Números en progresión geométrica

Buenas de nuevo a todos. Hoy martes os traigo un nuevo problema para que nos entretengamos un rato. Ahí va:

Demostrar que si se cumple que

(xy+yz+zx)^3=xyz \, (x+y+z)^3

entonces los tres números x,y,z están en progresión geométrica.

Que se os dé bien.

Autor: ^DiAmOnD^

Miguel Ángel Morales Medina. Licenciado en Matemáticas y autor de Gaussianos y de El Aleph. Puedes seguirme en Twitter o indicar que te gusta mi página de Facebook.

30 Comentarios

  1. Llamando y=qx y z=rx y sustituyendo en la igualdad dada y operando se obtiene

    qr^4-\left(q^3+1\right)r^3+qr-q^3=0

    cuyas soluciones son

    r=q^2, r=\frac{1}{q}; r=\sqrt{q} y r=-\sqrt{q}.

    Se obtiene entonces que respectivamente:

    1) x; y=qx y z=q^2x están en PG con razón q.

    2) Si q\neq0: z=\frac{1}{q}x; x e y=qx están en PG con razón q.

    3) Si q\geq0: x; z=\sqrt{q}x e y=qx están en PG con razón \sqrt{q}.

    4) Si q\geq0: x; z=-\sqrt{q}x e y=qx están en PG con razón -\sqrt{q}.

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  2. Desarrollando  xyz(x + y + z)^3 - (xy + yz + zx)^3 = 0

    x^4yz - x^3z^3 - x^3y^3 + xyz^4 + xy^4z - y^3z^3 = ( x^2-yz)(y^2-xz)(z^2 - xy) = 0

    Considerando el caso x \le y  \le z debe anularse y^2-xz \;\;\longrightarrow\;\; \frac{x}{y}=\frac{y}{z}

    y lo mismo para los demás casos.

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    • No sería necesario refactorizar x^4yz - x^3z^3 - x^3y^3 + xyz^4 + xy^4z -y^3z^3 = (x^2 - yz)(y^2 - xz)(z^2 - xy) lo cual es un trabajo hercúleo, euleriano.

      Solo hay que ver que para que sea igual a 0, y viendo que x^3y^3 \le xy^4z (*) y también que mismamente x^3y^3 \le xyz^4, entonces solo puede ser x^3y^3=x^4yz, y lo mismo para correlativamente el resto de los términos. A partir de esa igualdad tenemos que z=\frac{y^2}{x}=y\frac{y}{x} , que es la condición buscada de la progresión geométrica.

      (*) x^3y^3 \le xy^4z se deduce de x^3y^3 \le xyzy^3 = xy^4z, suponiendo previamente, claro, que x \le y \le z, y lo mismo para el resto de términos.

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  3. El enunciado es falso … basta con el siguiente contraejemplo -> x = 0; y = 0; z = 1.
    (0*0+0*1+1*0)^3 = 0*0*1*(0+0+1)^3
    0 = 0 …
    Con lo cual el enunciado, tal cual está, es falso … Hay que añadir que los tres son diferentes de cero … aunque con ello entonces se evita la igualdad con x=y=z=0 … pero entonces creo que (intentaré demostrarlo en tal caso) es correcto el enunciado.

    cqd.

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    • No dice que se cumpla para todo x,y,z sino que cuando se cumple, entonces están en progresión geométrica.

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    • El enunciado no es falso, un contraejemplo debe ser una terna de números que no estén en PG y que cumplan con la igualdad. Los números que elijes están en PG (1;0;0) con razón 0.

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      • 0; 0; 1 …. ¿están en PG con razón 0? …. falso … 1*0 = 0 … pero 0*4=0 —-

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        • 1\times0=0 y 0\times0=0, ergo, \{1;0;0\} se encuentran en progresión geométrica y su razón es q=0.

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      • Primera lección que daba a mis alumnos de 3º de la ESO…. en una PG el cero nunca puede estar incluido …
        Otra cosa es que el límite sea cero … (1/2)^n … pero el cero nunca debe estar incluido en una PG …

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        • La razón de una progresión geométrica sí puede ser 0.

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          • ¿Cuánto vale 0/0? Si algún profesor te ha dicho eso.. que resuelva esta simple división …

          • Francisco Sola: una PG es toda sucesión donde cada término posterior al primero es igual al que le precede, multiplicado por un número constante llamado razón de la progresión, es decir, si el primer término es 1 y la razón es q=0, entonces \{1;0;0;0;\ldots \} es una PG. A qué viene lo de la división aquí? Revise apuntes señor.

          • Yo no la considero una PG — y no soy el único ….
            Y ¿cómo se obtiene ‘r’? …. Por eso te pregunto cuánto vale 0/0 ….

          • La expresión \frac{0}{0} no está definida en (\mathbb{R},+,\times,\leq). Y eso qué tiene que ver? Si una PG comienza \{2;6;\ldots\} la respuesta es r=3 (el real por el que se debe multiplicar al 2 para obtener el 6). Y si la PG comenzará \{2;0;\ldots\}? Fácil: r=0 (el real por el que se debe multiplicar al 2 para obtener el 0.

          • ¿Cuál es la razón en esta progresión parcial geométrica?

            {…. , 0, 0, 0, 0 …. }
            Repito … yo no soy el único que considera falso incluir el caso r=0 como PG …

  4. Efectivamente . .. si considero los tres distintos de cero …. llego a las mismas conclusiones que la primera entrada de Duberly … Pero sobra que ‘q’ sea positivo … si ‘q’ es negativo la razón es un simple número complejo ….

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    • Esa sucesión es una PG de razón 0 si el primer término no es nulo.

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      • ¿cómo sabes que es no nulo?
        O mejor … ¿cuál es ese valor no nulo?

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        • Te digo que si no es nulo, la sucesión es una PG de razón nula. Si es nulo, la sucesión no es una PG ya que no existe una única constante que cumpla con el carácter de razón según la definición. En todo caso, tu ejemplo está incompleto.

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          • Dime ese primer elemento no nulo … ¡¡¡Así de fácil!!! ¿Cuántos ceros quieres que te ponga para que se un ejemplo completo? …. En la definición de PG se dice que se multiplica por un valor fijo y predeterminado … no que dicho valor sea único …

            ¿Cómo aplicas está formula (espero que salga bien) …  a_n = a_k * r^{n-k} para n=1 y k=4 y r=0….?

          • SR Francisco Sola Porcuna: ud no puede o no quiere entender los argumentos que Le he dado. Esta conversación no tiene sentido. No voy a malgastar más tiempo con ud. Tengo cosas realmente importantes que hacer.

  5. Ahora resulta que no puedo comprender los argumentos de Duberly ….. teniendo en cuenta que hasta se inventa definiciones de PG … y a cada argumento suyo, cada vez menos matemáticos, le he puesto un contra-ejemplo o le he escrito un argumento cada vez más matemático …. No sé quién no puede comprender los argumentos del otro … Como diría Rafa Roca … no es preciso que conteste … es una pregunta retórica … espere a que acabe la publicidad… esto último es cosecha propia …. Con el permiso de Gaussianos .. colgaré esta conversación … para que mis (ex)alumnos conozcan que saben más de PG que muchos matemáticos …

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    • Tenéis parte de razón los dos (pero don Duberly más).

      Es verdad que hay autores que defienden que la razón cero debería excluirse de la definición de progresión geométrica.

      Pero las definiciones son estrictamente arbitrarias, son como las definiciones de un diccionario (¿por qué “perro” es un animal y “mesa” un mueble?). Podemos definir cada concepto como queramos. Si nos quedamos con una definición o con otra es una mera cuestión de concenso (siguiendo con el símil ¿de que sirve un idioma si cada uno tiene su propio diccionario?).

      Entonces da igual lo que consideren algunos autores, o cualquiera de nosotros. Yo diría que la definición más extendida de progresión geométrica incluye las de razón cero, y por tanto esa es la definición que debemos usar.

      Esto no quiere decir que la definición que defiende don Francisco no pueda ser la más conveniente (a mi se me ocurren argumentos a favor y en contra). Puede ser, pero hasta que un número suficiente de matemáticos se convenza de ello, debemos usar la definición aceptada por todo el mundo. También es válido escribir un libro y empezar diciendo, que en ese libro una progresión geométrica es aquella que “blah blah blah blah blah blah…”, porque queda claro desde el principio lo que significa “progresión geométrica”.

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      • Entonces …. {0, 0, 0 ….} ¿ es o no es PG? Según el consenso general o mayoritario ….

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        • Pues no lo sé, por un lado podríamos decir que si porque puedo encontrar un número r tal que a_i = ra_{i-1}, y por otro no porque no es único. No sé en ese caso cual es la costumbre más extendida.

          Ni siquiera estoy seguro del caso de la razon = 0. Dije que “yo diría” que el concenso es que si lo son.

          Pero todo eso es lo de menos. Lo importante es entender que vuestra discrepancia no es (en rigor) matemática, es simplemente que no usáis el mismo diccionario.

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          • Reducción al absurdo —- admitamos que una progresión del tipo {X, 0, 0, 0 …} es una PG …
            Entonces podemos aplicarle todas las propiedades (fórmulas) de dichas progresiones ….
            En particular la fórmula  a_n = a_k * r^{n-k} ….
            Tomemos k = 4 … r =0 (por supuesto, en este caso) y n = 3 (1 o 2) ….
            Apliquemos la fórmula … para calcular  a_3 ….
             a_3 = 0 * 0^{3-4}
            Lo cual nos llevaría a la siguiente expresión  a_3 = 0*0^{-1} = 0/0 ,,,,
            Una expresión imposible de calcular … ergo hemos llegado a un absurdo …

            cqd.

  6. Es más — el propio Duberly ha admitido que la progresión {x=0, y=0, z=0, 0 …. } no es PG ….
    entonces ‘x’ … ‘y’ … ‘z’ … no están en una PG …
    entonces esa triada es un contra-ejemplo del enunciado del problema …

    cqd.

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  7. Buenas a todos.

    Quería haber escrito antes, pero no he tenido tiempo para hacerlo. Lo hago ahora para, además de dar mi opinión, intentar calmar un poco los ánimos y, si es posible, aclarar el tema.

    Básicamente estoy de acuerdo con lo que dijo Sive en su primer comentario. En principio, no hay nada que impida que la razón de una progresión geométrica sea 0, siempre que su primer término no lo sea (por lo de la unicidad). Como el enunciado no dice ni que la progresión geométrica deba comenzar con los x,y,z que calculemos ni que deban estar en un cierto orden, la solución x=0, y=0, z=1 están en progresión geométrica de razón 0 en este orden:

    \{ \ldots , 1,0,0, \ldots \}

    Por otra parte, hay autores que exigen que la razón de una progresión geométrica sea distinta de cero. Entiendo que es así porque, por ver un caso concreto, en la progresión geométrica \{1,0,0,0, \ldots \} no podríamos calcular la razón dividiendo el tercer término entre el segundo.

    Pero, por otra parte, en el momento en el que en una progresión geométrica haya un cero, ya sabemos que la razón es 0. Por tanto, tampoco hay mucho problema en permitir al cero ser razón de una progresión geométrica, aunque sea un caso un poco “especial”, ¿no?

    Y, aparte de todo esto, pido calma a todos. Los comentarios están para, entre otras muchas cosas, discutir e intercambiar opiniones, pero sin que las conversaciones lleguen a mayores. Así que, por favor, os pido tranquilidad a todos. Muchas gracias.

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