Comenzamos la semana con un artículo sobre criterios de divisibilidad que, aunque a la gran mayoría os resultará sencillo, puede ser muy útil en ciertas situaciones concretas. Vamos a aprender a indentificar si un número es divisible entre 11 y entre 19.

Divisibilidad entre 11

Todo número entero positivo N puede escribirse de la siguiente forma:

N=a+10b+100c+1000d+ \ldots

Por ejemplo, 143=3+10 \cdot 4+100 \cdot 1 y 29785 =5+10 \cdot 8+100 \cdot 7+1000 \cdot 9+10000 \cdot 2. Si al dividir este número entre 11 nos queda resto {0} entonces el número será divisible entre 11, y si queda cualquier otro resto entonces no lo será.

Si a N le sumamos o le restamos un múltiplo de 11 el resultado dará el mismo resto al dividirlo por 11 y por tanto analizando ese resultado obtendremos la conclusión deseada sobre nuestro número N. Esta propiedad es la que vamos a utilizar.

Procedemos le la siguiente forma: le restamos a N el número 11(b+10c+100d+ \ldots). El resultado es a-b-10(c+10d+ \ldots). Sumamos ahora el número 11(c+10d+\ldots) y nos queda a-b+c+10(d+ \ldots). Restamos ahora 11(d+ \ldots) y nos queda a-b+c-d+ \ldots. Continuamos de la misma forma hasta que lleguemos al último término. El resultado es una expresión en la cual aparecen las cifras situadas en posición impar en N tienen signo positivo y las situadas en posición par tienen signo negativo. Realizamos esa operación y analizamos si el resultado (si sale un número negativo lo podemos tomar como positivo) es divisible entre 11. Si es así entonces N también lo será; si no lo es entonces N tampoco. Si el número obtenido es muy grande aplicamos el mismo razonamiento hasta llegar a un número del cual sepamos con seguridad si es o no divisible entre 11.

Veamos algunos ejemplos:

143 \longrightarrow 1-4+3=0, que es divisible entre 11. Por tanto 143 es divisible entre 11.

29785 \longrightarrow 2-9+7-8+5=-3. Como 3 no es divisible entre 11 entonces 29785 no es divisible entre 11.

3879847390637 \longrightarrow 3-8+7-9+8-4+7-3+9-0+6-3+7=20 \rightarrow 2-0=2, que no es divisible entre 11

Por tanto 3879847390637 no es divisible entre 11.

Divisibilidad entre 19

A diferencia del caso anterior, vamos a expresar nuestro número inicial N de la siguiente forma: N=10x+y, siendo y la cifra de las unidades y x la cantidad de decenas. Por ejemplo, 59 tiene 5 decenas y 7087 tiene 708 decenas. Multiplicamos este número por 2, obteniendo 2N=20x+2y. Restando ahora el número 19x, múltiplo de 19, nos queda 2N-19x=x+2y. Al igual que antes, este número dejará el mismo resto que N al dividirlo entre 19. Por tanto N será divisible entre 19 si y sólo si lo es x+2y. Por tanto para analizar si un número es divisible entre 19 aplicaremos este procedimiento las veces necesarias hasta llegar a un número lo suficientemente pequeño para saber a ciencia cierta si es o no divisible entre 19.

Veamos algunos ejemplos:

59 \longrightarrow 5+2 \cdot 9=23 \rightarrow 2+2 \cdot 3=8, que no es divisible entre 19. Por tanto 59 no es divisible entre 19.

7087 \longrightarrow 708+2 \cdot 7=722 \rightarrow 72+2 \cdot 2=76 \rightarrow 7+2 \cdot 6=19, que evidentemente es divisible entre 19. Por tanto 7087 es divisible entre 19.

\begin{matrix}4876703 \longrightarrow 487670+2 \cdot 3=487676 \rightarrow 48767+2 \cdot 6=48779 \rightarrow 4877+2 \cdot 9= \\ =4895 \rightarrow 489+2 \cdot 5=499 \rightarrow 49+2 \cdot 9=67 \rightarrow 6+2 \cdot 7=20 \end{matrix},

que no es divisible entre 19. Por tanto 4876703 no es divisible entre 19.

En este artículo de la Wikipedia podéis ver más criterios de divisibilidad, aunque sin demostrar. Y en nuestro anterior artículo Múltiplos de 37 podéis volver a ver las curiosas propiedades de la divisibilidad entre este número.

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