Impresionante igualdad numérica

Corto, pero intenso. Impresionante igualdad numérica la que nos traen en Números y algo más:

\begin{matrix} \mbox{Para } n=1,2,3,4,5,6 \mbox{ la siguiente igualdad } \\  \\ 14^n + 16^n + 45^n + 54^n + 73^n + 83^n = 3^n + 5^n + 28^n + 34^n + 65^n + 66^n + 84^n \\  \\ \mbox{es cierta} \end{matrix}

Tremendo, ¿verdad? Ah, y los resultados son los siguientes:

Author: ^DiAmOnD^

Miguel Ángel Morales Medina. Licenciado en Matemáticas y autor de Gaussianos y de El Aleph. Puedes seguirme en Twitter o indicar que te gusta mi página de Facebook.

16 Comments

  1. El caso es que yo tampoco sé cómo la encontraron. Estaría bien saber si tiene historia y fue simplemente casualidad.

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  2. En Sage, con dos valores más para poner en contexto:

    sage: [(14^n+16^n+45^n+54^n+73^n+83^n,3^n+5^n+28^n+34^n+65^n+66^n+84^n) for n in [0..7]]
    [(6, 7), (285, 285), (17611, 17611), (1216233, 1216233), (88564195, 88564195), (6657391785, 6657391785), (511397583331, 511397583331), (39896418020793, 39932439606393)]

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  3. En primer agradezco a Diamond el haber publicado un enlace a la entrada de mi blog.
    Con respecto a como lo logran:
    Existe un método para generar este tipo de ecuaciones multigrado.
    En primer lugar escribimos una ecuación simple del tipo :
    2+5=3+4,
    ahora sumamos a cada uno de los números un mismo número, por ejemplo 4, obtenemos pues
    6+9=7+8,
    lo que hay que hacer ahora es cambiar el orden de la segunda ecuación y sumarla a la anterior :
    así obtenemos una ecuación multigrado de orden dos:
    2+5+7+8 = 3+4+6+9
    2^2+5^2+7^2+8^2 = 3^2+4^2+6^2+9^2 =142,

    Repitiendo este proceso varias veces se obtienen multigrados de grado mayor

    Si empezamos con una ecuación del tipo 1+5=2+4 y le sumamos a cada número un cuatro obtenemos: 5+9=6+8 ahora al cambiar el orden de esta ecuación y al sumarla obtenemos 1+5+6+8 = 2+4+5+9, como el cinco aparece en los dos lados de la ecuación lo eliminamos y nos queda 1+6+8=2+4+9 que también es una ecuación de grado dos.

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  4. Claudio, qué menos que poner un enlace. Al César lo que es del César :).

    Interesante la forma de encontrar este tipo de igualdades que nos comentas, no la conocía.

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  5. Diamond te comento que el método no es mío, lo aprendí hace mucho leyendo un libro de Brian Bolt (autor muy recomendable) creo que lo explica en el libro Actividades Matemáticas

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  6. He pasado la igualdad a wolframalpha.com

    14^n+16^n+45^n+54^n+73^n+83^n=3^n+5^n+28^n+34^n+65^n+66^n+84^n

    Pero solo da soluciones numericas para n=1 y n=2

    Sabeis por que no da para n= 3, 4, 5 o 6 ?

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  7. No lo sé, Ignacius. Yo he probado con Mathematica y sí que sale hasta n=6.

    {1,True,285,285}
    {2,True,17611,17611}
    {3,True,1216233,1216233}
    {4,True,88564195,88564195}
    {5,True,6657391785,6657391785}
    {6,True,511397583331,511397583331}
    {7,False,39896418020793,39932439606393}
    {8,False,3147875181519235,3159607926543235}
    {9,False,250472917911223305,252761636833312905}
    {10,False,20058551553856630051,20407094666502358051}

    Muy curiosa la forma de obtener este tipo de igualdades. Gracias Claudio.

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  8. Es un sencillo, aunque largo, ejercicio de congruencias, probar que los dos miembros de la igualdad son congruentes módulo 5145940800 para cualquier valor de n.

    Tampoco es difícil ver, usando otra vez las propiedades de las congruencias que dado CUALQUIER número natural m, existen infinitos términos de la sucesión para los que ambos miembros son simultáneamente divisibles entre m.

    Por otro lado, la técnica que comenta Claudio me ha sorprendido bastante y se puede demostrar que funciona en general.

    Dejo abiertos un par de problemas:
    a) ¿es cierto que siempre el segundo miembro es mayor o igual que el primero?
    b) ¿existe algún otro valor de n para el que ambos sean iguales?

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  9. Vaya, antes he puesto una cosa que no estaba demasiado bien: lo que se puede probar es que para cualquier número natural m, existen infinitos valores de n para los que los dos miembros son congruentes módulo m (no necesariamente congruentes con cero, como afirmaba yo).

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  10. Ignacius, eso es porque te da “Computation time out”. A mí me da para n=1, n=2 y n=3.

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  11. Gracias a 161803398874 y a Imanol Pérez, por vuestra ayuda.

    Para conseguir más tiempo de proceso, he probado la versión Pro de Wolframalpha, pero sigue dando n= 1, n=2 y a lo sumo n=3.

    En fin, a ver si puedo probar con un procesador I7 y fibra optica.

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  12. Para Claudio :
    Solía visitar mucho tu blog, aunque nunca he comentado. Habia una “aplicación” que nos permitia conocer la primalidad o no primalidad de un número, a la vez que calculaba pi(X).; entro a tu página y ya no la hallo, podrias decirme donde hallar pi(x) on-line?

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  13. Gracias, Claudio. Justo lo que necesitaba. Suficiente y necesario.

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  14. en Wolfram
    Reduce[14^n + 16^n + 45^n + 54^n + 73^n + 83^n ==
    3^n + 5^n + 28^n + 34^n + 65^n + 66^n + 84^n, n, Integers]
    da como resultado
    n == 1 || n == 2 || n == 3 || n == 4 || n == 5 || n == 6

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