ocurre que las primeras, las absolutamente convergentes, cumplen que si yo reordeno sus términos su suma no cambia, pero las condicionalmente convergentes poseen la inusual característica de dar sumas distintas si reordenamos sus términos. Más concretamente:

Dada una serie numérica condicionalmente convergente, podemos reordenar sus términos de forma que la suma resultante dé como resultado cualquier número real, e incluso infinito.

No me digáis que no es chocante. ¿Cómo puede cambiar el resultado de sumar números por el simple hecho de cambiarlos de orden? Pues en realidad la explicación es mucho más sencilla de lo que parece. Lo veremos con el ejemplo que hemos puesto antes:

\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty} \cfrac{(-1)^{n+1}}{n}=1-\cfrac{1}{2}+\cfrac{1}{3}-\cfrac{1}{4}+\cfrac{1}{5}-\ldots}

Esta serie, con los términos en ese orden, converge condicionalmente a \ln{(2)} (sí, esto ya es un poco raro). Bien, pues lo que hemos dicho antes es que podemos reordenar los términos de esa suma para que el resultado de sumarlos sea cualquier número real, o incluso infinito. ¿Cómo hacerlo? Fácil. Imaginemos que queremos que la suma dé, por ejemplo, 100. Para ello colocamos los términos positivos que aparecen ahí en primer lugar:

1+\cfrac{1}{3}+\cfrac{1}{5}+ \ldots

hasta que superemos a 100 por primera vez. Después colocamos algunos términos negativos hasta que la suma resultante baje de 100 por primera vez, y así sucesivamente. Habrá ocasiones en las que tendremos que colocar muchos términos (positivos o negativos, según el caso), pero podremos hacerlo (tenemos infinitos términos). Todos los términos se utilizan y el resultado final de la suma (recordad, es un límite) será 100.

Y así lo podemos hacer con cualquier número real, ya sea muy grande o muy pequeño, positivo o negativo, natural, entero, racional o irracional…De hecho el propio \ln{(2)} es irracional, y es la suma de los términos colocados en el orden que marca la serie tal cual está definida. Por tanto, reordenando términos esta suma podría dar 1000000, -4, \pi, 2^{987654321}, 7^e, -e^{\pi}, el producto de todos estos números… Como ya hemos visto por aquí alguna que otra vez, qué extraño es el infinito.

Y hablando del infinito, ¿cómo podría obtener infinito reordenando los términos? Pues…os dejo que lo penséis vosotros. Los comentarios, como siempre, son vuestros.

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