Una curiosa suma trigonométrica (I)

En diversas situaciones en física y matemáticas los problemas se vuelven fáciles para tonos puros de frecuencia prefijada. El truco del análisis de Fourier es separar en tonos puros, resolver el problema y juntar los resultados. En este «separar» y «juntar» hay que superponer ondas y no hay manera de librarse de sumas o integrales trigonométricas, cosas como

$\displaystyle{\sum a_n \cos(2\pi n x) \qquad\text{o}\qquad \int f(x) sen(2\pi \xi x) \; dx.}$

Por tanto no es de extrañar que el estudio de estos objetos tenga innumerables aplicaciones desde el tratamiento de señales a la física cuántica. Algo más sorprendente, que no me resisto a mencionar porque me da de comer, es que también aparecen en teoría de números (si te han salido signos de interrogación y exclamación sobre la cabeza puedes leer en Gaussianos acerca de la demostración de la conjetura de Goldbach ternaria por H. A. Helfgott).

El que nos habla es Fernando Chamizo, profesor en el Departamento de Matemáticas de la Universidad Autónoma de Madrid desde 1997 y miembro del ICMAT (Instituto de Ciencias Matemáticas). Su especialidad es la teoría analítica de números, y a lo largo de sus años de docencia ha elaborado
numerosas notas de diversas asignaturas. Tenéis mucha más información sobre él en su página web.

A Fernando le comenté la posibilidad de colaborar con Gaussianos con un artículo contando algo curioso e interesante relacionado con los temas que más le gustan, y ha elegido para ello el tema de las sumas trigonométricas. La colaboración de Fernando constará de tres entradas: la que estás leyendo y dos más que saldrán las dos próximas semanas. Esperamos que os gusten.

Una vez completadas unas cuantas líneas de publicidad, vamos a algo puramente matemático, esto es, a divertirnos. Dada $f:\mathbb{Z}^+\longrightarrow \mathbb{R}$ consideramos el conjunto de puntos

$\displaystyle{\Big\{ \Big( \sum_{m=1}^n \cos\big(2\pi f(m)\big) , \sum_{m=1}^n sen\big(2\pi f(m)\big) \Big) \Big\}_{n=1}^N.}$

El lector puede tomar mi palabra o correr a usar su paquete matemático favorito para comprobar las siguientes psicodélicas figuras correspondientes a $N=8000$ con diferentes elecciones de la función $f$ .


$f(m)=m^{3/2}$	$f(m)=(\log(m))^4$

$f(m)=\sqrt{m}$	$f(m)=\cfrac{65}{64} \; \sqrt{m}$

El objetivo de los siguientes posts es dar una explicación cualitativa de la primera figura, a la que llamaremos $\mathcal{F}$ , utilizándola como excusa para introducir algunas herramientas relativas a sumas e integrales oscilatorias. La segunda figura es lo que en la divertida nota Captain Cook and the Loch Ness monster, de J. H. Loxton ([Lox81]), se llama «monstruo del Lago Ness». A pesar de que todas se pueden analizar con técnicas similares, las dos últimas involucran también una parte de efecto de la percepción (Van der Corput method and optical illusions, de F. Chamizo y D. Raboso, [CR15]), y en este sentido debo confesar que no sé explicar al 100% la última, aunque tenga una fórmula para aproximar los puntos. Por cierto, un ejemplo increíble sin sumas ni integrales en que uno tiene una fórmula pero no es fácil dar una explicación es la colección de puntos $\big\{(n,sen (n))\big\}_{n=1}^{10000}$ . Píntalos y cuando se te cierre la boca puedes ir a Strang’s strange figures, de N. Richert. ([Ric92]).

Antes de comenzar, quiero dejar claro que las teoría sobre estimación de sumas e integrales oscilatorias no es nada sencilla y lo que veremos serán sobre todo ideas intuitivas en las que abusaremos impenitentemente del símbolo $\approx$ sin un significado preciso. Si uno quiere demostraciones hechas y derechas no queda más remedio que ir a literatura especializada, como Ten lectures on the interface between analytic number theory and harmonic analysis, de H. L. Montgomery ([Mon94]), o Fourier integrals in classical analysis, de C. D. Sogge ([Sog17]). El propósito humilde que se persigue aquí es que las ideas suenen creíbles.