…el repunit (repeated unit) 1111111…1111111 (270343 unos) es un nuevo primo probable? Maksym Voznyy y Anton Budnyy han sido los encargados de informar del descubrimiento.
Estos números se representan como R(x), siendo x el número de unos que forman el número. Ya vimos en este post que R(2), R(19), R(23), R(317) y R(1031) son primos y que R(49081), R(86453) y R(109297) son primos probables. De todas formas, dada la complicación que conlleva, habrá que esperar para saber con total seguridad si estos números son primos o no.
Vía MathPuzzle
¿Te ha gustado la entrada? Puedes invitarme a un café, Gauss te lo agradecerá 😉
Fijaros en que el número de unos en los ‘repunit’ que son primos también es un número primo.
A ver quién demuestra que esto siempre tiene que ser así necesariamente (es bastante sencillo).
Si el número de Unos no fuese primo, podríamos formar «cajas» de unos, de la siguiente forma:
11111111 = 11,11,11,11
cada una de las cuales se puede obtener multiplicando 11*01.
De modo que 11*1010101 = 11111111
R(9) = 111111111 = 111,111,111 = 111*1001001
R(15) = 111111111111111 = 11111,11111,11111 = 11111*(10000100001)
Otra forma de verlo es como suma de potencias de 10 y que todo polinomio completo sin coeficientes es divisible por cualquier polinomio completo cuyo orden divida al orden del polinomio mayor.
Se puede ver fácilmente, sí… pero demostrarlo es otra cosa. xD
Efectivamente, mimetist, ese es el razonamiento, y la demostración matemática supongo que sería algo así:
Sea N el número de unos.
Sea p un factor de N.
Sea f(p) =
, es decir un número formado por p unos. Ejemplo: f(3) = 111
El número con N unos podemos reescribirlo como:
Y como vemos f(p) es una constante de todos los sumandos, por lo tanto el número resultante es divisible por f(p), por lo tanto el número formado por los N unos no es primo, tal y como queríamos demostrar.
Asier te he puesto \displaystyle delante de las fórmulas para que las sumas se vean mejor.