Encerrando al seno

Publicado por ^DiAmOnD^ | 24 marzo, 2009 | Juegos | 3 |

El problema de la semana es el siguiente:

Demostrar la siguiente desigualdad:

$\cfrac{20}{60} < sen(20^\circ) < \cfrac{21}{60}$

A por él, que no es difícil.

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Sobre el Autor

^DiAmOnD^

Miguel Ángel Morales Medina. Licenciado en Matemáticas y autor de Gaussianos y de El Aleph. Puedes encontrarme también en Twitter, en Instagram, en Geogebra.org y en Facebook.

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[latex]código-latex-que-quieras-insertar[/latex]
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Y si los símbolos < y > te dan problemas al escribir en LaTeX, te recomiendo que uses los códigos html & lt; y & gt; (sin los espacios) respectivamente.

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3 Comments

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Bitacoras.com

24/03/2009 09:01

Información Bitacoras.com…

Valora en Bitacoras.com: El problema de la semana es el siguiente: Demostrar la siguiente desigualdad: A por él, que no es difícil….

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Manzano

24/03/2009 11:20

A partir de la fórmula $sen(3x)=3sen(x)-4sen^3(x)$ , que se deduce de la fórmula de de Moivre y de la identidad fundamental, haciendo $x=20$ , obtenemos que $sen(20)$ es una solución de la ecuación $f(x)=0$ donde $f(x)=4x^3-3x+\frac{\sqrt{3}}{2}$ . Ahora bien, es fácil ver que

$f(20/60)=\frac{-23}{27}+\frac{\sqrt{3}}{2}$ es menor que cero.
$f(21/60)=\frac{-1757}{2000}+\frac{\sqrt{3}}{2}$ es mayor que cero.

luego $f(x)$ tiene una solución entre los valores del enunciado. Para ver que esta solución es $sen(20)$ , descartemos las otras dos soluciones de $f(x)=0$ . Como $f(1/2)$ es negativo y $lim_{x\rightarrow\infty}f(x)=\infty$ , $f(x)$ tiene una solución mayor que 1/2, pero claramente $sen(20)<1/2$ . Por otro lado, $f(0)$ es positivo y $lim_{x\rightarrow-\infty}f(x)=-\infty$ luego $f(x)=0$ tiene una solución negativa, que tampoco puede ser $sen(20)$ . Por tanto, $sen(20)$ tiene que ser la solución entre 20/60 y 21/60, como queríamos probar.

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lucagali

24/03/2009 16:13

Otra opción menos elegante es utilizar el polinomio de Taylor
$sen(x) = x - \cfrac{x^3}{3!} + \frac{sen(\theta x + 3\pi/2)x^3}{3!}$
Donde si acotamos el error y tomamos $x=\pi/9=20$ º
$sen(\pi/9) = \pi/9 - \cfrac{(\pi/9)^3}{6} \pm 0.02 = 0.342 \pm 0.02$ , lo que nos garantiza la desigualdad buscada.

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hernan

24/03/2009 23:23

Me parece bien lo de Manzano.
Pensé que también podía demostrarse usando la conocida desigualdad (en el primer cuadrante) $sin(x) < x < tg(x)$ de la cual se deduce que $\frac{x}{\sqrt{1+x^2}} < sin(x) < x$
Pero de las cotas resultantes (aprox. 19.7/60 y 20.9/60) la inferior no resulta suficientemente ajustada para lo pedido.

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