(Vídeo) Problems with zero

Hoy os traigo un vídeo en el que nuestros amigos de Numberphile nos hablan de un tema que siempre es controvertido en Matemáticas: el cero. Concretamente nos hablan sobre el cociente 1 \over 0, sobre la comentadísima potencia 0^0 (cuestión sobre la que yo hablé hace un tiempo) y sobre 0 \over 0. Interesantes temas los tratados en este vídeo que, por cierto, está subtitulado al español:

Espero vuestras opiniones sobre estos temas.

Autor: ^DiAmOnD^

Miguel Ángel Morales Medina. Licenciado en Matemáticas y autor de Gaussianos y de El Aleph. Puedes seguirme en Twitter o indicar que te gusta mi página de Facebook.

24 Comentarios

  1. Habían notado que este blog http://www.matematicasdigitales.com/potencias-por-que-un-numero-elevado-0-es-igual-1/ (yo diría que la ecuación no justifica 0 a la 0 porque a podría ser 0), al igual que wolframalpha http://www.wolframalpha.com/input/?i=0%5E0, y algunas fuentes http://www.vitutor.com/fun/3/a_11.html dan 0^0 como indeterminado

    Yo entiendo la explicación del video que es la que daba gaussianos en su otra entrada sobre 0^0, y además, está esta entrada (https://gaussianos.com/%C2%BFcuanto-vale-cero-elevado-a-cero-%C2%BFy-cero-factorial/) sobre la explicación conjuntista (http://almargendefermat.wordpress.com/2009/12/27/%C2%BFcuanto-vale-0-elevado-a-0/), pero me pareció interesante mencionarlo…

    Saludos!

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  2. Con el vídeo indicado por Antonio tan solo se demuestra que ese limite es 1.
    Pero por qué la base se tiene que aproximar a 0 linealmente, y el exponente mediante una tangente?
    Y si calculamos el limite con la función x^{sen(x)} o como x^{cos(pi/2+x)} ?
    O incluso como sin(x)^x ?

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  3. A título personal, diría que una expresión del tipo 0^0, 0/0,… es una indeterminación si se puede obtener más de un resultado numérico distinto al realizar f(x)^{g(x)}, f(x)/g(x),… con la condición de que los límites cuando x tiende a cero de f(x), g(x) valgan cero.

    Bajo esa definición, que parece casi de lo más natural que se nos puede ocurrir, los ejemplos del vídeo probarían que 0/0 es indeterminación.

    En el caso de 0^0, tenemos el ya clásico límite x^x = 1 cuando x tiende a cero.

    Y para buscar otra valor de 0^0, tomamos x^{(ln(0.5)/ln(x))} = 0.5 cuando x tiende a cero.

    En cualquier caso, considero que es más importante saber el significado de las cosas que el clasificarlas y meterlas en baúles.

    Gracias por leer.

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  4. Yo estimo pertinente la intervención de Daniel Cao

    En lo que respecta a el valor de 0^0, por lo que he podido leer en las fuentes consultadas, yo diría que:

    En el cálculo se adopta que 0^0 es indeterminado sin caer en inconsistencias; mientras

    En la teoría de conjuntos se adopta que 0^0 es 1, sin caer en inconsistencias.

    Lo que no me convence es el video que dice darle el valor de 1 a 0^0 porque el límite de x^x tienda a 1 cuando x tienda a cero… porque ha sido necesario tomar un límite.

    Para 1/0 se obtiene una operación indefinida, si se toma el límite se sabe que tiende a +infinito cuando se llega a cero por la derecha y a -infinito cuando se llega a cero por la izquierda, pero se ha tomado un límite, el cual no existe porque no es igual por la izquierda que por la derecha, y además infinito no es un número sino un concepto.

    No así en un caso comentado donde 0.999…=1 y es una igualdad numérica no un límite que tiende a.

    De modo que estos dos artículos me dejan ver que el valor lo hayan por un límite, en cálculo, por lógica en teoría de conjuntos, pero es en principio un valor indeterminado cuando se sustituyen valores en una sucesión

    http://www.zurditorium.com/cero-elevado-a-cero-no-es-una-indeterminacion

    http://mathworld.wolfram.com/Power.html

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  5. En cálculo x^x tiende a 1, cuando x tiende a cero, eso es lo que pasa (ahí no estamos diciendo que 0^0 vale 1 o es igual a 1), en teoría de conjuntos se puede adoptar 0^0=1, sin inconsistencias.

    No entiendo la propuesta de Daniel Cao en x^{(ln(0.5)/ln(x))}=0.5, me la podrías explicar?

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  6. Es una construcción muy creativa 🙂
    f(x)=x^{(lg(a)/lg(x))}=a , \forall x>0
    Es decir, siempre vale `a`, sin necesidad de tomar el limite, y lo curioso es que para x=0 no se puede evaluar. Aunque por supuesto, en el limite vale `a`

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  7. Sabía que 0^0 da 1 si se resuelve por l’Hôpital, y solo conocía la razón de que 0^0=0^(1-1)=0/0 para decir que no importaba que ese límite diera 1, si se aceptara que ese es el resultado de la operación las cosas se pondrían bien feas en la Matemática en general. No sabía que se debía tener también en cuenta el resultado del límite en el campo de los números complejos (la verdad, aún estoy algo crudo con los complejos)…definitivamente es hermoso como todo concuerda :’)

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  8. Hay una cosa que me llama la atención y corríjanme si me equivoco…

    Es claro que no se puede usar el razonamiento circular, es decir no podemos usar una proposición que depende de otra para demostrar la primera.

    Por ejemplo:

    Peano sobre los números naturales decía:

    0 es natural y cualquier sucesor de una natural es natural

    la función sucesor es suc(n)=n+1, y dando por sentado que conocemos la adición antes de la definición de los naturales dada por Peano, no podemos demostrar que 0 es natural, diciendo que 1-1=0, porque no es el orden deductivo de los razonamientos.

    De hecho

    Primero sabemos que 0 es natural (según Peano)

    por defininciçomn de suc, 1 es natural, y así sucesivamente…

    Mi duda es, y por favor aclárenme si me equivoco…

    Cuando se definen los casos base de potencia, no vienen las propiedades después, o sea no podemos usar un teorema para demostrar un axioma, del mismo modo en que no podemos usar una propiedad para probar un caso base, si respetamos el orden deductivo, como pasaría si definimos primero a^0 y luego usamos esa definición en a^{n-m}

    Favor, comentarios!

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  9. A menos claro, que el orden de definiciones y propiedades lo permita, en lo que concierne a mi comentario anterior.

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  10. Sobre el tema de 0^0 creo que el siguiente enlace, que ZetaSelberg comentó en la entrada de Gaussianos sobre el tema, lo explica perfectamente bien (en perfecto inglés, eso sí):

    http://www.askamathematician.com/?p=4524

    Las conclusión no es la misma que la del vídeo, pero a mi parecer (y estoy seguro de no equivocarme) es la conclusión correcta.

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  11. En cuanto al tema de la potenciación que proponía Antonio. La exponenciación en teoría de grupos, cuando el grupo se define con la operación multiplicación, denota una notación abreviada de la multiplicación donde a^k es a*a*…*a (k veces con k entero, si k negativo SE DEFINE como el producto de -k veces a^-1 (se puede probar que es lo mismo que el inverso de a^-k)). Asimismo cualquier elemento elevado a 0 SE DEFINE (como decía Antonio) como 1 (neutro multiplicativo), sobre todo para que sea consistente con (a^m)*(a^-m).

    Pero lo más importante es que nunca se va a dar 0^0 pues aunque el exponente puede valer 0 (pues recorre los enteros), el argumento no puede ser 0, puesto que el neutro aditivo no va a tener inverso multiplicativo (y no puede estar en un grupo multipicativo), (eso último se prueba fácilmente con las primeras nociones de teoría de anillos).

    Entonces, bajo mi punto de vista en lo que respecta a Teoría de grupos, anillos,… 0^0 es un sinsentido, y desde la parte del análisis una expresión que puede tomar cualquier valor real.

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  12. Dada una función f(x)^g(x) donde la base y el exponente tienden a 0 cuando x tiende a …, ocurre que a priori no sabemos si el límite de f(x)^g(x) existe o no, y aun cuando exista no podemos predecir su valor y este puede ser cualquier número real o infinito con o sin signo.
    Definir por convenio 0^0=1 tiene sentido si ello nos ayuda, pero visto lo anterior, nos crea más confusión que ayuda, tengo claro que en teoría de conjuntos tiene sentido, pero tampoco nos ayuda mucho.
    Mi opinión es que puesto que de nada nos sirve definir 0^0, mejor no definirlo.
    Lo mismo se puede decir de 0/0.

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  13. Hay ciertos casos en los que 0^0 tiene que valer 1 para mantener consistencia. Estos son dos ejemplos que me gustan mucho:

    Sabemos que si f(x)=x, entonces f'(x)=1, \forall x\in\mathbb{R}. Podemos derivar f(x) utilizando la formula (x^n)'=nx^{n-1}. Entonces (x^1)'=x^{1-1}=x^0. Para que f'(0)=1 necesitamos que 0^0=1.

    Por el Binomio de Newton sabemos que: (a+b)^2=a^2b^0+2ab+a^0b^2. Podemos utilizar este teorema para encontrar (x+0)^2 (que claramente es igual a x^2). Por lo que obtendriamos (x+0)^2=x^20^0+2×0+x^00^2=x^20^0. Y una vez mas requerimos que 0^0=1.

    Sin lugar a dudas, un tema muy interesante!

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  14. Pensaba que una función real elevada a otra, sólo era posible definirla cuando la base tomaba números positivos.
    Aclarádmelo, si es posible.
    Saludos

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  15. Antonia, estás en lo cierto, no podemos definir potencias de base un número negativo y exponente un número irracional sin salirnos de los números reales.
    Si que se admiten funciones cuya base tenga al 0 en su dominio siempre y cuando el exponente no sea irracional, por ejemplo la función raíz n-ésima, o la raíz n-ésima del senx,… . También podemos definir funciones cuya base sea negativa, por ejemplo la sucesión (-1)^n .

    ¿Pero que pasa con 0^0?, esto se puede convenir, no pasa nada si por convenio (es decir, por conveniencia) admitimos que 0^0=1, otra cosa es que esto sirva para algo.

    En matemáticas hay muchos convenios el que más te sonará es que 0!=1, ó f^(0)=f, todo se hace para poder dar las fórmulas de una forma compacta y no andar con excepciones, el primer convenio viene muy bien para los números combinatorios y el segundo para la fórmula de Taylor y las series de potencias.

    Hay quien dice que el 0 es el primer natural y quien dice que lo es el 1, no pasa nada es todo un convenio.

    Por ejemplo “log” ¿qué representa logaritmo en base 10 ó el número e?, Para algunos “log” es el de base el número e y para otros esta hay que denotarlo “ln”.
    Un saludo.

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