Toda conjetura relacionada con números primos tiene, de una forma u otra, gran interés y, por qué no decirlo, cierta belleza. Y la que os presento hoy, la conjetura de «escalada hasta un primo» (en inglés, «climb to a prime»), es otro ejemplo más de ello.

La conjetura de escalada hasta un primo trata, como su propio nombre indica, de, partiendo de un número, ir «escalando» a través de otros números hasta llegar a un número primo. Aunque no he conseguido encontrar el año en el que la planteó, fue propuesta por John Horton Conway, matemático británico del cual ya hemos hablando por aquí en algunas ocasiones, por ejemplo en Look-and-say y la constante de Conway, La circunferencia de Conway, El porqué de la «universalidad cuadrática» del 15 y del 290 y en La Regla del Fin de los Días.

John Horton Conway

John Horton Conway. Fuente.

La conjetura es sencilla de plantear, pero primero vamos a ver qué es eso de escalar hasta un primo. Tomamos un número cualquiera y lo descomponemos en factores primos (colocados en orden ascendente). Si el número era primo, ya hemos acabado; si no era primo, construimos el número formado por los factores primos y los exponentes de los mismos colocados tal cual salen en la factorización. Con el número obtenido hacemos lo mismo que antes. La escalada finaliza cuando obtengamos un número primo.

Como esto puede parecer un poco lioso, veamos un ejemplo. tomemos el número 30. Como 30=2 \cdot 3 \cdot 5, si llamamos f a la función que convierte a un número en el número que resulta al colocar factores primos y exponentes, tenemos que f(30)=235. Este número no es primo, por lo que tenemos que hacer con él lo mismo que hicimos con el 30: 235=5 \cdot 47 y, por tanto, f(235)=547. Como 547 es primo, aquí termina la escalada hasta un primo del número 30.

Veamos un nuevo ejemplo, esta vez con el 333:

  • 333=3^2 \cdot 37 \longrightarrow f(333)=3237
  • 3237=3 \cdot 13 \cdot 83 \longrightarrow f(3237)=31383
  • 31383=3^2 \cdot 11 \cdot 317 \longrightarrow f(31383)=3211317
  • 3211317=3^2 \cdot 17 \cdot 139 \cdot 151 \longrightarrow f(3211317)=3217139151
  • 3217139151=3 \cdot 97 \cdot 2297 \cdot 4813 \longrightarrow f(3217139151)=39722974813

Como 39722974813 es primo, ya hemos terminado la escalada del 333.

Está claro, ¿verdad? Bien, pues la conjetura de Conway sobre «escalada hasta un primo» dice que todo número natural mayor o igual que 2 termina su escalada en un número primo. Como los números primos no tienen que «escalar» (ya han llegado a un número primo, ellos mismos), para dar respuesta a esta conjetura debemos conseguir una de estas dos cosas:

  1. Demostrar que todo número compuesto «escala» hasta un número primo con el proceso mencionado antes.
  2. Encontrar un contraejemplo, que sería un número compuesto que no consiga «escalar» hasta un número primo con el método propuesto.

¿Qué pensáis? El propio Conway decía que parecía que él era el único que creía que era cierta, aunque daba un número pequeño para el cual todavía no se había verificado: el 20. Podéis probar vosotros mismos con otros números, pero no os aconsejo el 20, ya que para él el proceso se alarga más de 100 pasos…¡¡y parece ser que todavía no se sabe si culmina en un primo o no!!

Pero esto no nos vale como contraejemplo, ya que el hecho de no saber si el 20 «escala» hasta un primo no nos asegura nada. ¿Será cierta la conjetura o, por el contrario, existirá algún contraejemplo?

Bien, despejemos ya la incógnita: la conjetura es falsa. Hace pocos meses, James Davis encontró un contraejemplo de la misma: el número 13532385396179. ¿Por qué es un contraejemplo? Pues es muy sencillo de ver si atendemos a su factorización en primos:

13532385396179=13 \cdot 53^2 \cdot 3853 \cdot 96179

Es decir, f(13532385396179)=13532385396179. Como es un número compuesto y f lo convierte en sí mismo (es un punto fijo de f), tenemos ante nosotros un número que no consigue «escalar» hasta un número primo. Señor Conway, estaba usted equivocado, su conjetura sobre «escalada hasta un primo» no es cierta.

Como alguno habrá pensado ya, éste no es el único contraejemplo, ya que con él podemos construir otros. Tomemos el número 45214884853168941713016664887087462487 y descompongámoslo en factores primos. ¿Os atrevéis? Venga, os doy yo la factorización:

45214884853168941713016664887087462487=13 \cdot 5323^8 \cdot 5396179

Por tanto:

f(45214884853168941713016664887087462487)=13532385396179

que es el número anterior que hemos visto que f transforma en sí mismo. Tenemos entonces un nuevo contraejemplo, el número 45214884853168941713016664887087462487 tampoco es capaz de «escalar» hasta un primo.

Este número está construido a partir del anterior para «forzarlo» a que sea un contraejemplo. Existen otras maneras de construir contraejemplos a partir de alguno ya conocido, y sería magnífico que jugarais con ellos y nos mostrarais vuestros descubrimientos en los comentarios.

Por cierto, esta conjetura de la «escalada hasta un primo» de Conway forma parte de una lista de cinco problemas que el propio Conway propuso, ofreciendo una recompensa de 1000$ para quien consiguiera dar respuesta a alguna de ellas. James Davis ya se ha llevado los 1000$ correspondientes a ésta, pero (hasta donde yo sé) los otros cuatro problemas siguen sin respuesta. Si alguien está interesado en intentar alguno de ellos, aquí los tenéis:

Fuentes y más información:

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