No hace ni un mes que el icónico número 42 era expresado como suma de tres cubos de números enteros y volvemos a tener noticias de este interesante problema de la suma de tres cubos enteros. En esta ocasión, el protagonista es el número 3.

El número 3 ya se sabía expresar de esta manera, de hecho de dos formas distintas:

\begin{matrix} 3=1^3+1^3+1^3 \\ \\ \text{y} \\ \\ 3=4^3+4^3+(-5)^3 \end{matrix}

Ahora se ha encontrado una nueva forma de expresarlo así:

\begin{matrix} 3=569936821221962380720^3 +\\+ (-569936821113563493509)^3 + \\ +(-472715493453327032)^3 \end{matrix}

¿Quiénes han sido los responsables? Pues los mismos que encontraron la expresión del 42: Andrew Booker, de la Bristol University, y Andrew Sutherland, del MIT. Aquí tenéis la nota de prensa sobre el tema que ha publicado la Universidad de Bristol.

Es interesante recordar que se cree (aunque todavía no hay demostración) que existen infinitas formas de expresar todo número entero como suma de tres cubos enteros. Para el 1, se conoce una parametrización que, para t \in \mathbb{Z}, nos da infinitas representaciones:

1=(9t^4)^3+(3t-9t^4)^3+(1-9t^3)^3

Para el 2, también tenemos una parametrización que, con t \in \mathbb{Z}, nos proporciona infintas expresiones:

2=(1+6t^3)^3+(1-6t^3)^3+(-6t^2)^3

Luego tenemos números, como el 3, para el que se conocen varias expresiones distintas (en este caso, las tres que aparecen en esta entrada)…y poco más. Para la mayoría de números de los que se sabe algo, se conocen unas cuantas expresiones, algunas de ellas triviales. Y, como os comentaba en la entrada anterior, todavía hay números relativamente pequeños de los que no se sabe nada. De los menores que 1000, los que quedan sin expresión a día de hoy son los siguientes:

\mathbf{114}, 165, \mathbf{390}, \mathbf{579}, \mathbf{627}, \mathbf{633}, \mathbf{732}, \mathbf{795}, 906, \mathbf{921} \, \text{y} \, \mathbf{975}


Nos avisa nuestro lector Enrique de que también han encontrado expresión para el 906:

906=(-74924259395610397)^3 + 72054089679353378^3 + 35961979615356503^3

Muchas gracias por ello (y por avisar también de las erratas). Conforme vaya habiendo noticias, os agradezco que vayáis avisando.


De nuevo Enrique nos avisa de que ha caído otro, el 165:

165 = (-385495523231271884)^3 + 383344975542639445^3 + 98422560467622814^3

Seguro que en los próximos días caerán más, y aquí seguiremos informando.


De todas formas, me da que pronto volveremos a tener noticias de este problema por parte de los Andrews. Y aquí las contaremos.

Para finalizar, os dejo un vídeo de Numberphile en el que el propio Booker nos habla sobre esta nueva expresión para el 3 y en el también podemos ver las expresiones conocidas de algunos números pequeños:


Esta entrada participa en la Edición X.4 del Carnaval de Matemáticas, que en esta ocasión organiza @maytejromera en su blog Qué vamos a hacer hoy.

Print Friendly, PDF & Email