Una pelota, tal y como la conocemos, es una figura (que podemos considerar como) esférica en tres dimensiones. Cualquier figura de este tipo cumple que su volumen depende de su radio. De hecho este volumen no es para nada desconocido, tiene una fórmula bien sabida por todos desde nuestra etapa escolar. Si llamamos al radio de la esfera en cuestión, el volumen de esta pelota en dimensión 3 es:
Si tomamos la pelota con radio igual a 1, el volumen será entonces el siguiente:
¿Qué magnitud tiene este resultado? Pues en principio depende de la unidad de medida del radio: metros, centímetros, kilómetros…Pero bueno, este detalle no es el que más nos interesa para este artículo. Lo que nos interesa saber es que esta pelota se denomina bola unidad en .
Bien, ¿y cómo es la bola unidad en dimensión 1? ?Y en dimensión 2? ¿Y en dimensiones mayores? Y puestos a preguntar, ¿cómo son sus respectivos volúmenes? ¿Cómo cambian según cambia la dimensión? Vamos a intentar responder a esta preguntas.
Volumen de la bola unidad en 
Para empezar vamos a ver qué es la bola unidad:
La bola unidad en
es el conjunto de puntos
tales que:
Vamos a ver exactamente qué es la bola unidad en las tres dimensiones que somos capaces de ver/imaginar:
- Dimensión 1: La bola unidad es el conjunto de puntos
tales que
, es decir, el intervalo
.
- Dimensión 2: En este caso la bola unidad es el conjunto de puntos
tales que
. Estos puntos representan la circunferencia de centro
y radio 1 junto con su parte interna, esto es, el círculo de centro
y radio 1:
- Dimensión 3: Aquí la bola unidad es el conjunto de puntos
que cumplen que
, o lo que es lo mismo la esfera (maciza) de centro
y radio 1:
Bien, ahora la historia sería calcular el volumen de cada una de ellas, pero claro, hay que interpretar bien la historia. En realidad, lo que conocemos coloquialmente como volumen sólo es aplicable a dimensión 3. En dimensión 1 el volumen sería la longitud y en dimensión 2 sería el área. Llamando al volumen de la bola unidad en dimensión
, obtenemos los siguientes resultados:
- El volumen 1-dimensional de la bola unidad de dimensión 1 es
(la longitud del intervalo).
- El volumen 2-dimensional de la bola unidad de dimensión 2 es
(el área del círculo).
- El volumen 3-dimensional de la bola unidad de dimensión 3 es
(el volumen que calculamos al principio de esta entrada).
Parece que el volumen va aumentando conforme aumenta la dimensión, hecho bastante evidente por otra parte. Si seguimos calculando el volumen de la bola unidad para dimensiones mayores llegamos a los siguientes valores aproximados:
- Para N=4,
.
- Para N=5,
.
- Para N=6,
…
¡Un momento! Para N=6 el valor aproximado del volumen es menor que para N=5…¿No habíamos dicho que el volumen aumenta conforme aumenta la dimensión? Pues en realidad no es así.
Mediante cálculo en varias variables se puede encontrar una expresión que nos calcula el volumen de la bola unidad N-dimensional en función de N. Es la siguiente:
siendo la función Gamma.
Tomemos esta fórmula como una función real de variable real. ¿Cómo se comporta esta función para valores grandes de N? Pues…de manera sorprendente, dada nuestra intuición acerca del comportamiento del volumen de la bola unidad N-dimensional. Os dejo una gráfica de la función para valores de
entre 1 y 30:
¡¡El volumen de la bola unidad N-dimensional tiende a cero cuando N tiende a infinito!! Es decir, para valores grandes de N, el volumen N-dimensional de la bola unidad en dicha dimensión es muy muy pequeño. De hecho la funcion es creciente hasta el punto
, y a partir de ahí decrece.Teniendo en cuenta que uno imagina que conforme la dimensión es mayor la bola unidad es cada vez más grande, este resultado choca con nuestra intuición. Y más aún si tenemos en cuenta que la bola unidad N-dimensional contiene a todas las bolas unidad de dimensión menor que N.
¿Por qué entonces el volumen es tan pequeño para dimensiones grandes? Para responder a esta pregunta tenemos que tener en cuenta que en cada caso hablamos de volumen N-dimensional, algo así como la cantidad de puntos de que pertenecen a la bola unidad de dimensión N. Teniendo en cuenta que el hecho de que más de dos de las coordenadas de un punto sean mayores que
implica que el punto está fuera de la bola unidad, es más o menos claro que conforme aumentamos el número de coordenadas del punto (es decir, aumentamos la dimensión) será cada vez más complicado encontrar puntos con una o ninguna coordenada mayor que dicho número. Vamos, que la probabilidad de encontrar puntos así será cada vez más pequeña, con lo que el volumen también será cada vez menor, acercándose a cero cuando la dimensión tiende a infinito.
Que curiosas, a la par que interesantes, son las dimensiones superiores…
Fuente principal:
- Volume of a ball in N dimensiones en Math Fun Facts.
¿Te ha gustado la entrada? Puedes invitarme a un café, Gauss te lo agradecerá 😉
[…] This post was mentioned on Twitter by gaussianos and llamame como quieras, jhonattangaona. jhonattangaona said: ¿Cuál es el volumen de la bola unidad de dimensión N?: Una pelota, tal y como la conocemos, es una figura (que p… http://bit.ly/emoacP […]
[…] ¿Cuál es el volumen de la bola unidad de dimensión N? gaussianos.com/%C2%BFcual-es-el-volumen-de-la-bola-unidad… por n11d3a hace 2 segundos […]
[…] Quin és el volum d'una bola de dimensió N? gaussianos.com/%C2%BFcual-es-el-volumen-de-la-bola-unidad-de… per PauGNU fa 3 segons […]
¡¡¡¡¡Wow!!!! Las dimensiones altas no son nada fáciles de imaginar, pero son fascinantes.
Anonadado o_O
También es curioso (creo y si lo he hecho bien) es que, según crecen las dimensiones, un perímetro cada vez mayor, «encierra» un volúmen cada vez menor llegando en la dimensión infinita a que «un perímetro infinito encierra un volúmen nulo». —————————————————————— NOTA: Por simplicidad lo haré con «un cubo encierra una esfera», pero supongo que se puede hacer con un «n-caedro» (ej. un dodecaedro). La esfera unitaria puede ser encerrada en un cubo de lado 2. En una dimensión el número de aristas viene dado por las combinaciones que se obtienen de dejar fijas dimensiones (a 0 o a… Lee más »
Ten en cuenta que, con esa fórmula, estás comparando el volumen de la bola de dimensión N con el «cubo» de dimensión N. Al subir al dimensión, a partir de 5, la bola ocupa cada vez menos porcentaje de volumen del correspondiente cubo. Es esa relación la que tiende a cero.
Se ve más fácil si conservas el radio R en las fórmulas.
Información Bitacoras.com…
Valora en Bitacoras.com: Una pelota, tal y como la conocemos, es una figura (que podemos considerar como) esférica en tres dimensiones. Cualquier figura de este tipo cumple que su volumen depende de su radio. De hecho este volumen no es para nada de……
En parte sí y en parte no, de ahí que dijera «supongo que se puede hacer con…». Aunque tienes razón que hice mal en tomar el cubo. En lugar de mi malogrado cubo, usemos una arandela (un círculo, vamos), en tal caso, el perímetro del círculo que encierra la hiperesfera se mantiene constante, mientras que el volúmen se reduce para n>5. Si a cada nueva dimensión, añadimos una arandela (ej. siempre perpendicular a todas las anteriores), obtenemos el mismo resultado que al que quería llegar con el cubo. La explicación es que la longitud siempre es de dimensión 1, mientras… Lee más »
Preciosa la entrada. Recuerdo que hace un tiempo alguien comentó algo relacionado https://gaussianos.com/entre-sucesiones-anda-el-juego/#comment-6429
Antes de leer el post imaginaba una tendencia creciente hasta que realmente te paras a pensarlo. ¡Muy interesante!
Si te paras a pensarlo, cuanto mas dimensiones existan menores serán el tamaño de las coordenadas particulares de cada eje (x, y z, t…). Exactamente, para N dimensiones:![x={1 \over \sqrt[2] {N}} x={1 \over \sqrt[2] {N}}](https://s0.wp.com/latex.php?latex=x%3D%7B1+%5Cover+%5Csqrt%5B2%5D+%7BN%7D%7D+&bg=ffffff&fg=000000&s=0)
No se si esto tendrá que ver pero presumo que si.
Como bien comentan acá http://math.stackexchange.com/questions/15656/volumes-of-n-balls-what-is-so-special-about-n-5 no tiene mucho sentido preguntarse si «el volumen aumenta (o no) conforme aumenta la dimensión» porque no tiene sentido comparar «volumenes» (incluso haciendo la salvedad de que son «hipervolúmenes») en dimensiones diferentes. Es como preguntar qué es más grande, si una superficie de un metro cuadrado o un volumen de un centímetro cúbico. Lo qué sí tiene sentido es preguntarse por la razón entre el volumen de la esfera y el volumen del cubo unitario en N dimensiones -y ahí sí tenemos ese número y ese gráfico. Pero lo mas lógico -más intuitivo- sería comparar… Lee más »
Genial el artículo. Yo el año pasado hice un trabajo sobre integrales en el que al final como corolario se llega al volumen de la bola n dimensional, por si alguien le interesa.
hernan, eres un aguafiestas :P. La cuestión no es que sea una paradoja, digamos, al uso, sino que cuando uno lo escucha va contra su propia intuición, aunque luego tenga cierto sentido. Por otra parte, interesante tu comentario sobre el volumen de la esfera y el del cubo que la contiene.
lucagali, muy interesante tu trabajo. Si alguien se ha quedado con la duda de por qué el volumen de la bola unidad n-dimensional es ése, que le eche un ojo a este trabajo.
Pepitozamora, sí, en cierto modo por ahí puede ir la historia. Digamos que cuanto mayor es N más complicado es encontrar un punto dentro de la bola unidad.
Sí, el rol de aguafiestas es el que mejor se me da 😉 Dos vueltas de tuerca para terminar de aguarla. Primero. Imaginemos esa secuencia de «esferas unitarias» de dimension 1,2,3… y digamos : «miren qué hecho curioso, el \’volumen\’ primero aumenta y despues disminuye». Imaginemos que alguien hace el mismo dibujo mental, pero sus «esferas unitarias» las dibuja todas con diámetro=1 (en lugar radio=1); en su caso, el «hecho curioso» no se presentará. O sea, que la propiedad depende de la escala elegida, o sea que no tiene relevancia geométrica. Segundo. Qué tal si en lugar de hablar de… Lee más »
Interesante… me encantan las dimensiones superiores. Me he leido hace poco Planilandia, y he pasado malos días intentando visualizar tesaractos (no las superficies cúbicas del teseracto, sino el teseracto en sí).
primero: No pretendo molestar segundo: Volumenes n-dimensionales, este no es mas que un nombre, que no nos soprenda descubrir que satisface ciertas propiedades, ¡vamos! no hay que dotar de esoterismo a las matematicas. Si en lugar de llamarse ‘volumen’ (n-dimensional) se llamara ‘fefo’ al numero que le estamos asociando a la bola unitaria n-dimensional ¿seguirian siendo tan particularmente «llamativos» dicho numero y la propiedad que satisface? (cuando digo «llamativo» no me refiero a la utilidad que pueda tener, si no al valor que le damos como dato «curioso»). Podriamos decir, que el ‘fefo’ de la bola unidad de dimension 1,2,3… Lee más »
Sí, porque durante toda mi vida, los «volúmenes» que yo he visto y que mi cerebro ha comprendido se comportan (subjetivamente) de una forma que mi cerebro ha asimilado como «normal» (aun cuando esa normalidad fuera errónea). Por eso, cuando algo modifica la comprensión que mi cerebro tiene de «algo» contradiciendo lo aprehendido se produce la sorpresa. Es diferente cuando algo (ej. los «fefos») modifica la comprensión ampliandola, entonces, símplemente aprendo y no me produce sorpresa. Es tentador observar al mago intentando descubir el truco, pero, en tal caso, no disfrutarás de la magia. En cambio, observa la prestidigitación y… Lee más »
En realidad no hay ninguna paradoja en los resultados numéricos de este interesante trabajo. Simplemente estamos ante una argumentación falaz. Esta falacia, más o menos implícita, está generada por la forma en que se sugiere relacionar [1], [2], [3] y [4] y [5] con [6]: [1]: «¡Un momento! Para N=6 el valor aproximado del volumen es menor que para N=5…¿No habíamos dicho que el volumen aumenta conforme aumenta la dimensión? Pues en realidad no es así». [2]: «uno imagina que conforme la dimensión es mayor la bola unidad es cada vez más grande,… » [3]: «hablamos de volumen N-dimensional, algo… Lee más »
¡Me encantó el artículo, es increíble pensar en cómo puede comportarse cierto volumen a medida que las dimensiones tienden a ser mayores!
@ Roberto Tait Un punto puede tener 1, 2, 3 o N coordenadas, pero sigue siendo un punto, no un hiperpunto. Por tanto, el número de ellos SÍ que se puede comparar. En el artículo se indica explicitamente: «hablamos de volumen N-dimensional, algo así como la cantidad de puntos de que pertenecen a la bola unidad de dimensión N». Primero, indica N-dimensional, es decir, un concepto de volumen distinto para cada N, y segundo: «algo así como la cantidad de puntos», cosa que si se puede comparar. Me parece que el que parte de una premisa errónea eres tú: «La… Lee más »
[…] Gömböc: ¿qué forma tiene la casi total ausencia de equilibrio? Taller “Blogs y matemáticas: una interesante comunión” Centenario de la Real Sociedad Matemática Española ¿Cuál es el volumen de la bola unidad de dimensión N? […]
Hola.
Permitidme una puntualización. Usando el teorema de Fubini y cálculo de primer curso se obtiene la siguiente fórmula recurrente para el volumen de una n-esfera de radio 1:
V(n) = (2pi/n)*V(n-2)
Y, por recurrencia,
V(n) = ((2pi)^k)/d
siendo k la parte entera de n/2 y d=1·3·5·…·n, si n es impar; y d=2·4·6·…·n si n es par.
Perdón, me olvidé dividir d por 2 cuando n es impar:
V(n) = ((2pi)^k)/d
siendo k la parte entera de n/2 y d=1·3·5·…·n/2, si n es impar; y d=2·4·6·…·n si n es par.
Acabo de alucinar, aunque una vez leída la última parte tiene toda la lógica del mundo
[…] ¿Cuál es el volumen de la bola unidad de dimensión N? […]
Hola, me gustaría saber si es posible seguir este procedimiento para encontrar el volumen de una esfera 3N-dimensional, o ¿qué debe hacerse en ese caso?