Vimos hace unos días qué eran los números de Fermat. Vimos que se definían como F_n=2^{2^n}+1, con n = 0, 1, \ldots. Como comentamos en ese post, Fermat conjeturó que todos esos números eran primos, pero años después Euler se encargó de refutar esa conjetura demostrando que F_5 era compuesto.

Como dijimos en ese post, este hecho no hace que estos números de Fermat pierdan toda su importancia. Ni mucho menos. En este artículo vamos a ver otra demostración de la infinitud de los números primos (aquí ya vimos una) usando los números de Fermat. Vamos con ella:

El primer paso que debemos dar es demostrar la siguiente relación que cumplen los números de Fermat:

F_0 \cdot F_1 \cdot \ldots \cdot F_{n-1}=F_n-2

Lo haremos por inducción [1]:

1.- En el primer caso, n=0, obtenemos:
F_0=F_1-2
lo cual es cierto ya que F_0=3 y F_1=5.

2.- Supongamos ahora que la igualdad es cierta para n-1 y demostrémosla para n:

\begin{matrix} F_0 \cdot F_1 \cdot \ldots \cdot F_n = (F_0 \cdot F_1 \cdot \ldots \cdot F_{n-1}) \cdot F_n = \\ \\ = [\mbox{por hip\'otesis de inducci\'on}] = (F_n - 2) \cdot F_n = \\ \\ =(2^{2^n} +1 - 2 ) \cdot (2^{2^n} +1) = (2^{2^n} -1) \cdot (2^{2^n} +1) = \\ \\ = 2^{2^{n + 1}} - 1 = 2^{2^{n + 1}} + 1 - 2 = F_{n + 1} - 2 \end{matrix}

Por tanto la relación de recurrencia anterior se cumple para todo n número natural.

Ya que sabemos que esta relación de recurrencia es cierta echémosle otro vistazo:

F_0 \cdot F_1 \cdot \ldots \cdots F_{n-1}=F_n-2

A partir de ella podemos deducir que ningún número de Fermat F_k es divisible por ninguno de los factores que forman los números de Fermat anteriores a él. Veámoslo utilizando el método de reducción al absurdo [2]:

Supongamos que F_k, con k entre 1 y n - 1 tiene como factor en su descomposición en números primos a un cierto primo p, y supongamos que F_n es divisible por p. Traslademos esta información a la relación de recurrencia:

F_0 \cdot F_1 \cdot \ldots \cdot F_k/p \cdot \ldots \cdot F_{n-1} = F_n/p - 2/p

Como F_k es divisible por p el lado izquierdo de la igualdad es un número entero. Por tanto el lado derecho de la igualdad también debe serlo. Como F_n es divisible por p (es la suposición que hemos hecho) también es un número entero y en consecuencia 2/p también lo es, es decir, se tiene que 2 también debe ser divisible por p. La única posibilidad entonces es p = 2, pero eso es imposible, ya que si fuera cierto ni F_k ni F_n serían divisible por p, ya que todos los números de Fermat son impares. Por tanto, partiendo de nuestra suposición hemos llegado a una contradicción. Según reducción al absurdo esto nos dice que nuestra suposición es falsa. Es decir: ningún número de Fermat es divisible por ningún factor de ningún número de Fermat menor que él

Probado esto, la demostración es coser y cantar: el resultado anterior nos dice que cada número de Fermat aporta nuevos números primos a los que ya teníamos en los números de Fermat anteriores (él mismo si es primo o sus factores primos si es compuesto, ya que ningún número de Fermat anterior puede tener como factor a ninguno de los factores primos del nuevo número). Por tanto, teniendo en cuenta que hay infinitos números de Fermat (para cada n número natural tenemos un número de Fermat) los factores primos de todos ellos formarán un conjunto infinito, y en consecuencia el conjunto de los números primos es infinito [3]. Y hemos terminado la demostración.

Como último apunte, destacar que en ningún momento de la demostración se ha dicho (ni se ha necesitado) que todos los números de Fermat sean primos. De hecho sabemos que esto no es cierto (ya lo comentamos al comienzo de este post). Lo que hemos usado es que cada dos números de Fermat son primos entre sí (hecho que hemos demostrado).

(Fuente: Tío Petros)

[1]: El método de inducción es un método de demostración que se usa para demostrar propiedades sobre el conjunto de los números naturales. Consiste en lo siguiente:

Supogamos que tenemos un subconjunto A de números naturales que verifica lo siguiente:
1.- 0 pertenece a A
2.- Si k - 1 pertenece a A, entonces k pertenece a A

Entonces A es el propio conjunto \mathbb{N} de los números naturales.

Nosotros lo hemos utilizado de la siguiente forma: si nuestra propiedad (la ley de recurrencia anterior) se cumple para el 0, y en el caso de que se cumpla para cierto número natural n - 1 entonces se cumple para n, se tiene que se cumple para todos los números naturales.

[2]: El método de reducción al absurdo es un método de demostración que consiste en lo siguiente:

Supongamos que queremos demostrar cierta afirmación P. Lo que hacemos es suponer que esa afirmación es falsa y llegar a partir de esta suposición a un resultado contradictorio. Por tanto tenemos que nuestra afirmación P no puede ser falsa (ya que nos conduce a una conclusión absurda). Por tanto debe ser verdadera.

Nosotros lo hemos usado así: para demostrar que F_n no tenía como factor primo a nigún factor primo de ningún F_k menor que él, hemos supuesto que sí lo tenía (es decir, que la afirmación que queríamos demostrar era falsa) y hemos llegado a partir de ahí una conclusión absurda. Por tanto nuestra afirmación debe ser necesariamente verdadera.

[3]: Esto no significa que en este conjunto formado por todos los factores de todos los números de Fermat se encuentren todos los números primos. Faltarán muchos, pero si aun faltando muchos tenemos un conjunto infinito al añadir los que faltan el conjunto seguirá siendo infinito, que es lo que queríamos demostrar.

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