Este domingo 10 de noviembre, España tiene una nueva cita electoral (y van ya…). Y, a partir del día siguiente, en las conversaciones que tendremos con nuestros amigos, compañeros de trabajos o familiares volverá a aparecer, como es habitual, el tema de la representatividad de nuestro sistema electoral: ¿es representativo el número de escaños de un partido en relación con el número de votos que ha recibido? ¿Volverá a ocurrir que algunos partidos «pierden» votos (es decir, reciben votos que luego no se traducen en escaños)? ¿Hay alguna forma de solucionar esto?

Parece que con el sistema actual es probable que vuelvan a producirse situaciones así. Por ello, hoy presentamos aquí un método de reparto de escaños diseñado por Victoriano Ramírez González, catedrático de Matemática Aplicada de la Universidad de Granada, y su equipo, el Grupo de Investigación en Métodos Electorales. El objetivo de este método es eliminar esos problemas de representatividad y, a la vez, facilitar la gobernabilidad. A continuación, os dejo un pequeño párrafo de presentación de este grupo que me ha mandado el propio Victoriano (junto con una foto suya). Justo después tenéis el texto que nos ha preparado hablando de su método.


Victoriano RamírezEl Grupo de Investigación en Métodos Electorales (GIME) empieza aproximadamente a principios de los años 90, si bien yo escribí los primeros trabajos a principios de los 80. La mayor parte de sus miembros son del Departamento de Matemática Aplicada, aunque también los hay de otras áreas, como Economía, Ingeniería y Ciencia Política. Todos trabajan simultáneamente en otros problemas de investigación, incluido yo hasta hace pocos años. Dos de ellos han hecho sus tesis doctorales en Matemática Electoral, una profesora de Matemática Aplicada y un Profesor de Ciencia Política. Las colaboraciones más importantes con profesores de otras universidades han sido con Michel Balinski (de la Politécnica de Paris), con F. Pukelsheim de Augsburg (Alemania) y en España con el Grupo Borda de Valladolid. El libro «Sistema Electoral para el Congreso de los Diputados» publicado por la Universidad de Granada es la obra más importante con respecto a la propuesta de mejora del sistema electoral del Congreso de los Diputados y en la que mayor número de coautores han participado. Sin embargo, han sido varios trabajos sobre la proporcionalidad decreciente para la distribución de los escaños del Parlamento Europeo los que mayor fruto han dado, porque han contribuido a que la representación de España aumente en 5 eurodiputados una vez que se produzca la salida del Reino Unido. Otra actuación con repercusión importante fue para la mejora del sistema electoral de Suecia.


Sistemas electorales basados en representación proporcional

En este artículo se muestran principios para conseguir representatividad con un sistema electoral que al mismo tiempo facilite la gobernabilidad. No está enfocado a un público con elevada formación en matemáticas, pero serán los parámetros que requieran más contenido matemático los que destaquemos en el mismo. Así pues, el objetivo es conseguir un texto divulgativo sobre sistemas electorales que pueda ser leído con fluidez por cualquier persona con unos conocimientos académicos básicos. Al final del mismo se muestra una aplicación a la elección del Congreso de los Diputados, dado que es la más importante de las que se realizan en España.

En un sistema electoral proporcional intervienen varios parámetros: tamaño del Congreso, circunscripciones electorales, métodos de reparto (ya sea para determinar el tamaño de las circunscripciones o la asignación de los escaños a los partidos) y la barrera electoral. A ello deberíamos añadir un método de preferencias sobre los candidatos para el caso en el que las listas sean desbloqueadas.

El tamaño del Congreso es una decisión política, y no hay mucho que decir desde un punto de visto matemático, salvo que se quiera comparar con el de otros países cuyo tamaño de población sea similar. En nuestro caso, al comparar con los países de la Unión Europea, los 350 escaños del Congreso resultan ser un tamaño más bien pequeño, ya que Polonia tiene 450 escaños y su población es inferior a 40 millones de habitantes frente a los 46.5 que tiene España; y Suecia tiene 349 escaños con solo 11 millones de habitantes.

Las circunscripciones suelen determinarse por razones geográficas y administrativas. Eso hizo que en los años 70 del siglo pasado se usara la provincia. Tampoco en este aspecto tienen una relevancia especial las matemáticas.

Sin embargo, los métodos de reparto proporcional se establecen para aproximar fracciones de escaños por cantidades enteras, ya que las asignaciones de escaños tienen que ser números enteros, y ahí sí que juegan un papel importante las matemáticas. Porque hay que transformar unos números en otros números, y los métodos, o las funciones que se establezcan para hacer esas transformaciones, tienen que estar bien definidos y cumplir propiedades deseables importantes en la representación proporcional.

Por otra parte, las barreras electorales son limitaciones que se establecen a la participación de los partidos en la distribución de escaños, con objeto de evitar una gran fragmentación del parlamento. Las barreras clásicas suelen establecer un porcentaje mínimo de votos para poder recibir escaños. Por lo general esas barreras no son razonables, en unas ocasiones producen discontinuidades de salto en la representación, y en otras ocasiones no surten efecto. Es posible definir una barrera diferente, que no origina saltos en la representación de los partidos políticos y surta efectos siempre.

Nos centraremos, principalmente, en mostrar cómo es posible definir un sistema electoral con el que los partidos tengan una representación razonable y facilite la gobernabilidad.

Tres métodos importantes para realizar un reparto proporcional

Al hablar de proporcionalidad en un reparto de H escaños entre n partidos, cuyos votos han sido (v_1, v_2, \ldots , v_n), lo primero que se nos ocurre es calcular la proporción exacta que corresponde a cada partido con arreglo a los votos que ha recibido. Es decir, calcularíamos las cantidades siguientes, denominadas cuotas (siendo V=\sum v_i):

C= \left ( \cfrac{H \cdot v_1}{V}, \cfrac{H \cdot v_2}{V}, \ldots , \cfrac{H \cdot v_n}{V} \right )

A continuación es necesario redondear las cuotas a números enteros, ya que en general son fracciones no enteras. Así, el método de Hamilton, conocido también como el método de los Restos Mayores, asigna a cada partido tantos escaños como valor tiene la parte entera de su cuota, y después asigna un escaño adicional a cada partido con parte fraccionaria más alta, hasta completar los H escaños.

Por tanto, el método de Hamilton multiplica los votos de los partidos por el factor, fijo, H/V y redondea las fracciones como acabamos de indicar. Los votos de todos los partidos influyen en el resultado, aunque sean muy pequeños y no les corresponda ningún escaño.

El método de Webster y el método de Jefferson, conocidos también como método Sainte-Laguë y método d´Hondt (respectivamente), también multiplican los votos por un factor y después redondean a cantidades enteras. En estos casos, el factor no se sabe a partir de V y H. En el caso de Webster, los redondeos se hacen al entero más próximo, y d’Hondt, por otra parte, redondea al entero por defecto. En general, hay muchos factores válidos para distribuir los escaños tanto con Webster como con Jefferson. Realmente, salvo que exista un empate, hay un intervalo de factores válidos en cada caso; los votos de los partidos pequeños no influyen en el reparto cuando se realiza con uno de estos dos métodos.

Para calcular el factor, en el caso de Webster podemos empezar con el mismo factor que Hamilton (esto es, por H/V) y redondear los restos mayores que 0.5 por exceso y los menores que 0.5 por defecto. Entonces, si de esa forma se han distribuido exactamente H escaños, ése es el reparto Webster; pero si se han distribuido menos escaños tenemos que aplicar un factor mayor que H/V, y si se han distribuido escaños de más tenemos que disminuir el factor.

Con el método de Jefferson, si empezamos con el factor H/V, como redondea las fracciones al entero por defecto (es decir, a su parte entera), siempre se distribuyen menos de H escaños. Por tanto, hay que aplicar un factor mayor que H/V.

Se puede evitar la búsqueda de un factor para hacer el reparto, en cada caso, recurriendo a un algoritmo equivalente que consiste en hacer una tabla de cocientes, dividiendo los votos de cada partido por los números impares cuando usemos Webster, o por los números naturales cuando usemos d’Hondt.

Ejemplo

Supongamos que estamos en una circunscripción con tamaño 9 (esto es, H=9) en la que han concurrido 5 partidos, y que los votos obtenidos por ellos son (452, 180, 155, 60, 53), cuya suma es V=900. Entonces, las cuotas se obtienen multiplicando los votos por 9/900=1/100, que es el factor de Hamilton. Obtenemos los siguientes resultados:

C=(4.52, 1.80, 1.55, 0.60, 0.53)

con lo cual el reparto con el método de Hamilton es

E=(4, 2, 2, 1, 0)

Sin embargo, si las cuotas las redondeamos al entero más próximo, como indica el método de Webster, el reparto de escaños sería (5, 2, 2, 1, 1), que sumarían 11. Por tanto, el factor para aplicar Webster, en este ejemplo, tiene que ser inferior al 1/100 usado para el método de Hamilton (que se basa en las cuotas exactas). Por ejemplo, si multiplicamos los votos por 1/104 se obtienen las cuotas siguientes:

C=(4.35, 1.73, 1.49, 0.58, 0.51)

que redondeadas al entero más próximo valen:

E=(4, 2, 1, 1, 1)

que es el reparto con el método de Webster, ya que suman 9 (que son los escaños a repartir).

Para obtener el reparto Webster valdrían muchos otros factores, siendo el más pequeño 0.5/(100*.53). Éste conduce a las cuotas (4.26, 1.70, 1.46, 0.57, 0.5), que al redondearlas al entero más cercano el reparto E=(4, 2, 1, 1, 1) (porque el 0.5 puede redondear indiferentemente a 0 o a 1). El factor más alto que podemos usar es 1.5/(100*1.55), que conduce a las cuotas (4.37, 1.74, 1.5, 0.58, 0.51), que también pueden redondear al mismo reparto ya que 1.5 puede redondearse indistintamente por 1 o por 2 (en este caso hay que redondearlo por 1).

El factor para el reparto con Jefferson tiene que ser mayor que el de Hamilton (es decir, mayor que 1/100), porque el redondeo con Jefferson es a la baja, a la parte entera, y daría 6 escaños. Por ejemplo, si multiplicamos los votos por 2/155 (es decir, el factor sería 2/(100*1.55)), se obtienen las cuotas

C=(5.83, 2.32, 2.0, 0.77, 0.68)

con lo cual el reparto Jefferson es

E=(5, 2, 2, 0, 0)

El factor mínimo válido para hacer el reparto Jefferson es 2/(100*1.55). También podría ser el factor algo mayor, hasta multiplicar los votos por 6/452.

En el ejemplo anterior observamos que tres métodos diferentes, que además son los más usados, han dado lugar a tres repartos distintos ante un mismo problema de reparto proporcional.

En principio no es fácil decantarse por un método u otro. El más natural parece ser el de Hamilton, pero este método es inconsistente, pues asignó 2 escaños al tercer partido con 155 votos y ningún escaño al quinto partido que tuvo 55 votos. Entre ambos recibieron 2 escaños; si distribuimos ahora esos 2 escaños entre ellos usando Hamilton observamos que las cuotas son (1.49, 0.51) y, por tanto, el reparto Hamilton no es (2, 0) sino (1, 1). Hamilton resulta ser un método rechazable por ser inconsistente y por tener multitud de paradojas.

En el ejemplo anterior vemos también que el partido vencedor obtuvo más del 50% de los votos, mayoría absoluta, y sin embargo Hamilton y Webster sólo le asignaron 4 de los 9 escaños.

En relación con todo esto, el método de Jefferson tiene tres propiedades que lo hacen sumamente interesante:

  1. Si un partido obtiene mayoría absoluta de votos y H es impar, entonces Jefferson le asigna mayoría absoluta de escaños.
  2. Todo partido recibe al menos los escaños de la parte entera de su cuota. Es decir, ningún partido llega a perder un escaño en un reparto con Jefferson.
  3. Castiga los cismas en los partidos. Es decir, si un partido se divide en dos, sin que el número total de votos de ambos varíe con respecto a los que obtendría el partido del que proceden, el número total de escaños de esos dos nuevos partidos nunca aumenta con respecto a los que habría obtenido el partido de procedencia.

Por ello, el método de Jefferson es uno de los más adecuados para asignar escaños a los partidos.

Sin embargo, en España el método d’Hondt es muy criticado por los resultados que produce en la elección del Congreso de los Diputados, ya que hay grandes desequilibrios cuando se comparan votos y escaños de algunos partidos. Por ejemplo, hay ocasiones en las que un partido supera el millón de votos y recibe menos escaños que otro partido con 350000 votos. Pero eso se debe a que la composición del Congreso de los Diputados se obtiene a través de 52 repartos independientes y, por tanto, un partido puede llegar a ser perjudicado (o beneficiado) hasta ese número de veces y en total acumular 20 o 30 escaños de más o de menos.

Principios para la representatividad y la gobernabilidad

Creo que en lugar de plantear si debemos «usar un método de reparto proporcional u otro», es preferible establecer una serie de principios que debiera verificar un sistema electoral. En tal sentido, podríamos aceptar como representativo un sistema electoral que asignase a cada partido alrededor del 95% de los escaños que corresponden a su cuota (parte entera de esa cantidad), que además no asignase más escaños a un partido que tiene menos votos que otro, y que las asignaciones de dos partidos con igual, o casi igual, número de votos no difieran en más de un escaño (por ejemplo, dos partidos que difieran en un voto o tengan igual número de votos). Por último, la representatividad debe llevar asociada el desbloqueo de las listas electorales.

Por otra parte, un sistema electoral incentiva la gobernabilidad si el porcentaje de escaños del partido más votado es sensiblemente superior a su porcentaje de votos. Por ejemplo, esa diferencia de porcentajes puede ser cercana a los 5 puntos.

Quizás no exista ningún sistema electoral en el mundo que verifique los criterios anteriores, sin embargo es muy sencillo diseñar un sistema electoral que los verifique todos. Veámoslo.

Los votos globales de cada partido de las elecciones generales del pasado 28 de abril de 2019 se recogen en la tabla siguiente. En la última columna, bajo las siglas R&G (que corresponden a representatividad y gobernabilidad), se muestra la asignación a los partidos obtenida en dos etapas: en la primera se han distribuido 325 escaños (el 92.86% de los 350) en proporción a los votos totales de los partidos y, a continuación, se han distribuidos 350 escaños a los partidos en proporción al cuadrado de sus votos totales, sin que ningún partido pierda representación con respecto a la que obtuvo al distribuir 325 escaños:

Por último, los escaños de los partidos, de la última columna, se asignan a sus listas de las 52 circunscripciones usando un método de reparto biproporcional que garantiza a cada partido el total de escaños que aparece en esa columna, y a cada circunscripción el cupo de escaños establecido para la misma. La biproporcionalidad significa que se construye una matriz con los votos de todos los partidos en las 52 circunscripciones electorales; en el caso anterior sería una matriz de 52 \times 18, (descartando los 49 partidos menos votados). Hay que encontrar un factor para aplicarlo a cada una de las filas y otro para cada una de las columnas de la matriz, de tal forma que los redondeos (con el método que se haya establecido) sumen, para cada fila, los escaños que debe tener la circunscripción correspondiente (por poner un ejemplo, 7 si se trata de Granada), y, para cada columna, el número de escaños que han correspondido a cada partido político: 122 la primera, 56 la segunda, etc.

Esto se consigue programando el algoritmo Tie and Transfer, o bien descargándose el BAZI, que ya lo tiene programado y es de uso gratuito.

Nota: Para facilitar la lectura del artículo, y no alargar su extensión, no he incluido ninguna barrera electoral ni una explicación profunda de los repartos biproporcionales y del algoritmo Tie and Transfer.

No obstante, la barrera electoral alternativa a las clásicas es bien sencilla, pues basta elegir una función continua, creciente y convexa que valga cero en el origen. Por ejemplo, dado un r positivo, se pueden transformar los votos del partido i en max \{0, v_i-r \}, que es muy fácil de explicar a cualquier político, ya que se trata de una reducción de los votos totales de cada partido.

Por último, para garantizar que se cumple la constitución se debe efectuar otra pequeña modificación que implica la variación de un escaño a favor de PRC en la columna R&G.


Podéis dejar todas las preguntas que tengáis en los comentarios e intentaremos que sean respondidas a la mayor brevedad.


La foto de la urna la he tomado de aquí.

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