No hace ni un mes que el icónico número 42 era expresado como suma de tres cubos de números enteros y volvemos a tener noticias de este interesante problema de la suma de tres cubos enteros. En esta ocasión, el protagonista es el número 3.
El número 3 ya se sabía expresar de esta manera, de hecho de dos formas distintas:
Ahora se ha encontrado una nueva forma de expresarlo así:
¿Quiénes han sido los responsables? Pues los mismos que encontraron la expresión del 42: Andrew Booker, de la Bristol University, y Andrew Sutherland, del MIT. Aquí tenéis la nota de prensa sobre el tema que ha publicado la Universidad de Bristol.
Es interesante recordar que se cree (aunque todavía no hay demostración) que existen infinitas formas de expresar todo número entero como suma de tres cubos enteros. Para el 1, se conoce una parametrización que, para 
Para el 2, también tenemos una parametrización que, con
Luego tenemos números, como el 3, para el que se conocen varias expresiones distintas (en este caso, las tres que aparecen en esta entrada)…y poco más. Para la mayoría de números de los que se sabe algo, se conocen unas cuantas expresiones, algunas de ellas triviales. Y, como os comentaba en la entrada anterior, todavía hay números relativamente pequeños de los que no se sabe nada. De los menores que 1000, los que quedan sin expresión a día de hoy son los siguientes:
Nos avisa nuestro lector Enrique de que también han encontrado expresión para el 
Muchas gracias por ello (y por avisar también de las erratas). Conforme vaya habiendo noticias, os agradezco que vayáis avisando.
De nuevo Enrique nos avisa de que ha caído otro, el 
Seguro que en los próximos días caerán más, y aquí seguiremos informando.
De todas formas, me da que pronto volveremos a tener noticias de este problema por parte de los Andrews. Y aquí las contaremos.
Para finalizar, os dejo un vídeo de Numberphile en el que el propio Booker nos habla sobre esta nueva expresión para el 3 y en el también podemos ver las expresiones conocidas de algunos números pequeños:
Esta entrada participa en la Edición X.4 del Carnaval de Matemáticas, que en esta ocasión organiza @maytejromera en su blog Qué vamos a hacer hoy.
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Buenas.
Hay una errata en los que quedan menores de 1000: no deben de aparecer 33 y 42.
Además hay que quitar el 906:
(-74924259395610397)^3 + 72054089679353378^3 + 35961979615356503^3
Que también lo han resuelto!
Un saludo,
Enrique
Cierto Enrique, se me pasó borrar el 33 y el 42.
¡¡Y lo del 906 no lo sabía!! Ahora mismo actualizo el post. Por cierto, ¿cuándo ha ocurrido?
Lo he visto en la página web de Andrew Sutherland: https://math.mit.edu/~drew/
Me imagino que estarán «dando a la máquina» teórica y computacional para conseguir mas casos y luego hacer un artículo (?)
Rebuscando en algún libro de ecuaciones diofánticas (Prop. 6.4.25 de [1]) he encontrado un resultado interesante:
«Cualquier racional (en particular cualquier entero) es la suma de cubos de números racionales»
Demo: Sea
y definimos:
Entonces
. Ahora basta con tomar 
.
Referencia:
[1] H. Cohen. {\it Number theory. Vol. I. Tools and Diophantine equations}. Graduate Texts in Mathematics, 239. Springer, New York, 2007. xxiv+650 pp. ISBN: 978-0-387-49922-2
«Cualquier racional es la suma de 3 cubos de números racionales»
En la entrada sobre el 42 como suma de tres cubos hablo de ese resultado, demostrado por Samuel Ryley en 1825 :).
Ups! perdón….
Otro a quitar
165 = (-385495523231271884)^3 + 383344975542639445^3 + 98422560467622814^3
¡¡Otro más!! Muchas gracias por avisar. Se veía venir que iban a seguir cayendo números :).
Es una oportunidad interesante para entender que en realidad no se trata de la suma de 3 cubos, sino de una raíz + 1 cubo. Porque la suma de «N» términos siempre se reduce a 2 términos. Y ese el secreto del Teorema de Fermat. Lo maravilloso que Fermat descubrió es el teorema fundamental de la matemática. [tex]a+b=\sqrt{c^{2}} \therefore x^{n}+y^{n}\neq z^{n}[/tex] [tex]a+b\neq{c}[/tex] sino que [tex]a+b=\sqrt{c^{2}}[/tex] Como , se despeja así la conjetura de Beal, la ABC, amplía el espectro de las series, en fin, toda la matemática. Y respalda la afirmación siguiente de Fermat de que su hallazgo merecía escribir… Lee más »
…quise escribir.
Como la suma de «dos» números es igual a una raíz, nunca podremos «extraer» un cubo, un bicuadrado, etc…etc…
Sds.