Introducción

A finales de 2006 vimos en Gaussianos cómo construir triángulos pitagóricos. El desarrollo de aquel artículo terminaba con la siguiente conclusión:

Cada terna pitagórica primitiva puede construirse a partir de dos números enteros positivos p y q primos relativos, de distinta paridad y con p > q de la siguiente forma:

(2pq , p^2 - q^2, p^2 + q^2)

El resto de ternas pitagóricas se obtienen a partir de alguna de las primitivas multiplicando todos los elementos de la misma por un número.


Hace unos días encuentro en el blog Números un post cuyo título es Generar pares pitagóricos. En él se muestra un procedimiento para generar pares de números cuya suma de cuadrados es un cuadrado perfecto, es decir, pares pitagóricos. A partir de ellos, por tanto, podemos encontrar el tercer elemento de la terna calculando la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de los elementos del par.

En realidad en la entrada que comento de este blog se muestra el resultado mediante un ejemplo (que en realidad no comienza bien, pero acaba dado el resultado esperado), pero no se incluye demostración del mismo. En este artículo pretendo dar dicha demostración.

Método para generar ternas pitagóricas

Lo primero que vamos a hacer es presentar el método mediante un ejemplo:

  1. Tomamos dos números racionales positivos cuyo producto sea dos. Por ejemplo:

    \cfrac{3}{7} y \cfrac{14}{3} \qquad \left ( \cfrac{3}{7} \cdot \cfrac{14}{3}=2 \right )

  2. Sumamos 2 a cada racional:

    \cfrac{3}{7}+2=\cfrac{17}{7} \qquad \cfrac{14}{3}+2=\cfrac{20}{3}

  3. Operamos para que las fracciones tengan el mismo denominador:

    \cfrac{17}{7} \cdot \cfrac{3}{3}=\cfrac{51}{21} \qquad \cfrac{20}{3} \cdot \cfrac{7}{7} =\cfrac{140}{21}

  4. Tomamos los numeradores, elevamos cada uno de ellos al cuadrado y sumamos:

    {51}^2+{140}^2=22201

    Como se tiene que \sqrt{22201}=149, hemos encontrado una terna pitagórica:

    (51,140,149)

Demostración del método

Este artículo quedaría cojo si no damos una demostración del resultado. Aunque es relativamente sencilla vamos a verla:

  1. Tomamos dos números racionales positivos cuyo producto sea dos:

    \cfrac{m}{n} y \cfrac{2n}{m} \qquad \left ( \cfrac{m}{n} \cdot \cfrac{2n}{m}=\cfrac{2mn}{mn}=2 \right )

  2. Sumamos 2 a cada racional:

    \cfrac{m}{n}+2=\cfrac{m+2n}{n} \qquad \cfrac{2n}{m}+2=\cfrac{2n+2m}{m}

  3. Operamos para que las fracciones tengan el mismo denominador:

    \cfrac{m+2n}{n} \cdot \cfrac{m}{m}=\cfrac{m^2+2mn}{mn} \qquad \cfrac{2n+2m}{m} \cdot \cfrac{n}{n} =\cfrac{2n^2+2mn}{mn}

  4. Tomamos los numeradores, elevamos cada uno de ellos al cuadrado y sumamos:

    (m^2+2mn)^2+(2n^2+2mn)^2=m^4+4m^3 n+8m^2 n^2+8mn^3+4m^4

    Nos aparece un polinomio dependiente de m y de n que, para que el método funcionara, debería ser un cuadrado perfecto. Y, en efecto, lo es:

    m^4+4m^3 n+8m^2 n^2+8mn^3+4n^4=(m^2+2mn+2n^2)^2

    Por tanto obtenemos la siguiente terna pitagórica:

    (m^2+2mn,2n^2+2mn,m^2+2mn+2n^2)

Relación entre las dos ternas pitagóricas

Hemos visto dos formas de encontrar ternas pitagóricas. Una pregunta casi directa a partir de ello es: ¿hay alguna relación entre ellas? La respuesta es . Vamos a verla:

Tomemos la terna pitagórica que encontramos con el método descrito y permutemos los dos primeros elementos:

(2n^2+2mn,m^2+2mn,m^2+2mn+2n^2)

Expresemos cada uno de sus elementos de la siguiente forma:

(2(m+n)n,(m+n)^2-n^2,(m+n)^2+n^2)

¿Os suena? ¡Exacto! Tomando p=m+n y q=n obtenemos la terna pitagórica que aparece al comienzo de esta entrada.


Interesante cuestión este tema de las ternas pitagóricas. ¿Alguno de vosotros sabéis más formas de generar ternas de este tipo?

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