Que Pi es uno de los números más icónicos de las matemáticas es algo de sobra conocido a estas alturas, y que puede aparecer en cualquier «lugar matemático» también. Hoy veremos un nuevo ejemplo: cómo el cálculo de un límite aparentemente sencillo esconde una cuestión poco conocida sobre el número Pi cuya respuesta todavía no tenemos completa.
Pues sí, amigos. El número Pi, ese número irracional y trascendente que aparece en fórmulas como la del volumen de la esfera (tanto de la esfera tridimensional como de la esfera en dimensión ), en los resultados de algunas sumas infinitas y de algunos productos infinitos, en el triángulo de Pascal, en la probabilidad de escoger dos números primos relativos, en el conjunto de Mandelbrot y que es uno de los protagonistas de la identidad de Euler, tiene todavía secretos a desvelar. Uno de los más importantes (posiblemente, el que más) es determinar si es o no es un número normal, y otro es el que os traigo hoy.
Comencemos desde el principio. A finales de junio dejaba en mi cuenta de Twitter el siguiente problema:
Un problemita para la tarde del martes. Hoy toca calcular el valor del límite que podéis ver en la imagen. ¡A por él! pic.twitter.com/7ABhJgMH43
— gaussianos (@gaussianos) June 23, 2020
Como podéis ver, el límite que proponía calcular tiene una pinta bastante inocente, ya que tiene una acotación bastante sencilla y conocida (su valor está siempre entre
y
)…pero el hecho de que esté en el denominador hace que ese camino, el de la acotación, no nos sirva de mucho en este caso. Por otro lado, el denominador no puede ser cero nunca (ya que
), pero sí que puede estar muy cerca de cero…y además sin ningún tipo de tendencia.
Lo mismo ocurre con este otro límite que propuse hace unos días:
Esta tarde de viernes es magnífica para pensar un ratito en este límite, del estilo a otro que propuse hace un par de meses (echad un ojo al siguiente tuit). A ver quién nos puede decir algo razonado sobre él. Por cierto, n∈ ℕ pic.twitter.com/FYlMUJ6B8a
— gaussianos (@gaussianos) August 28, 2020
Como veis, la única diferencia con el anterior es el exponente de la del denominador, que ahora es
en vez de
. Bien, pues eso cambia mucho las cosas, más de lo que parece. Lo veremos más adelante.
En ambos casos, muchas han sido las personas que intentaron dar con la tecla para calcular los límites de una forma u otra, pero la mayoría dieron argumentos falsos al intentar calcular los límites (o demostrar que no existen) o se chocaron contra un muro y, por desgracia, se quedaron a mitad de camino…
…menos Gonzalo Cao, graduado en matemáticas y física por la Universidad Politécnica de Cataluña y, actualmente, estudiante de doctorado en ecuaciones en derivadas parciales en el MIT. Gonzalo es un enamorado de las matemáticas desde el instituto, época en la que participó en olimpiadas matemáticas y llegó a conseguir una medalla de bronce en la Olimpiada Matemática Internacional de 2014, celebrada en Ciudad del Cabo (Sudáfrica).
Gonzalo, en varios tuits, dio unas pinceladas sobre el problema de estos límites, muy relacionado (inesperadamente) con el número . En concreto, la existencia o no de estos límites está íntimamente relacionada con lo que se conoce como la medida irracional de
, algo así como la capacidad que tenemos de aproximar el valor de
con números racionales (esto es, fracciones).
Al ver su respuesta, le propuse que escribiera algo sobre el tema para el blog, a lo que accedió encantado. Os dejo a continuación con su texto sobre este tema.
Hace unas semanas, la cuenta de Twitter de Gaussianos nos planteaba el siguiente límite:
donde recorre los números naturales. Como
tiende a infinito, es muy razonable pensar que
tienda a infinito y el límite planteado sea
. Pero tenemos que tener cuidado, porque hay un
multiplicando a
que podría ser muy cercano a
. Miremos los ejemplos
y
. Para
, tenemos que
, y por lo tanto
, lo cual es bastante cercano a
. Pero si miramos a
la cosa es mucho peor: aquí se da la casualidad de que
, que es un valor cercanísimo a
. Como consecuencia,
. Si el límite fuese
, uno esperaría que el valor se fuese acercando más y más a
; sin embargo, para
estamos mucho más lejos de
que para
.
Como muchos podréis suponer, está escogido a propósito para que las cosas vayan mal: lo hemos cogido para que
sea cercanísimo a
. Por lo tanto, si hay muchos más ejemplos como
estaríamos en apuros para calcular nuestro límite. Para entender un poco mejor dicho límite, consideremos dos supuestos:
- Supuesto 1: Supongamos que existieran infinitos valores de
tales que
(el
, por ejemplo, sería uno de ellos). En este caso, existen infinitos
tales que
. Por tanto, no puede ser que
tienda a infinito, y el límite planteado originalmente no es
(no existiría límite).
- Supuesto 2: Supongamos ahora que para todo
tuviésemos la cota
. En tal caso, tendríamos que
y como la sucesión de la derecha tiende a
, también lo haría la de la izquierda.
La pregunta ahora es: ¿estamos en una situación como la del supuesto 1 o como la del supuesto 2? En realidad, ambos casos tratan con el mismo concepto: las cotas inferiores de
. En el supuesto 1 estamos diciendo: «la cota inferior
se está incumpliendo infinitas veces», mientras que en el supuesto 2 decimos: «la cota inferior
se cumple». La moraleja que sacamos de aquí es muy útil, y es que debemos de estudiar cotas inferiores de
. Por el contrario, las cotas superiores (como
) no nos serán muy útiles aquí, porque los problemas surgen cuando
es pequeño, no cuando
es grande.
Una primera cosa que podemos ver sobre el límite es que, si existe, es
. Basta fijarnos en los
para los cuales
(la mayoría de los
son de este tipo, uno que no lo es sería el
). Para estos
, tenemos
, y por tanto el límite es
sobre ellos. Eso imposibilita que el límite original sea un
, porque en dicho caso el límite también sería
sobre los naturales tales que
, cosa que es falsa. Esto nos deja dos escenarios: o el límite es
o el límite no existe.
La manera de hacer esto es suponer que existe un límite
y probar luego que
. Para ello, cogemos
arbitrariamente grande y escogemos
como el natural que hay en el intervalo
(como el intervalo es de longitud
, habrá algún natural dentro). Como estamos suponiendo que el límite original es
, también será el límite para los naturales de la forma
(que son sólo algunos de los naturales), y tendremos que
Ahora bien, como el seno tiene un período de
, el valor de
será el seno de un número entre
y
. En el intervalo
el seno siempre vale más de
, y tenemos que
. Aplicando esa desigualdad, tenemos que
por lo que vemos que
, y por lo tanto el límite sólo puede ser
. No obstante, no hemos probado que el límite sea
, porque hemos asumido que el límite existe para este razonamiento. Lo único que hemos hecho es descartar que el límite exista y tome un valor diferente de cero. Esto, como decíamos, nos deja dos posibilidades: o bien el límite es cero o bien el límite no existe.
El valor de
será pequeño cuando
esté cerca de los ceros del seno, que son los números de la forma
. Como
es irracional, nunca tendremos
(luego nunca ocurrirá
), pero sí puede ocurrir
, es decir,
. En concreto, si definimos
para que
sea lo más cercano a
(es decir,
es el redondeo a un natural de
), tendremos que
. Denotaremos a este error por
. Como
es periódica de período
, podemos escribir
que, por Taylor, es aproximadamente
(formalmente,
). Por lo tanto, tenemos que
El símbolo
significa que las dos cantidades son del mismo orden (formalmente, una es menor que
veces la otra y viceversa). En particular, el límite original será
si y sólo si
De hecho, también tenemos que
, y podemos simplemente mirar si el límite de
es infinito o no. Si no lo es, significa que existe un
e infinitos
tales que
Cuando se cumpla esta condición, diremos que
es
-aproximable (en general, podemos cambiar
por cualquier irracional
y el
del denominador por cualquier real
para decir que
es
-aproximable). Lo que hemos visto es que el límite planteado no existe si
es
-aproximable, mientras que el límite planteado es
si
no es
-aproximable.
Una manera intuitiva de pensar en los números
-aproximables es la siguiente: son los números tales que podemos aproximar sus
primeras cifras utilizando fracciones con números de
cifras. En efecto, si
y
tienen
cifras (son del orden de
) y son una
-aproximación de
, tendremos que el error es del orden de
. Luego
estaría clavando las primeras
cifras decimales de
. Por ejemplo, la famosa aproximación
clava las tres primeras cifras de
utilizando un denominador de tan sólo una cifra. Otra aproximación es
, que utilizando apenas
cifras decimales clava las
primeras cifras de
(dejando un error de menos de tres diezmillonésimas). Estos ejemplos están bien para entender por dónde van los tiros, pero no nos demostrarán nada, porque para probar que
sea
-aproximable necesitaríamos infinitos ejemplos de aproximaciones
con error del orden de
.
Una primera aproximación de
que podemos hacer es, para cada
natural, coger
como el entero más cercano a
. El error
es como mucho
, por lo que
será como mucho
. Es decir,
es
-aproximable. Esto no es nada del otro mundo, de hecho, todos los números son
-aproximables siguiendo el mismo argumento. La gracia del asunto estará en demostrar que un número sea
-aproximable cuando
sea mayor que
.
Una manera mejor de ir aproximando
es la siguiente. Empezamos escribiendo
y si tomamos
tenemos una primera aproximación de
por racionales:
. Como esto no es muy sorprendente, lo que hacemos es tratar de mejorar la aproximación refinando el resto
. Concretamente, vemos que
, por lo que tenemos
y tomando
nos da la conocida aproximación
(de ahí que el 22 de Julio se celebre como día de la Aproximación de Pi). Análogamente, podemos ver que
, lo que nos da
y aproximando
obtenemos
. Como vemos en esta última expresión, la fracción formada por los números que multiplican a
nos da la anterior aproximación de
. Esto no es casualidad, ocurre por lo siguiente: esa fracción se puede interpretar como el límite de nuestra expresión cuando
; en concreto, nuestra expresión tenderá a
cuando
tienda a infinito. ¿Qué pasaría si aproximamos
en vez de
? Pues como
, aproximar
a infinito es lo mismo que aproximar
a
. Pero es que
era la aproximación previa, que nos daba
. Resuelto el misterio: la fracción de valores que multiplican a
da la anterior aproximación de
porque ambas cosas son el resultado de tomar
.
Otra cosa que podemos ver es que las aproximaciones van alternando el lado al que caen de
. Tenemos que
, pero
, y volvemos a tener
. Esto se debe a que el número
(que es
) siempre está entre
y
. Por lo tanto,
siempre está entre dos aproximaciones consecutivas, y en consecuencia las aproximaciones van alternando de lado.
En general, podemos llamar
a nuestra aproximación
-ésima (siendo
), y podemos escribir
Sustituyendo
se obtiene las recurrencia
y
, lo que se escribe en forma matricial como
Como la segunda matriz de la derecha es de determinante
(y el determinante del producto es producto de determinantes), tenemos que el determinante de la primera matriz es igual al determinante de la primera de la derecha pero con distinto signo. Por ejemplo, tenemos
Este razonamiento lo podemos aplicar para cualquier
, obteniendo
. Podemos comprobar también algunos casos mediante cálculo directo, por ejemplo:
. Esto nos permite decir que la diferencia entre dos aproximaciones consecutivas, será de
La última desigualdad la hemos sacado de que
. Es decir, tenemos los números
y
, que distan menos de
, y entre estos dos números está
. Por lo tanto, o bien
está a menos de
de distancia de
o bien
está a menos de
de distancia de
. Y si ahora dejamos variar
, tenemos que existen infinitas fracciones
tales que
Esto es,
es
-aproximable. En general, podríamos haber hecho esto mismo con cualquier otro número irracional (para los racionales, llegamos a que
y no podemos continuar). Por tanto, todo número irracional es
-aproximable. ¿Resuelve esto nuestro límite? Pues no, porque
-aproximable es menos que
-aproximable. Pero al menos resuelve el otro límite que nos propuso Gaussianos en Twitter:
El razonamiento es igual al que ya hicimos con el límite original, sólo que en este caso obtenemos
-aproximabilidad en vez de
-aproximabilidad. Y concluimos que este último límite no existe, porque
sí es
-aproximable.
En general, no deberíamos esperar más que esto, ya que la mayoría de los números son sólo
-aproximables. ¿Por qué? El razonamiento intuitivo es más o menos el siguiente:
La probabilidad de ser
-aproximable, con cualquier constante, será nula también. Por tanto, los números
-aproximables son excepcionalmente raros. Son tan raros que si cogemos
números al azar (o la cantidad que sea), no esperaríamos que ni siquiera uno de ellos fuese
-aproximable. Sin embargo, alguno sí que hay. ¿Un ejemplo? Pues el número
Si tomamos la suma sólo hasta un
, obtenemos una fracción de denominador
. Sin embargo, el error saldrá del orden del primer sumando que no tomemos, que es
.
Por lo tanto, cabe esperar que
no sea
-aproximable, pero…¿podría darse la casualidad de que
fuese
-aproximable? Pues no lo sabemos. Saber cómo de aproximable es
es un problema abierto. Como comentábamos al principio, este valor
de aproximabilidad de
se conoce como medida irracional de
, y suele representarse como
.
Hasta hace no mucho, la mejor cota que teníamos era
, debida a Vladislav Salikhov y su trabajo On the irrationality measure of
de 2008, publicado también en 2010 como On the measure of irrationality of number
en 2010 (por cierto, sólo he podido encontrar ambos papers en ruso, si alguien los encuentra en inglés que avise). Pero en diciembre de 2019, Doron Zeilberger y Wadin Zudilin demostraron que
no es
-aproximable (más concretamente
-aproximable). Esto es, que la medida irracional de
es, como mucho, dicho valor. El trabajo en cuestión es The Irrationality Measure of Pi is at most 7.103205334137…, y puede leerse de manera gratuita. Esto, que
, es lo mejor que se tenemos hasta la fecha, y esto nos dice, por ejemplo, que
Recapitulando, sabemos que
es
-aproximable y que no es
-aproximable, y tenemos todo un rango de
en el medio para el cual no sabemos nada. La mayoría de la comunidad científica piensa que
ha de ser sólo
-aproximable, y, en ese caso, el límite planteado sería
. Pero, de momento, tendremos que esperar a una prueba de ello.
Como detalle final, comentar que todo esto de la medida irracional de
está relacionada con unas series numéricas denominadas series de Flint Hills, cuya convergencia (que no está demostrada) implicaría que
y, en consecuencia, que el límite que ha generado este artículo es cero. Podéis leer algo sobre ellas en On convergence of Flint Hills series, de Max Alekseyev
La imagen de Pi la he tomado de aquí.
¿Te ha gustado la entrada? Puedes invitarme a un café, Gauss te lo agradecerá 😉
Excelente artículo. No me esperaba que al final no se pudiese resolver… Pero donde dices que que
implicaría que el límite no existe, ¿no sería al revés, que el límite sí existe (y es 0)? Porque si lo he entendido bien, para que el límite no exista,
ha de ser 3-aproximable, o sea, que
.
Correcto, implicaría que el límite existe y es cero. Acabé el artículo tarde, ya de madrugada, y supongo que el cansancio hizo de las suyas. Muchas gracias por la corrección, y también por leerte el artículo completo, tanto Gonzalo como yo nos alegramos mucho de que te haya gustado :).
Tendré que sentarme a leer bien el artículo, porque es bien contundente.

Mientras tanto… he leído «pi» y «límite» y me ha recordado en seguida a una función que encontré y que tiende a pi.
Es realmente desagradable de ver, lo sé. ¿De dónde pensáis que viene?
La verdad es que no es muy agradable, en eso tienes razón :P.
Cuéntanos algo más de ella, tiene una pinta bastante curiosa.
Antes de nada… me he vuelto a poner y la he definido en para quitar esos floors. Ahora queda así: Si alguien sabe simplificarla más, me encantaría verlo… Hay fórmulas más eficaces –tienden más rápido a pi– pero son más voluminosas. Esta es la más sencilla que he encontrado. En cuanto a de dónde viene… lo he preguntado yo antes 😉 Tampoco es muy complicado, es una fórmula simplificada de una de las miles de maravillosas apariciones de . Un poco como si cogemos la suma de los inversos de los cuadrados, y damos con una función f(n) explícita para… Lee más »
Para n = 1 000 000, la función devuelve 3.14159108279543. Lo dicho, hay formas más precisas. Recuerdo que con alguna podrías introducir n = 100 y alcanzaba las mismas 6 cifras de precisión. Pero no la recuerdo…