En matemáticas, en la medida de lo posible, conviene saber realizar ciertos cálculos básicos de varias formas distintas, porque aunque en muchas ocasiones podemos salir del paso sabiendo un único método puede haber momentos en los que nos encontremos algún caso especial para el cual dicho método no sea suficientemente efectivo.

Guillaume de l'HôpitalUn ejemplo muy típico es la resolución de sistemas de ecuaciones. Los primeros sistemas de ecuaciones que se enseñan en secundaria son los lineales de dos ecuaciones y dos incógnitas, para los que se proporcionan tres métodos de resolución: sustitución, igualación y reducción. Lo que hay que evitar es lo que ocurre en muchas ocasiones, que es que el alumno se acostumbra a resolver todos los sistemas con un único método, ya que eso provoca que cuando se encuentra con otros tipos de sistemas (lineales de orden mayor que 2, no lineales…) intente resolverlos también por ese método, y en muchos casos puede que no sea conveniente.

Y otro ejemplo son los límites, y concretamente los que son susceptibles de resolverse con la regla de L’Hopital. Pero antes de meternos con el ejemplo vamos a dar un enunciado de dicha regla sin alguno de los detalles formales necesarios y adaptado a la situación que vamos a tratar después, que será un límite cuando x \to \infty (para mayor profundidad podéis consultar este completo pdf de Camilo Aparicio del Prado):

Regla de L’Hopital:

Sean dos funciones f(x) y g(x) definidas en un intervalo I=(a, \infty ], tales que son derivables en dicho intervalo y además g ^\prime (x) \ne 0, \; \forall x \in I.

Si se cumple una de las dos condiciones siguientes:

  • \displaystyle{\lim_{x \to \infty} f(x)=\lim_{x \to \infty} g(x)=0}
  • \displaystyle{\lim_{x \to \infty} g(x)= \pm \infty}

Entonces existe un número real tal que para x mayor que él se tiene que g(x) \ne 0. Además, se verifica la siguiente condición:

\mbox{Si } \displaystyle{\lim_{x \to \infty} \cfrac{f^\prime (x)}{g^\prime (x)}= L \in \mathbb{R} \Rightarrow \lim_{x \to \infty} \cfrac{f(x)}{g(x)}= L \in \mathbb{R}}

Y si el cociente de las derivadas diverge positiva o negativamente, el cociente de las funciones también lo hace.

Esto es, si se cumplen las condiciones iniciales podemos encarar el cálculo del límite inicial derivando numerador y denominador de forma independiente y viendo cuál es el valor del límite del cociente de las derivadas, ya que ese valor, si existe o es \pm \infty, sera el de nuestro límite. Además, mientras esas condiciones se sigan cumpliendo podemos seguir aplicando la regla de L’Hopital a los cocientes obtenidos en cada caso si la situación lo requiere.

En particular, la regla de L’Hopital se puede aplicar en límites que inicialmente dan indeterminación 0 \over 0 o \infty \over \infty. El problema es que mucha gente considera a la regla de L’Hopital como el único método para resolver dichas indeterminaciones. Y no me refiero a que sea el único que conozcan, sino a que es el único que aplican, sin pensar en ningún otro.

Esto podría no ser una mala estrategia, pero en realidad sí lo es, ya que hay límites que dan esas indeterminaciones en los que la regla de L’Hopital es totalmente inútil. Ciertos límites que involucran a funciones trigonométricas pueden ser buenos ejemplos de límites que con cada aplicación de la regla de L’Hopital se convierten en más y más complicados, pero hoy os traigo un ejemplo más curioso que he encontrado en este hilo de los foros de Rincon Matemático. Ahí va:

Calcular el siguiente límite:

\displaystyle{\lim_{x \to \infty} \cfrac{\sqrt{1+x^2}}{x}}

Como obtenemos la indeterminación \infty \over \infty procedemos utilizando la regla de L’Hopital:

\displaystyle{\lim_{x \to \infty} \cfrac{\sqrt{1+x^2}}{x}=\lim_{x \to \infty} \cfrac{\frac{2x}{2 \sqrt{1+x^2}}}{1}=\lim_{x \to \infty} \cfrac{x}{\sqrt{1+x^2}}=}

Volvemos a obtener \infty \over \infty, por lo que aplicamos L’Hopital de nuevo:

\displaystyle{=\lim_{x \to \infty} \cfrac{1}{\frac{2x}{2 \sqrt{1+x^2}}}= \lim_{x \to \infty} \cfrac{\sqrt{1+x^2}}{x}}

Y aquí a más de uno le explotaría la cabeza al ver que después de aplicar la regla de L’Hopital un par de veces obtenemos de nuevo el límite inicial, por lo que si continuáramos el proceso se convertiría en un bucle infinito del que no obtendríamos nada.

Por ello conviene conocer más métodos para resolver este tipo de límites. En este caso la opción más sencilla es, posiblemente, la introducción de x en la raíz para después comparar los grados de los polinomios o simplificar directamente:

\displaystyle{\lim_{x \to \infty} \cfrac{\sqrt{1+x^2}}{x}=\lim_{x \to \infty} \sqrt{\cfrac{1+x^2}{x^2}}=\lim_{x \to \infty} \sqrt{\cfrac{1}{x^2}+1}=\sqrt{0+1}=1}

Y por si alguien quiere ser malvado y proponer como ejercicio un límite de este tipo quizás le interese que esta situación se da para los cocientes de funciones f(x) \over g(x) tales que f(x) f^\prime (x)=g(x) g^\prime (x).

Imagen tomada de aquí.

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