Buenas de nuevo a todos. Hoy martes os traigo un nuevo problema para que nos entretengamos un rato. Ahí va:
Demostrar que si se cumple que
entonces los tres números
están en progresión geométrica.
Que se os dé bien.
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Puedes utilizar código LaTeX para insertar fórmulas en los comentarios. Sólo tienes que escribir
[latex]código-latex-que-quieras-insertar[/latex]
o
$latex código-latex-que-quieras-insertar$.
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Y si los símbolos < y > te dan problemas al escribir en LaTeX, te recomiendo que uses los códigos html & lt; y & gt; (sin los espacios) respectivamente.
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Llamando
y 
y sustituyendo en la igualdad dada y operando se obtiene
cuyas soluciones son
Se obtiene entonces que respectivamente:
1)
; 
y 
están en PG con razón 
.
2) Si
: 
; 
e 
están en PG con razón 
.
3) Si
: 
; 
e 
están en PG con razón 
.
4) Si
: 
; 
e 
están en PG con razón 
.
Rectifico la ecuación:
Desarrollando
Considerando el caso
debe anularse 
y lo mismo para los demás casos.
No sería necesario refactorizar
lo cual es un trabajo hercúleo, euleriano.
Solo hay que ver que para que sea igual a 0, y viendo que
(*) y también que mismamente 
, entonces solo puede ser 
, y lo mismo para correlativamente el resto de los términos. A partir de esa igualdad tenemos que 
, que es la condición buscada de la progresión geométrica.
(*)
se deduce de 
, suponiendo previamente, claro, que 
, y lo mismo para el resto de términos.
El enunciado es falso … basta con el siguiente contraejemplo -> x = 0; y = 0; z = 1.
(0*0+0*1+1*0)^3 = 0*0*1*(0+0+1)^3
0 = 0 …
Con lo cual el enunciado, tal cual está, es falso … Hay que añadir que los tres son diferentes de cero … aunque con ello entonces se evita la igualdad con x=y=z=0 … pero entonces creo que (intentaré demostrarlo en tal caso) es correcto el enunciado.
cqd.
No dice que se cumpla para todo x,y,z sino que cuando se cumple, entonces están en progresión geométrica.
lee bien el enunciado
El enunciado no es falso, un contraejemplo debe ser una terna de números que no estén en PG y que cumplan con la igualdad. Los números que elijes están en PG (1;0;0) con razón 0.
0; 0; 1 …. ¿están en PG con razón 0? …. falso … 1*0 = 0 … pero 0*4=0 —-
Primera lección que daba a mis alumnos de 3º de la ESO…. en una PG el cero nunca puede estar incluido …
Otra cosa es que el límite sea cero … (1/2)^n … pero el cero nunca debe estar incluido en una PG …
La razón de una progresión geométrica sí puede ser
.
¿Cuánto vale 0/0? Si algún profesor te ha dicho eso.. que resuelva esta simple división …
Francisco Sola: una PG es toda sucesión donde cada término posterior al primero es igual al que le precede, multiplicado por un número constante llamado razón de la progresión, es decir, si el primer término es
y la razón es 
, entonces 
es una PG. A qué viene lo de la división aquí? Revise apuntes señor.
Yo no la considero una PG — y no soy el único ….
Y ¿cómo se obtiene ‘r’? …. Por eso te pregunto cuánto vale 0/0 ….
La expresión
no está definida en 
. Y eso qué tiene que ver? Si una PG comienza 
la respuesta es 
(el real por el que se debe multiplicar al 
para obtener el 
). Y si la PG comenzará 
? Fácil: 
(el real por el que se debe multiplicar al 
para obtener el 
.
¿Cuál es la razón en esta progresión parcial geométrica?
{…. , 0, 0, 0, 0 …. }
Repito … yo no soy el único que considera falso incluir el caso r=0 como PG …
Efectivamente . .. si considero los tres distintos de cero …. llego a las mismas conclusiones que la primera entrada de Duberly … Pero sobra que ‘q’ sea positivo … si ‘q’ es negativo la razón es un simple número complejo ….
Esa sucesión es una PG de razón 0 si el primer término no es nulo.
¿cómo sabes que es no nulo?
O mejor … ¿cuál es ese valor no nulo?
Te digo que si no es nulo, la sucesión es una PG de razón nula. Si es nulo, la sucesión no es una PG ya que no existe una única constante que cumpla con el carácter de razón según la definición. En todo caso, tu ejemplo está incompleto.
Dime ese primer elemento no nulo … ¡¡¡Así de fácil!!! ¿Cuántos ceros quieres que te ponga para que se un ejemplo completo? …. En la definición de PG se dice que se multiplica por un valor fijo y predeterminado … no que dicho valor sea único …
¿Cómo aplicas está formula (espero que salga bien) …
para n=1 y k=4 y r=0….?
SR Francisco Sola Porcuna: ud no puede o no quiere entender los argumentos que Le he dado. Esta conversación no tiene sentido. No voy a malgastar más tiempo con ud. Tengo cosas realmente importantes que hacer.
Ahora resulta que no puedo comprender los argumentos de Duberly ….. teniendo en cuenta que hasta se inventa definiciones de PG … y a cada argumento suyo, cada vez menos matemáticos, le he puesto un contra-ejemplo o le he escrito un argumento cada vez más matemático …. No sé quién no puede comprender los argumentos del otro … Como diría Rafa Roca … no es preciso que conteste … es una pregunta retórica … espere a que acabe la publicidad… esto último es cosecha propia …. Con el permiso de Gaussianos .. colgaré esta conversación … para que mis (ex)alumnos… Lee más »
Tenéis parte de razón los dos (pero don Duberly más). Es verdad que hay autores que defienden que la razón cero debería excluirse de la definición de progresión geométrica. Pero las definiciones son estrictamente arbitrarias, son como las definiciones de un diccionario (¿por qué «perro» es un animal y «mesa» un mueble?). Podemos definir cada concepto como queramos. Si nos quedamos con una definición o con otra es una mera cuestión de concenso (siguiendo con el símil ¿de que sirve un idioma si cada uno tiene su propio diccionario?). Entonces da igual lo que consideren algunos autores, o cualquiera de… Lee más »
Entonces …. {0, 0, 0 ….} ¿ es o no es PG? Según el consenso general o mayoritario ….
Pues no lo sé, por un lado podríamos decir que si porque puedo encontrar un número r tal que a_i = ra_{i-1}, y por otro no porque no es único. No sé en ese caso cual es la costumbre más extendida.
Ni siquiera estoy seguro del caso de la razon = 0. Dije que «yo diría» que el concenso es que si lo son.
Pero todo eso es lo de menos. Lo importante es entender que vuestra discrepancia no es (en rigor) matemática, es simplemente que no usáis el mismo diccionario.
Reducción al absurdo —- admitamos que una progresión del tipo {X, 0, 0, 0 …} es una PG …
….
….
…
,,,,
Entonces podemos aplicarle todas las propiedades (fórmulas) de dichas progresiones ….
En particular la fórmula
Tomemos k = 4 … r =0 (por supuesto, en este caso) y n = 3 (1 o 2) ….
Apliquemos la fórmula … para calcular
Lo cual nos llevaría a la siguiente expresión
Una expresión imposible de calcular … ergo hemos llegado a un absurdo …
cqd.
Es más — el propio Duberly ha admitido que la progresión {x=0, y=0, z=0, 0 …. } no es PG ….
entonces ‘x’ … ‘y’ … ‘z’ … no están en una PG …
entonces esa triada es un contra-ejemplo del enunciado del problema …
cqd.
Buenas a todos. Quería haber escrito antes, pero no he tenido tiempo para hacerlo. Lo hago ahora para, además de dar mi opinión, intentar calmar un poco los ánimos y, si es posible, aclarar el tema. Básicamente estoy de acuerdo con lo que dijo Sive en su primer comentario. En principio, no hay nada que impida que la razón de una progresión geométrica sea 0, siempre que su primer término no lo sea (por lo de la unicidad). Como el enunciado no dice ni que la progresión geométrica deba comenzar con los que calculemos ni que deban estar en un… Lee más »
Tampoco está tan claro que la sucesión {0,0,0,0…} no deba ser una progresión geométrica. De nuevo se me ocurren argumentos a favor y en contra. El argumento a favor fundamental es que si estudio un fenómeno físico, y llego a la conclusión de que evoluciona según una progresión geométrica de razón 2, por ejemplo, la población de bacterias transcurrido un tiempo t partiendo de un número inicial n, pues mi conclusión sirve para n=0 solo si {0,0,0,0…} se admite como progresión geométrica. No es un ejemplo aislado, casi siempre sucede que si una progresión geométrica de razón r es siempre… Lee más »
La demostración de Duberly de alguna manera prescinde de la definición de progresión geométrica pues sólo supone que la relación entre x, y, z es de proporcionalidad. Es decir, incluso aceptando una definición de progresión geométrica restrictiva él lo que hace es demostrar la relación para una clase de sucesiones más amplia. No veo la dificultad semántica ni ninguna otra, la verdad.
Estoy algo frustrado porque después de llegar a cómo Duberley expresó la relación entre las variables, tontamente no se me ocurrió buscar la solución al polinomio. A un paso y fallar…
Las definiciones matemáticas o las propiedades matemáticas no deben admitid excepciones ….. Por suerte las Matemáticas no son el Inglés …. Por cada regla existen 1000 excepciones… frase aproximada que se dijo en una película …. Con todo mi respeto al Inglés — idioma que conozco algo gracias a la programación …
Consideremos la progresión geométrica 1,2,4. La suma de sus términos es 7 y este valor es también igual al primer término por el último por la suma de todos los inversos de los términos, es decir 1*4*(1/1+1/2+1/4)=7.
Supongamos ahora la progresión 1,0,0. Si suponemos que es geométrica, ha de cumplirse que 0/1=0 y 0/0=0. Podíamos solventar el problema afirmando que la indeterminación 0/0 es igual a 0 en esta progresión en particular. Apliquemos la propiedad vista al comienzo. La suma de los tres términos es claramente 1, pero 1*0*(1/1+1/0+1/0)=
1*0*1/1+1*0*1/0+1*0*1/0=0+0/0+0/0=como habíamos dicho=0+0+0=0 y no 1.
Miguel Ángel no veo ningún fallo en mi reducción al absurdo …. ¿Hay algo mejor para demostrar que la actual definición de PG es incorrecta o está incompleta?
Las definiciones son arbitrarias, no se pueden demostrar ni refutar. Como máximo podemos demostrar que dos definiciones de un mismo objeto son incompatibles, o que lo que nos intentan colar como definición, no lo es porque está mal formulada. No sé que problema hay para entender esto, pero la verdad es que muchos matemáticos no lo entienden, para ver que es así sólo hay que darse una vuelta por el hilo de «cuanto vale cero elevado a cero». En el caso de tu «demostración». Primero has usado una definición de PG, después has obtenido sus propiedades (ojo, con esa definición),… Lee más »
¿Cómo que sin importar como definamos una PG? …
Así de fácil … una PG es un conjunto de números que se obtienen al aplicar la siguiente regla: multiplicar el anterior por un elemento fijo llamado ‘razón’.. Siempre y cuando dicho elemento sea distinto de 0 y de 1, naturalmente el primer número de dicho conjunto puede ser arbitrario pero siempre diferente de cero.
¿Cómo que sin importar como definamos una PG?
Parece que no has leído todo mi post … ¿Hay algo mejor para demostrar que la actual definición de PG es incorrecta o está incompleta?
Don Francisco, no importa que yo le haya entendido o que no, no importa que el error en su «demostración» sea el que yo le he señalado, o sea otro. No importa nada de eso porque las definiciones no se pueden probar ni refutar (y esto es indiscutible), así que un error tiene que haber.
Pero aunque nada de eso importe, el error está justo donde le dije, sólo que aún no lo ha entendido, y sospecho que se debe a que no ha puesto de su parte para entenderlo.
¿Qué error en la demostración? …. He supuesto que un conjunto de números es una PG …. y aplicando las propiedades de las PG he llegado a un absurdo …. Otro que pone en duda mi intelecto …. o que sólo sabe filosofar … es una expresión … cuando no puede demostrar sus ideas …
No pongo en duda su intelecto. He visto cometer ese mismo error (me refiero a «demostrar» definiciones) a matemáticos de cuyas capacidades no puedo dudar. Aún recuerdo el día, y eso que ya ha llovido, en que mi profesor de matemáticas en secundaria nos «demostró» que a^0 = 1… tardé años en descubrir que semejante prueba no puede existir (a menos que se defina previamente que a^0 = 1). De hecho en mi último comentario dije explícitamete que creía que usted no lo entendía porque no ponía de su parte para entenderlo, no porque no fuera capaz. Se equivoca en… Lee más »
El recíproco también es cierto, si x,y,z están en progresión geométrica entonces se cumple
![(xy+xz+yz)^{3}=(ax^{2}+a^{2}x^{2}+a^{3}x^{2})^{3}=[(ax^{2})(1+a+a^{2})]^{3}=a^{3}x^{6}(1+a+a^{2})^{3}](https://s0.wp.com/latex.php?latex=%28xy%2Bxz%2Byz%29%5E%7B3%7D%3D%28ax%5E%7B2%7D%2Ba%5E%7B2%7Dx%5E%7B2%7D%2Ba%5E%7B3%7Dx%5E%7B2%7D%29%5E%7B3%7D%3D%5B%28ax%5E%7B2%7D%29%281%2Ba%2Ba%5E%7B2%7D%29%5D%5E%7B3%7D%3Da%5E%7B3%7Dx%5E%7B6%7D%281%2Ba%2Ba%5E%7B2%7D%29%5E%7B3%7D&bg=ffffff&fg=000000&s=0 "(xy+xz+yz)^{3}=(ax^{2}+a^{2}x^{2}+a^{3}x^{2})^{3}=[(ax^{2})(1+a+a^{2})]^{3}=a^{3}x^{6}(1+a+a^{2})^{3}")
![xyz(x+y+z)^{3}=a^{3}x^{3}(x+ax+a^{2}x)^{3}=a^{3}x^{3}[x(1+a+a^{2})]^{3}=a^{3}x^{6}(1+a+a^{2})^{3}](https://s0.wp.com/latex.php?latex=xyz%28x%2By%2Bz%29%5E%7B3%7D%3Da%5E%7B3%7Dx%5E%7B3%7D%28x%2Bax%2Ba%5E%7B2%7Dx%29%5E%7B3%7D%3Da%5E%7B3%7Dx%5E%7B3%7D%5Bx%281%2Ba%2Ba%5E%7B2%7D%29%5D%5E%7B3%7D%3Da%5E%7B3%7Dx%5E%7B6%7D%281%2Ba%2Ba%5E%7B2%7D%29%5E%7B3%7D&bg=ffffff&fg=000000&s=0 "xyz(x+y+z)^{3}=a^{3}x^{3}(x+ax+a^{2}x)^{3}=a^{3}x^{3}[x(1+a+a^{2})]^{3}=a^{3}x^{6}(1+a+a^{2})^{3}")
Haciendo los cambios:
, 
, tenemos que
Desarrollando y simplificando (algo tedioso) llegamos a la siguiente expresión:
De donde a = b
Vaya, lo siento, no salieron las expresiones. Haciendo los cambios llegamos a esta:
No se que hago mal, pero haciendo estos cambios llegamos a que a y b son iguales y por lo tanto x, y, z están en progresión geométrica.
Pero como divides por x e y … entonces ambos no pueden ser cero … pues yo .. dada mi cortedad … no sé dividir por cero … no lo digo por ti …
¿Qué no se puede demostrar que a ( diferente de 0) ^0=1? Sea a diferente de 0 -> a^0=1 …. Tomemos un natural n>0 … Podemos calcular entonces a^n …. y también a^n/a^n=1 … pues a es distinto de 0 y podemos dividir por a^n … Apliquemos las propiedades (no la definición) de las potencias. a^n/a^n=a^(n-n)=a^0 Igualando ambas expresiones se obtiene que a^0=1 cqd. Demostración que hago a mis alumnos de 2ºESO, naturalmente un poco más adornada para que no se aburran. Yo no demuestro una definición. … al contrario pongo en duda la actual definición de PG … pero… Lee más »
Demuéstreme esa propiedad que usa para el caso de n=0 (no puede usar a^0=1 porque esa es la conclusión a la que quiere llegar después).
Mira por donde voy a conseguir que lo entienda.
😀
Perdón, perdón, quise decir que demuestre (sin usar a^0=1) que a^m / a^n = a^(m-n) para el caso concreto de que m sea igual a n.
Es la propiedad que usa.
Las propiedades sí hay que demostrarlas.
¡¡¡Madre mía!!! ,,,, ¡¡¡Mare meua!!!
¿Dónde he utilizado yo que a^0=1?
Sea a distinto de 0 —–> a^0 = 1 …. esto es el enunciado del ‘teorema’ ….
a^m/a^n= a^(m-n) es una propiedad de las potencias … sin importar el valor de ‘m’ ni de ‘n’.
Lo que se toma como definición es: a^(-1)=1/a …y de aquí se puede deducir varias propiedades de la potencia.
Enunciado …. a^n/a^n=a^(n-n)
Demostración …
Defino a^(-1)=1/a
a^(-n)=a^(-1*n)=[a^(-1)]^n=1/a^n
a^n/a^n=a^n*1/a^n=a^n*a^(-n)=a^(n-n)
cqd ….
Y está claro que a^n/a^n=1 … (2/2=5/5=56/56=1024/1024=…. =1… tal vez tenías esta duda)
Buenas Francisco.
a^0=1 no se puede demostrar. Se toma como convenio (es decir, definición) para que funcione a^n a^m = a^(n+m) para todo los enteros n,m.
El error en su razonamiento está en a^n/a^n=a^(n-n)
Un saludo.
José Antonio.
Enunciado …. a^n*a^m = a^(n+m) m yn naturales … o enteros.
Si m o n es entero tomo la definición a^(-1)=1/a ,,,
a^n= a*,,,(n),,,,*a (n veces)
a^m= a* ,,,(m)…,, *a (m veces)
Multiplicando ambas igualdades …
a^n*a^m= a*… (n) ,,, *a * a*,,,, (m) ,,,*a= a*,,,,, (n+m) …. *a = (por la definición de potencia) = a^(m+n)
cqd.
Francisco: Sea un entero positivo, no es otra cosa que escribir de manera abreviada el producto de consigo mismo veces, esto es la definición de . Sean ahora enteros positivos, entonces es obvio según la definición anterior que . Ahora deseamos definir cuando es un entero arbitrario, ¿cómo es la forma natural de hacerlo? Deseamos mantener la propiedad anterior así que, debería cumplirse que . Por tanto debemos definir . Puesto que queremos que se cumpla que debemos definir . Se puede continuar de esta forma para extender la definición a racionales. El final del proceso es extenderlo a los… Lee más »
Está claro que depende de lo que tomemos como definición …. yo tomo como definición a^(-1)=1/a Con ello … a^(-n)=a^(-1*n)=[a^(-1)]^n=(1/a)^n=1/a^n … Y no he utilizado nunca que a^0=1…. Que ahora se puede demostrar … Enunciado … si ‘a’ (diferente de cero) —–> a^0=1 Demostración (muy facilita) Asumo por definición que a^1=a y a^(-1)=1/a Es claro que a/a = 1…. Pero es claro por definición y por propiedades que a/a = a^1 * 1/a = a^1 * a^(-1) = a^0 Igualando ambas expresiones obtenemos que: 1 = a^0 cqd. Pero lo importante es esto: depende de lo que partamos como definición… Lee más »
Francisco:
¿No se da cuenta que no puede escribir
a menos que lo haya definido previamente?
Es como demostrar que la unidad imaginaria es solución de la ecuación
sin previamente definir que se entiende por unidad imaginaria.
Un saludo.
José Antonio.
Don Francisco ha optado por la fuga hacia adelante, pero a mí me vale porque parece que al menos ya ha aprendido (o al menos se malicia) que las definiciones no se pueden demostrar, que es de lo que va todo esto. Antes que nada, sí que se puede obtener una demostración formal de que a^0=1, si se define adecuadamente la exponenciación. Lo malo es que también se puede obtener una demostración formal de que yo soy el tipo más guapo del mundo si defino adecuadamente «guapo». Pongo este ejemplo para que se entienda que «adecuadamente», en este contexto, significa:… Lee más »
Parece que hay personas que además de no tener NPI de Matemáticas van presumiendo de ello …. No sé cual de las dos es más estúpida. … fuera la educación … dentro la verdad … Mis saludos y abrazos …. para ver si algún día aprendéis a sumar. .. pues parece que tampoco entendéis de ello — Recordatorio …. Ahora no se puede escribir algo sin definirlo … Como nadie ha definido el triple factorial …. nadie lo puede escribir…. ¡¡con lo fácil que es!! ,,,, n!!! ,,, Como nadie antes de Euler definió el número ‘e’ … nadie podía… Lee más »
Francisco:
Le pido disculpas si en algún momento se ha sentido ofendido por algo que haya dicho, no es mi intención en absoluto.
Solo quería dejar claro que un objeto matemático solo existe cuando se ha definido, esto es así, le guste o no.
PD: Puede consultar la página 466 del Spivak (de Análisis I) donde habla del tema de las potencias.
Reciba un cordial saludo.
José Antonio.
Yo en todo caso me disculpo con LOS DEMÁS si en algún momento no he podido evitar… bueno, ya saben.
Con don Francisco, pues no. Sólo hay que leer los mensajes para ver quien ha usado malos modos desde el principio.
Y si alguien nuevo lee esto. Tranquilos, lo de esta semana no es lo habitual, aquí está permitido equivocarse, se puede opinar sin miedo a meter la pata. Aquí entendemos perfectamente que el único que no se equivoca todos los días, es quien no usa su cerebro lo suficiente.
Es decir … filosofar en un foro de matemáticas no es insultar al intelecto … le demuestro todo lo que me pide y el ignorante dice que huyo hacia adelante … Para demostrar … que este señor y su compañero no tienen NPI de matemáticas … o de lo que se hable aquí … un ejemplo histórico … ¿Quién puso en duda el axioma quinto (creo recordar) de Euclides? No una definición MATEMÁTICA … (lo de guapo, como se dice, para gustos … colores) … sino un axioma …
Algo que no se ha definido en matemáticas no se puede escribir…. Pues yo nunca he definido a^0=1 y lo he podido escribir y … más aún … demostrar …. O peor todavía … con tu lógica … las pinturas rupestres de Altamira son un fraude. .. En su época nadie definió lo que era un bisonte .. o un león .. pero los habitantes de ellas pudieron. .. expresarlas — algo más fuerte que escribirlas … Y los libros o los autores se equivocan … Te repito el hecho histórico ,,, ¿Quién puso en duda el quinto axioma de… Lee más »
Como al parecer Sive estudió en la Universidad de Salamanca … donde acabo de enterarme que existe una cátedra sobre el populismo … ¿¿¿???? Le hago a él y a José Antonio tres preguntas muy facilitas… Pueden consultar Google … la wiki… etc … 1ª) ¿Para qué se utiliza la entropía? 2ª)¿Por qué el principio de incertidumbre de Heisenberg no se puede comprobar a nivel de ser humano… ? 3ª)Es conocida la frase de Einstein … «Dios no juega a los dados» … Pues dicha frase tiene dos errores monumentales … Uno en la argumentación … no niega lo que… Lee más »
Don Francisco, usted ni siquiera demostró a^0=1 usando una definición alternativa de exponenciación. Lo intentó, pero no lo consiguió porque no añadió las definiciones adicionales necesarias. Aún así yo admití que sería posible conseguirlo, por esta vía. Pero eso sólo sería una demostración formal, es decir, sin significado real (eso precisamente significa «formal»). Y la prueba es que, usando el mismo truco, puedo demostrar que a^0=850, o cualquier otro valor que a mí me plazca. Igual, igual, igual que puedo «demostrar» formalmente que soy el tipo más guapo del mundo, o el más feo (y probablemente esto último, sin trampas).… Lee más »
Gödel, ¿donde estás?