Vamos con el problema de esta semana. Ahí va:
Encuentra los números
de un solo dígito que cumplen que existe algún entero
tal que todos los dígitos de
son iguales a
Que se dé bien.
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¿Puede ser que no exista ninguno?.
Si a = 1 -> n=1
Si a = 3 -> n=2
Si a = 6 -> n=3
Un saludo,
jaz
Mi respuesta es incorrecta. Lo que he respondido es n*(n+1)/2 = a pero no es lo que se pide.
Un saludo,
jaz
Para a = 5 se cumple con n=10 (55)
Para a = 6 se cumple con n=11 (66) y 36 (666)
Un saludo,
jaz
Hasta aquí he llegado:
n=10 n*(n+1)/2 = 55 a=5 € solución
n=11 n*(n+1)/2 = 66 a=6 € solución
n=36 n*(n+1)/2 = 666 , mala suerte, 6 € a la solución
Los únicos valores posibles de n(n+1)/2 módulo 10 son 0, 1, 3, 5, 6 y 8. Por lo tanto, podemos descartar para a los valores 2, 4, 7 y 9. Como 5 y 6 ya sabemos que son soluciones, queda por descubrir si son soluciones los valores 1, 3 y 8. Alguien se anima a mirar si se obtiene algo más calculando módulo 100? Apostaría a que sí, pero no tengo tiempo ahora de comprobarlo.
El ciclo es de 200, y haciendo módulo 100 en el ciclo solo son válidas 11, 55 y 66.
El problema ahora es que hay números triangulares que terminan en cadenas de unos arbitrariamente largas, así que los módulos no sirven para descartar el 1.
Falta demostrar si un repunit puede o no puede ser un número triangular.
Los únicos restos módulo 100 de n(n+1)/2 formados por dos cifras iguales son 11 (n = 58, 66), 55 (n = 10, 85) y 66 (n = 11, 36), aparta de 00, lo que deja sola la duda del 1. Eso si, a costa de hallar todos los restos módulo 100. Supongo que debe haber algún otro razonamiento más «económico». Y lo del 1, no parece fácil de descartar por este procedimiento,. Calculando módulo 10^k, siempre hay dos valores de n que producen un resto de k unos para n(n+1)/2: n = 6(10^k – 1)/9 (k seises) y otro Por… Lee más »
Los números triangulares n(n+1)/2 módulo 10 acaban en 0, 1, 3, 5, 6 y 8. Podemos descartar 2, 4, 7 y 9. También el 0 por motivos más triviales (el único repdigit con 0 es el 0, que se escapa a lo que pide el enunciado). Si tomamos n=20k+r para valores enteros de k y r, 1) Los r que generan números triangulares acabados en 3 son 1 y 17. 1.a) Para r=1 el número triangular es de la forma (20k+1)(20k+2)/2 = 200k^2 + 50k + 3, que no puede dar resto 33 módulo 100. 1.b) Para r=17 el número… Lee más »
Perdón, algunos de los n del comentario anterior en realidad son k, concretamente la parte a partir de donde expreso los n como 20k+r. De todas formas, no afecta a la resolución del problema.
afeérico
Correción menor:
1.a) Para r=1 el número triangular es de la forma (20k+1)(20k+2)/2 = 200k^2 + 50k + 3, que no puede dar resto 33 módulo 100.
Lo correcto creo que es:
(20k+1)(20k+2)/2 = 200k^2 + 30k + 1 que no puede dar resto 33 módulo 100.
Juanjo Escribano: En realidad quería decir r=2, no r=1, y el número triangular es (20k+2)(20k+3)/2, que sí da 200k^2+50k+3. Acaba en 3 pero no en 33, que es a lo que quería llegar.
El peligro de hacer estas cosas en papel y luego pasarlas al ordenador es que es muy fácil que salgan gazapos. 😛 Gracias por la corrección.
afeérico
Efectivamente, cometemos errores todos (incluso con copy paste y correcciones menores tambien)
Un saludo
Esta fácil sólo hay que resolvel la ecuación cuadrática: n(n+1)/2=aaaa… Dependiendo de la cantidad de dígitos de a y de a misma si se tiene una solución entera se habrá encontrado lo requerido.
La pregunta es , ¿cuántas soluciones hay? ¿hay infinitas soluciones? ¿de qué depende esto?
Si existe un entero:
=>n ≥4;Por definición de lo enteros positivos
=>-n ≤-4;Por Mulitplica de(-1) todo el sistema,entero negativo
Se tiene que:
=>n=- 4
=>n.(n+1)/2;Por definición
=>-4.(-4+1)/2;Por Sustitución n=- 4
=>-2.(-3);Por Por operaciones aritméticas
=>6;Por multiplicación de signos y números
Esto quiere decir que si existe un número de un solo dígito donde a = 6
Éxito a todos, saludo.
Si existe un entero:
=>n ≥4;Por definición de lo enteros positivos
=>-n ≤-4;Por Mulitplica de(-1) todo el sistema,entero negativo
Se tiene que:
=>n=- 4
=>n.(n+1)/2;Por definición
=>-4.(-4+1)/2;Por Sustitución n=- 4
=>-2.(-3);Por Por operaciones aritméticas
=>6;Por multiplicación de signos y números
Esto quiere decir que si existe un entero negativo donde da un sólo dígito donde a = 6
Éxito a todos, saludo.
a = 5 cumple las condiciones exigidas. Si n = 10, n(n+1)/2 = 55
a = 6 también cumple. Si n = 11, n(n+1)/2 = 66
a = 6 cumple . Si n = 36, n(n+1)/2 = 666
En general, los dígitos a tales que n(n+1) – 2(aaa..a) = 0
En general, los números aa..a tales que para n ≥ 4 se cumple que n(n+1)/2 = aa..a.
Si n = 10, entonces n(n+1)/2 = 55
Si n = 11, entonces n(n+1)/2 = 66
Si n = 36, entonces n(n+1)/2 = 666