Como sabréis todos los que habéis llegado a la etapa de Bachillerato por la rama de Ciencias, en el cálculo de las asíntotas de una función real de variable real tiene mucha importancia el cálculo de límites. Y, posiblemente, la asíntota oblícua sea la que más cálculos requiere, por lo que podría tener sentido buscar una manera de «ahorrar» un poco con los cálculos. De ahí la pregunta del título de esta entrada: ¿Se puede calcular la pendiente de una asíntota oblicua con el límite de la derivada?

Respuesta corta: Depende.

Respuesta larga y contexto: A continuación.

Este tema surgió en Twitter hace unos días. Concretamente, fue Pablo Triviño quien lo comenzó con este tuit:

La duda tiene todo el sentido, dado que el cálculo de la pendiente, m, de una (posible) asíntota oblícua se realiza mediante el siguiente límite (como vimos en Calculas las asíntotas de una función):

m=\displaystyle{\lim_{x \to \infty} \cfrac{f(x)}{x}}

Entonces, a todos nos podría venir a la cabeza la regla de L’Hopital, y con ella, derivando numerador y denominador:

m=\displaystyle{\lim_{x \to \infty} \cfrac{f(x)}{x}=\lim_{x \to \infty} \cfrac{f'(x)}{1}=\lim_{x \to \infty} f'(x)}

y tendríamos que, efectivamente, podemos calcular la pendiente m de la asíntota oblicua mediante el límite de la derivada…

¿Este argumento es correcto? ¿Siempre lo es?

Bien, la clave de todo esto es, precisamente, la regla de L’Hopital, esa navaja suiza del cálculo de límites que mucha gente intenta usar en todos los casos desde el momento en el que la conoce. Los lectores asiduos de este blog ya saben lo peligroso de la dependencia de la regla de L’Hopital, aunque aquí lo importante es tener en cuenta las condiciones que se deben cumplir para poder aplicar dicha regla. Vamos a recordar el enunciado de la misma:

Regla de L’Hopital:

Sean dos funciones f(x) y g(x), definidas en un intervalo I=(a, \infty ], tales que ambas son derivables en dicho intervalo y además g ^\prime (x) \ne 0, \; \forall x \in I.

Si se cumple una de las dos condiciones siguientes:

  • \displaystyle{\lim_{x \to \infty} f(x)=\lim_{x \to \infty} g(x)=0}
  • \displaystyle{\lim_{x \to \infty} g(x)= \pm \infty}

Entonces existe un número real tal que para x mayor que él se tiene que g(x) \ne 0. Además, se verifica la siguiente condición:

\mbox{Si } \displaystyle{\lim_{x \to \infty} \cfrac{f^\prime (x)}{g^\prime (x)}= L \in \mathbb{R} \Rightarrow \lim_{x \to \infty} \cfrac{f(x)}{g(x)}= L \in \mathbb{R}}

Y si el cociente de las derivadas diverge positiva o negativamente, el cociente de las funciones también lo hace.

Entonces, para poder aplicar la regla de L’Hopital a nuestro límite para el cálculo de m, lo primero que se debe cumplir que \displaystyle{\lim_{x \to \infty} f(x)=\pm \infty} (porque la otra posible condición no se cumple en este caso, ya que \displaystyle{\lim_{x \to \infty} g(x) \ne 0}). Tiene sentido, ya que la otra opción (aparte de que no exista el límite, posibilidad que vamos a descartar) es que el límite dé como resultado un número real, y en ese caso se tendría que f(x) tiene una asíntota horizontal por ese lado de la grafíca y, en consecuencia, no puede tener una asíntota oblicua por ese mismo lado.

Supongamos que eso sí se cumple, que \displaystyle{\lim_{x \to \infty} f(x)=\pm \infty}, y que f(x) es derivable donde tiene que serlo. Nos falta otra condición fundamental que muchas veces obviamos: debe existir el límite del cociente de las derivadas para que los dos «límites de L’Hopital» sean iguales, y en nuestra situación esto significa que ese límite debe dar un número real o \pm \infty.

¿Qué ocurre si ese límite no existe? Pues que en ese caso no tenemos asegurado que no haya asíntota oblicua, hay casos en los que sí la habría y casos en los que no. Os dejo un ejemplo de esto último que dio @JuanLuisVarona en el hilo de Twitter en el que mantuvimos la conversación sobre este tema:

Sea f(x)=x+\frac{sen(x^2)}{x}. Tenemos que la recta y=x es una asíntota oblicua para f(x) (fácil de ver calculando los límites «oficiales»). Ahora:

f'(x)=1+2cos(x^2)-\cfrac{sen(x^2)}{x^2}

y, por tanto, \displaystyle{\lim_{x \to \infty} f'(x)} no existe.

Esto significa que en general, no podemos calcular la pendiente de la (posible) asíntota oblicua con el límite de la derivada, ya que ese límite podría no existir y, en ese caso, no sabemos si hay asíntota oblicua o no.

Ahora, ¿qué ocurre si ese límite sí existe (esto es, da un número real o da \pm \infty)? Pues que ahora sí coinciden los valores de los dos «límites de L’Hopital» y, en consecuencia, ahora sí podemos calcular la pendiente de la (posible) asíntota oblicua mediante el cálculo del límite de la derivada. Para poder utilizar esto, deberíamos justificar previamente que f(x) es derivable donde lo debe ser y que el límite cuando x \to \infty de la derivada da un número real o es \pm \infty.

Como comencé esta entrada hablando de la etapa del Bachillerato, quizás pueda resultar interesante comentar que prácticamente todas las funciones que se ven hasta esta etapa académica (posiblemente todas) cumplen ambas condiciones. De todas formas, si se me deja dar mi opinión personal, yo sigo prefiriendo utilizar el «límite oficial», \displaystyle{\lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{x}}, para calcular dicha pendiente.


¿Alguno de vosotros conocía este «apaño»? ¿Lo habéis utilizado en vuestras clases? ¿Qué opináis sobre ello? Los comentarios, como siempre, son vuestros.

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