La historia del redescubrimiento de la regla de los trapecios

Seguro que algunos de vosotros habéis creído en alguna ocasión haber realizado un descubrimiento importante en matemáticas, pero al poco tiempo os habéis dado cuenta de que lo que habíais encontrado en realidad ya estaba descubierto. Tranquilos, no sois los únicos.

En febrero de 1994 apareció publicado en Diabetes Care el artículo A Mathematical Model for the Determination of Total Area Under Glucose Tolerance and Other Metabolic Curves. En el abstract, que podéis ver aquí, se decía, entre otras cosas, lo siguiente:

Objetivo: crear un modelo matemático para la determinación del área total bajo curvas de varios estudios metabólicos.

La autora del artículo es Mary M. Tai, que según el mismo en aquella época estaba en el Departamento de Nutrición de la Universidad de Nueva York. Por cierto, podéis ver dicho trabajo haciendo click en este enlace.

El artículo tiene un título interesante y el objetivo que perseguía representa algo útil para sus compañeros de profesión, a tenor de la cantidad de citas que tiene. Pero la cuestión es que lo que se describe en él ni mucho menos representa un descubrimiento original, sino que es el redescubrimiento de un método conocido hace varios cientos de años. El método descrito por Mary Tai, como decimos, ni mucho menos es algo nuevo, en realidad es el redescubrimiento de la bien conocida regla de los trapecios.

¿Qué es esta regla de los trapecios? Pues un método de integración numérica, es decir, un método para calcular aproximaciones de integrales definidas. Y como una integral definida de una función puede interpretarse como el área bajo la gráfica de dicha función, la regla de los trapecios es un método para calcular el área bajo una curva.

Esta regla funciona de la siguiente manera:

Dada la integral definida de una función f(x) en un intervalo [a,b]

\displaystyle{\int_a^b f(x) \; dx}

lo que hacemos es dividir el intervalo [a,b] en intervalos más pequeños, digamos

[a=x_0,x_1],[x_1,x_2], \ldots ,[x_{n-1},x_n=b]

y tomar, para cada intervalo [x_i,x_{i+1}] el trapecio cuyos lados son dicho segmento, el segmento vertical de 0 a f(x_i), el segmento también vertical de 0 a f(x_{i+1}) y el segmento que une f(x_i) con f(x_{i+1}). La suma de las áreas de todos esos trapecios es una aproximación al área que hay debajo de dicha curva.

En esta imagen podemos ver un ejemplo con el área bajo la curva y=sen(x)+2 en el intervalo [2,6] (dividido en cuatro intervalos):

El método da mejores aproximaciones cuanto mayor sea la cantidad de partes en las que dividamos el intervalo inicial, y es interesante ya que el cálculo del área de un trapecio del tipo de los que aparecen en él es más bien sencillo (cada uno de ellos se puede dividir en un rectángulo y un triángulo rectángulo). No me voy a meter en más tecnicismos, pero podemos decir que, en general, la regla de los trapecios no está mal para realizar aproximaciones de integrales definidas en intervalos, pero hay métodos mejores que él, métodos donde el error cometido en la aproximación es menor.

Bien, pues esto es básicamente el modelo matemático que creo la tal Mary Tai en su artículo. Vamos, que no creó nada que no estuviera ya creado, estudiado y analizado hasta la saciedad (según parece data de la época de Newton, siglos XVII y XVIII). Pero por otra parte el artículo tiene una cierta cantidad de citas en Google Scholar: en esta búsqueda aparece el artículo en cuestión y se ve que tiene 158 citas en este momento. De esto podemos sacar varias lecturas:

  • La revisión del artículo no fue todo lo buena que debería. Es bastante lamentable que los revisores pasaran por alto que el método que describía Mary Tai en realidad era la conocida regla de los trapecios.
  • El artículo ha resultado útil, al menos para los compañeros de profesión de Mary Tai. El hecho de tener esa cantidad de citas indica que hay bastantes personas que no conocían el método y que lo han encontrado interesante y útil en sus investigaciones.

Y seguro que vosotros tendréis más opiniones al respecto.

Evidentemente no soy ni mucho menos el primero que comenta este caso. De hecho en el mismo año 1994 se publico el artículo Tai’s formula is trapezoidal rule, por parte de Jane H. Monaco y Randy L. Anderson, en el que hablaban de este hecho.

Pero no fueron los únicos. Ralph Bender y Thomas M. S. Wolever (y otros) también realizaron comentarios al respecto, que la propia Mary Tai contestó (con mayor o menor maestría). En este pdf podéis ver algunos de los comentarios a su artículo y las respuestas de Mary Tai.


Fuentes y enlaces relacionados:

Autor: ^DiAmOnD^

Miguel Ángel Morales Medina. Licenciado en Matemáticas y autor de Gaussianos y de El Aleph. Puedes seguirme en Twitter o indicar que te gusta mi página de Facebook.

11 Comentarios

  1. Que no era la regla del trapecio, es la regla del triangulo y el rectángulo que aunque lo parezca no es un trapecio xD. Esa creo que es su defensa.

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  2. Como bien dices, a mucha gente la regla de los trapecios le puede resultar útil… pero el hecho de que referencien precisamente este artículo me hace pensar que no conocían el método.
    Esto me hace pensar pienso que tenemos algún problema, porque al final esta gente es de ciencias y debería sonarle el método… o al menos sospechar que ya podía estar descubierto, y haberse documentado (de hecho, yo lo usé cuando hacía la tesis para ver si un experimento iba por el buen camino y ni se me ocurrió pensar que lo había descubierto yo :o) ).

    Lo que sí que me parece pasmoso son los revisores de la revista… menudo gol les metieron! juas

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  3. Super Me Theorem:
    I can sum the numbers in any order
    Proof: 2+3=3+2

    No, i do not mean commutativity. In fact, I don’t care what is commutativity. I’m saying that 2+3=3+2. It is easy, you see?

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  4. Bueno a decir verdad a mi me ha pasado pero con tema de algebra creo haber descubierto una formula para una familia de cubicas que no es deducible de la formula general conocida como formula de tartaglia-cardano, y lo hice el 10 de julio de 2010 pero aun no lo publico por que no tengo las facilidades de un copyrigth.

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  5. que verguenza de referees 🙁 a mi me han rechazado varios trabajos y al tipo este le publican esa mamarrachada 🙁 , asi nos va todo partidismo y todo motivado por intereses monetarios $ $ $ $ de vender revistas y suscripciones cientificas.

    @Hernan: hay revistas como ‘prespacetime journal’ que publican esas cosas atribuyendolas al autor, tambien tienes vixra.org o similares que no tiene prejucios como el arxiv, asi puedes validar que la formula es tuya 🙂

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  6. Estos avisos si funcionan no como los de CNN por favor expliquenles como se hace!

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  7. Uno de mis grandes descubrimientos fue el de comprender que mi calculadora casio no programable usaba el método de Simpson para calcular la integral de un polinomio :-O

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  8. Esto pasa mucho, e incluso sin salirnos de las mates. Hay métodos que son redescubiertos una y otra vez. Los referees no siempre hacen su trabajo, por no hablar de algunos editores.

    En cuanto a la regla trapezoidal, y por matizar un poco, yo no diría de forma genérica que hay métodos mejores que la regla trapezoidal. Esto depende de la integral en concreto. Por ejemplo, si integramos una función periódica y suficientemente diferenciable sobre un periodo completo la regla trapezoidal funciona extraordinariamente bien (y esto se entiende a partir de la fórmula de Euler-Maclaurin). Y en otros casos, con determinados cambios de variable la regla trapezoidal también hace maravillas.

    Para un artículo reciente sobre la poderosa regla trapezoidal recomiendo:
    https://people.maths.ox.ac.uk/trefethen/sirev56-3_385.pdf

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