Sumad todos los números naturales del 1 al 10 en orden creciente. Sí, sí, hacedlo: 1 más 2 más 3… Os sale 55, ¿verdad? Bien. Ahora volved a sumar los números naturales del 1 al 10, pero esta vez en orden decreciente: 10 más 9 más 8… Os vuelve a salir 55, ¿no? Bien. ¿Y si los sumamos sumando primeros los pares y luego los impares? ¿O primero los múltiplos de 3 y luego el resto en orden decreciente? ¿Y con cualquier otro orden? Siempre saldrá 55, ¿verdad? Bueno, pues eso no siempre es así.
Como veis lo único que cambia es el orden de los números. ¿Importa el orden en el que coloque los números a la hora de sumarlos?. No…si el conjunto de números que sumo es finito. ¿Y si es infinito? Pues…depende.
¿Qué es una serie?
Sabemos lo que es una serie numérica, ¿verdad? Ese concepto ha salido ya en varias ocasiones por aquí, por ejemplo la semana pasada con la lentitud de la serie armónica y hace algo más de tiempo con el problema de Basilea (y II). Si meternos en mucho formalismo, podemos decir que una serie numérica es una sucesión de términos que se forman sumando los términos de otra sucesión (que es la que genera a dicha serie).
Al ser una sucesión, podemos plantearnos el cálculo del límite de la misma, que si existe se denomina suma de la serie. Generalmente, tanto la serie como su suma, si existe, suelen representarse así:
siendo la sucesión que genera a nuestra serie.
Si el límite al que hemos llamado suma de la serie es un número real, se dice que la serie es convergente. Si no es así la serie puede ser divergente u oscilante, pero eso ahora no nos va a importar.
Esta suma de la serie, que hemos dicho que era el límite de nosequé, en realidad se puede interpretar como la suma de los infinitos términos de la sucesión que genera a la serie, a la vista de la notación utilizada:
Si la serie es convergente, esa suma dará como resultado un número real. Sí, sí, aunque parezca extraño que una suma de infinitos términos dé como resultado un número. Sirva como ejemplo la del problema de Basilea que hemos comentado antes:
¿Importa el orden en el que se suman los números en una serie?
Entre las sucesiones convergentes podemos distinguir dos tipos: las absolutamente convergentes y las condicionalmente convergentes:
- Absolutamente convergentes: si tomamos el valor absoluto de
nos queda otra serie que también es convergente.
- Condicionalmente convergentes: si tomamos el valor absoluto de
nos queda una serie que no es convergente.
Un ejemplo de las primeras es la propia serie del problema de Basilea, ya que si tomamos el valor absoluto de obtenemos la misma serie, que por tanto será convergente. Y un ejemplo de las segundas podría ser la serie
ya que al tomar valor absoluto obtendríamos la serie
que es la serie armónica, serie que sabemos que no es convergente.
Bien, pues ocurre que las primeras, las absolutamente convergentes, cumplen que si yo reordeno sus términos su suma no cambia, pero las condicionalmente convergentes poseen la inusual característica de dar sumas distintas si reordenamos sus términos. Más concretamente:
Dada una serie numérica condicionalmente convergente, podemos reordenar sus términos de forma que la suma resultante dé como resultado cualquier número real, e incluso infinito.
No me digáis que no es chocante. ¿Cómo puede cambiar el resultado de sumar números por el simple hecho de cambiarlos de orden? Pues en realidad la explicación es mucho más sencilla de lo que parece. Lo veremos con el ejemplo que hemos puesto antes:
Esta serie, con los términos en ese orden, converge condicionalmente a (sí, esto ya es un poco raro). Bien, pues lo que hemos dicho antes es que podemos reordenar los términos de esa suma para que el resultado de sumarlos sea cualquier número real, o incluso infinito. ¿Cómo hacerlo? Fácil. Imaginemos que queremos que la suma dé, por ejemplo, 100. Para ello colocamos los términos positivos que aparecen ahí en primer lugar:
hasta que superemos a 100 por primera vez. Después colocamos algunos términos negativos hasta que la suma resultante baje de 100 por primera vez, y así sucesivamente. Habrá ocasiones en las que tendremos que colocar muchos términos (positivos o negativos, según el caso), pero podremos hacerlo (tenemos infinitos términos). Todos los términos se utilizan y el resultado final de la suma (recordad, es un límite) será 100.
Y así lo podemos hacer con cualquier número real, ya sea muy grande o muy pequeño, positivo o negativo, natural, entero, racional o irracional…De hecho el propio es irracional, y es la suma de los términos colocados en el orden que marca la serie tal cual está definida. Por tanto, reordenando términos esta suma podría dar 1000000, -4,
,
,
,
, el producto de todos estos números… Como ya hemos visto por aquí alguna que otra vez, qué extraño es el infinito.
Y hablando del infinito, ¿cómo podría obtener infinito reordenando los términos? Pues…os dejo que lo penséis vosotros. Los comentarios, como siempre, son vuestros.
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Información Bitacoras.com…
Valora en Bitacoras.com: Sumad todos los números naturales del 1 al 10 en orden creciente. Sí, sí, hacedlo: 1 más 2 más 3… Os sale 55, ¿verdad? Bien. Ahora volved a sumar los números naturales del 1 al 10, pero esta vez en orden decreciente:……
Creo que aún estoy un poco confuso con todo esto xD. Intentaré que reorganizando los términos, la serie tienda a infinito. Si no he entendido mal la mecánica, como puedo reorganizarlos todos como me plazca, diré que el primer término sea 1, los siguientes términos los dividiré en bloques, de tal manera que la suma de cada uno de ellos sea mayor que la unidad, como por ejemplo : 1/3+1/5+1/7+1/9+1/11+1/13+1/15 Este podría ser un bloque, por supuesto puedo poner también términos que ocupen posición par, pero siempre que «el bloque» sea mayor que 1. Siempre voy a poder fabricarme estos… Lee más »
Puede que esté pecando de ingenuo al desafiar la validez de un teorema sólo por ser un resultado profundamente antiintuitivo (contrario, de hecho, a los literalmente primeros teoremas que se aprenden en matemáticas: las propiedades conmutativa y asociativa de la suma), pero hay una cosa que no me cuadra nada, y es la siguiente: entiendo que sea posible demostrar que siempre exista una suma infinita de términos que equilibre la suma, pero, ¿tenemos alguna garantía de que efectivamente están incluidos todos los valores de la serie? Porque al fin y al cabo lo que estamos haciendo es escoger unos números… Lee más »
Si, la serie completa nunca llega a sumarse. En ningún caso. Solo se toman sumas parciales y se calcula su límite. Reordenando los términos caprichosamente tenemos distintos resultados
Este tema resulta muy interesante. Recientemente estaba viendo la demostración del Teorema de Riemann para series numéricas (que es el que se menciona en el post), pero en ella no encuentro explicación para el punto que me parece que es la clave de la «contraintuitividad» del teorema: ¿Acaso no cumple la suma de números reales la propiedad conmutativa? ¿cómo es posible entonces que al reordenar una colección de números reales obtengamos una suma diferente? Supongo que la explicación estará relacionada con el infinito o el límite, pero no lo veo. Quizá alguien con más conocimiento matemático me pueda decir dónde… Lee más »
Esta notable curiosidad sólo pasa con series que tengan tanto términos positivos como negativos, ya que se pueden reordenar para acercarte al valor que desees. Siempre quedarán terminos, puesto que hay infinitos…
Y el teorema algo más completo dice que dada una serie de términos positivos y negativos, solamente podrá tomar valores de módulo necesariamente menor al valor que haya tomado la serie de los valores absolutos (que esa solo puede tomar uno, ya que todos los términos son positivos: bien si diverge o converge).
Hacemos dos listas ordenadas: una con todos los términos negativos (-1/2, -1/4, -1/6, ….) y otra con todos los positivos (1, 1/3, 1/5, 1/7…) Tomamos el primer término de la primera lista y le sumamos los términos de la segunda necesarios para que la suma iguale o supere el valor 1. La primera vez tendremos: -1/2+1+1/3 +1/5=1,0333…>1 Tachamos de las listas los términos ya utilizados. Repetimos el proceso anterior creando una suma de valor mayor que 1/2: -1/4+1/7+1/9+1/11+…+1/27=0,5180…>1/2 Volvemos a tachar los utilizados y de nuevo formamos otra suma del primer elemento disponible de la primera lista y los necesarios… Lee más »
Por favor, corrige la última expresión de sumas donde no ha salido el signo negativo de -1/6
CORREGIDO
[…] "CRITEO-300×250", 300, 250); 1 meneos Reordenando, que es gerundio gaussianos.com/reordenando-que-es-gerundio/ por equisdx hace […]
Me has recordado una «demostración» de 2=1:
ln2=1-1/2+1/3-1/4+1/5-1/6+1/7-1/8+1/9…
ln2=1-1/2-1/4+1/3-1/6-1/8+1/5-1/10-1/12+1/7-1/14…
ln2=(1-1/2)-1/4+(1/3-1/6)-1/8+(1/5-1/10)-1/12+(1/7-1/14)…
ln2=1/2-1/4+1/6-1/8+1/10-1/12+1/14…
ln2=(1-1/2+1/3-1/4+1/5-1/6+1/7…)/2
ln2=ln2/2
2ln2=ln2
2=1
Y como la serie vale ln2, y ln2=2ln2, tenemos que ln2=4ln2, ln2=8ln2, ln2=16ln2 y así hasta ln2=∞. 🙂
Si se toman los primeros p terminos positivos de la seriearmónica, luego los primeros q negativos, a continuación los p positivos siguientes, et. la suma es
S(p, q) = (1/2)ln(4p/q)
Para p = q = 1 tenemos la serie en su orden natural, y la suma es ln(2), claro. Aqui está desarrollado:
http://www.xente.mundo-r.com/ilarrosa/ReordenacionSeriesArmonicasAlternadas.PDF
Aquí hay un applet que ilustra el asunto: https://ggbm.at/sTMNagcz
Muy buen post sobre el tema.
) , entonces obtienes una serie convergente, sea cuales sean los escalares.
Ahora mismo estoy trabajando sobre el tema pero en espacios de Banach, y hay un resultado que me parece tremendo; dada una serie incondicionalmente convergente (no importa el orden en el que la pongas, sigue siendo convergente), si a cada elemento de la serie lo multiplicas por un escalar finito (un elemento de
El quid de la cuestión para demostrar el teorema es que si tenemos una serie condicionalmente convergente, es decir, convergente pero no converge en valor absoluto, entonces: 1) Hay infinitos términos positivos e infinitos términos negativos. 2) La serie de los términos positivos y la serie de los términos negativos son divergentes. 3) Los términos positivos y los términos negativos tienden a cero. Yo creo que lo más difícil es probar los dos primeros puntos pero una vez se tienen la demostración es muy fácil, tal y como se comenta en el post. Si por ejemplo se quiere que la… Lee más »
Una cosa curiosa y quizá también anti-intuitiva es la siguiente. Yo puedo empezar como quiera a hacer la reordenación y poner 1000 millones de términos aleatoriamente (o más), pero siempre podré reordenar los restantes de forma que la serie final converja al número que yo quiera. Me surge entonces la pregunta de si hay muchas o pocas maneras de reordenar para obtener el mismo número Por un lado, el cardinal de las reordenaciones (biyecciones de N en N) es el cardinal de los números reales R (no podía ser menor, claro está, porque podemos obtener cualquier número real reordenando una… Lee más »
Hola, he dado con esta página casualmente y me gustaría aprovechar la ocasión para plantear algo que hace tiempo me trae de cabeza. Sé que seguramente será una propiedad que desconozco, pues soy bastante negado para las matemáticas, pero tengo curiosidad. Un día me dio por jugar con las cifras, y llegué a descubrir algo curioso: -Sumamos o multiplicamos dos o más cifras, de cualquier extensión de dígitos, y el resultado lo reducimos, sumando sus cifras entre ellas sucesivamente, hasta obtener un único dígito. -Reducimos igualmente las dos cifras originales hasta tener dos dígitos. -Sumamos o multiplicamos éstos entre sí.… Lee más »
[…] hecho vimos en Reordenando, que es gerundio que a partir de esta última serie podíamos obtener cualquier número real reordenando sus […]
Esto es un HOAX matemático. Algo que se ha entendido mal. La propiedad asociativa de las suma se cumple siempre. ¿Que es lo que ocurre al reordenar series de la manera que nos da la gana?. Pues que tenemos otras series distintas. Si queremos reordenar series, tomemos una suma parcial y luego la roerdenamos, SIN AÑADIR NI QUITAR NINGÚN TERMINO. Si hacemos eso, todas las series que formemos dan el mismo límite. En el ejemplo que pones está claro Pero ahora agrupamos de otra forma, (un término positivo y dos negativos) no es la misma serie que la de arriba… Lee más »
Perdón, pero esto no tiene sentido la serie no puede converger a otro número, este post esta mal.
No Aaron Rodgers, el post no está mal. Vuelve a leerlo y si tienes alguna duda coméntala por aquí si quieres :).
Me equivoqué en el mensaje anterior,
Por ejemplo dime si esto está mal:
Si:
y
Entonces:
1000+
+ 
Es decir por más que lo reordene me va a quedar un lote de números que por si solos hacen la diferencia pero dado que solo sumo otros números estos no los sumo a pesar de que si son parte de la suma.
Aaron Rodgers, ¿qué son ahí
y
?
Por cierto, ten en cuenta que esto ocurre con las series condicionalmente convergentes, no con cualquier serie convergente.
Y no, no nos engaña la mente ni nada de eso: es un resultado totalmente cierto, sin engaño ni mental ni de ningún otro tipo.
Creo q en esta como en otras materias es mejor ceñirse a la demostración formal, a fin de despejar dudas y malentendidos. Véanla en Calculus de T. Apóstol por ejemplo, es muy linda y breve: un par de lemas y listo: (2 páginas). Saludos.
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