Tras mucho tiempo, vuelvo a publicar un ¿Sabía que…, categoría que utilizaba habitualmente para publicar cuestiones cortas o demostraciones sencillas. En esta ocasión, os traigo una que publiqué en redes sociales el otro día.

La publicación en cuestión la podéis ver en este tuit y en esta publciación de Instagram:

La cuestión es la siguiente: ¿cómo podemos probar que eso es cierto? Vamos a ello:

Partimos de la integral de la izquierda, \( \int_0^1 (-\ln x)^n \, dx \), y realizamos el cambio de variable \( -\ln x=t \). Con él, \( x=e^{-t} \) y, por tanto, \( dx=-e^{-t} \, dt \). Cambiamos también los límites de integración, de donde para \( x=0 \) obtenemos \( t=-(-\infty)=\infty \) y, por otro lado, para \( x=1 \) llegamos a \( t=0 \).

Sí, la integral es impropia, ya que \( \ln x \) no está definido en \( x=0 \). Obviamos aquí ese pequeño detalle, ya que, en este caso, no afecta a nuestro planteamiento.

Nuestra integral pasa entonces a ser la siguiente:
\[ \int_0^1 (-\ln x)^n \, dx=\int_{\infty}^0 t^n \, (-e^{-t}) \, dt=\int_0^{\infty} t^n \, e^{-t} \, dt \]

donde hemos extraído el signo menos y hemos cambiado el orden de los límites de integración. Llegamos entonces a la conocidísima función Gamma (de la cual ya hablamos aquí, por poner un ejemplo), \( \Gamma (n+1) \). Una de sus propiedades dice lo siguiente:
\[ \Gamma (n+1)=n \Gamma (n) \]
propiedad que se puede demostrar con integración por partes (y, de nuevo, teniendo algo de cuidado con el planteamiento por el hecho de ser impropia).

Aplicando esa propiedad de manera sucesiva, llegamos a que \( \Gamma (n+1)=n! \cdot \Gamma (1) \). Ahora,
\[ \Gamma (1)=\int_0^{\infty} e^{-t} \, dt=- e^{-t} \Big]_0^{\infty}=0-(-1)=1 \]
Por lo que llegamos al resultado buscado:
\[ \boxed{\int_0^1 (-\ln x)^n \, dx=n!} \]

Espero que os haya gustado. Por mi parte, intentaré utilizar este formato más a menudo.

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