El problema de la semana:
Hallar el menor número natural cuadrado perfecto que se puede descomponer en tres sumandos naturales y no nulos, de tal modo que la suma de cada dos de ellos sea también un cuadrado perfecto.
Responder a la misma cuestión exigiendo que los tres sumandos sean distintos.
A por él.
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Sencillo:
El menor número natural con tales características es 9^2 = 81 = 17 + 32 + 32, pues:
· 17 + 32 = 49 = 7^2;
· 17 + 32 = 49 = 7^2;
· 32 + 32 = 64 = 8^2.
Si exigimos que los tres sumandos en que se descompone sean diferentes, el menor número es 21^2 = 441 = 41 + 80 + 320, pues:
· 41 + 80 = 121 = 11^2;
· 41 + 320 = 361 = 19^2;
· 80 + 320 = 400 = 20^2.
Pero no has mostrado ningún procedimiento matemático X-Pacer.
Lo interesante es, mediante un procedimiento, llegar a dicha conclusión, no «ir probando números»
Un saludo
Perdón, estaba probando los códigos, si quieren borrenlos
Aclaración, no soy X-Pacer
La ecuación que estaba generando, es la siguiente
Es para un artículo, no tiene mucho que ver con el tema de este post.
Disculpen las molestias de un novato
[MODE sonrojado ON]
Vaya… Confieso que el «procedimiento matemático» ha consistido en hacer un pequeño programita en FORTRAN, que calcula a toda pastilla y la mar de bien.
Estoy de acuerdo con toniii en que es mucho más interesante obtener la solución por medios puramente matemáticos. La verdad es que soy seguidor de «Gaussianos» desde hace relativamente poco, por lo que no estoy muy al tanto de cómo funciona el asunto de los problemas propuestos.
Así pues, perdón por haber hecho trampas y por haber publicado el resultado sin justificación matemática alguna. Como castigo, me comprometo a devanarme los sesos intentando hallar una demostración como está mandado.
[MODE sonrojado OFF]
X-Pacer acabo de ver tu respuesta en gaussianos y la objecion de toniii de que no has demostrado tu respuesta siguiendo un procedimiento matematico puede ser valida para satisfacer una demanda del grupo o curiosidad matematic. Pero una solucion numerica, utilizando algoritmos computacionales, prueba y error, etc es tan valida como una exacta para propositos de la vida real. Soy profesor de matematica y programacion de computadoras y te digo que hoy dia el poder de computo esta cambiando la manera en que hacemos matematica!!! Incluso como se enseña.
Bueno, así que tenemos algo del tipo:
(1) m^2 = A + B + C
(2) n^2 = A + B
(3) k^2 = A + C
(4) j^2 = B + C
De donde, (1) + (2) + (3) produce la identidad
(5) n^2 + k^2 + j^2 = 2A + 2B + 2C = 2m^2
Si dos sumandos fueran iguales, pongamos A=B entonces k^2=j^2 y la expresión anterior se reduce a
(6) n^2 + 2k^2 = 2m^2 o lo que es lo mismo
(7) n^2 = 2(m^2-k^2) = 2(m+k)(m-k)
De donde forzosamente se deduce que m y k son tienen la misma paridad (de lo contrario, el lado derecho sería un múltiplo de 2 pero no de 4 y no podría ser cuadrado perfecto).
Entonces se tiene que n^2 divisible por 8, pero como es un cuadrado, al menos lo será por 16. Entonces se dan alguna de estas dos posibilidades:
(7.1) m+k=4X y m-k=2Y
(7.2) m+k=2X y m-k=4Y
(Creo que me estoy perdiendo, no sé razonar cuando escribo por ordenador. Pero ahí queda mi contribución momentánea).
Claro, siendo éste un blog dedicado a las matemáticas lo mejor es que las soluciones a los problemas se publiquen mediante un procedimiento matemático, aunque admito que la informática a veces puede ayudar.
No te preocupes X-Pacer, no problem. Pero tenlo en cuenta la próxima vez, ¿de acuerdo? :).
Efectivamente, la respuesta de X-Pacer es correcta. Ahora a ver si podemos justificarla de algún modo menos computacional. El problema es una ligera variante de un problema muy antiguo 🙂
A ver que os parece esto, aunque no se si tiene que ver algo con el problema muy antiguo que dice M…
Pertimos de:
De la cual sacamos:
Sabemos también que
serán cuadrados perfectos menores que 
. Lo que nos da:
Para para valores naturales y menores a
de 
y 
Ahora combinamos
con 
, 
con 
y 
con 
obteniendo:
Dejando en función de
y 
Sustituimos en
:
Ahora solo basta probar con valores de la terna
hasta que 
sea entero. Con 
y 
no hay suerte, pero con 
obtenemos como valores de 
y 
. Está claro que 
no se puede descomponer en forma de tres sumandos naturales no nulos, así que 
es el número que buscamos. Sustituimos 
con 
en 
:
Para que
sean distintos 
tienen que ser distintos. El menor número entero 
que cumpla esto vendrá dado con 
. Con estos valores 
sale igual a 
y a 
. Con 
da un sumando nulo, por lo que:
Salu2
PD= Haber si M, nos aclara lo del problema ese.
Me refería al problema 6 del libro tercero de la Aritmética de Diofanto, que viene a decir algo así: encontrar tres números cuya suma sea un cuadrado y tales que la suma de cada dos de ellos sea también un cuadrado. La solución dada originalmente es
, aunque claramente hay más posibilidades y de ahí la variante del problema. Se usa algo similar a lo que escribo abajo pero bastante más simplificado pues impone directamente 
y 
(aunque se pierdan muchas soluciones).
La solución que voy a poner no evita el estudio de casos, aunque los reduce a 10 usando la caracterización de números expresables como suma de dos cuadrados. Pongamos:
con
, 
, y 
. Notar que no es posible que 
pues nos llevaría, sumando 
a 
que es imposible. Con esto tenemos que
Además del sistema original, tenemos
Ahora sumando
vemos que 
es suma de dos cuadrados.
Recordemos que un número natural
se expresa como suma de dos cuadrados si y sólo si sus factores primos de la forma 
aparecen en cantidad par:
con
y 
. En particular
Ahora estudiamos los posibles valores de
:
1) Para
:
sólo es posible de
que 
. De 
debe ser 
.
En principio tenemos que seguir con otros valores de
, aunque ya tenemos acotado el mínimo por 
.
2) Para
De
sale 
(y buscamos 
).
Si
, entonces 
; y si 
entonces 
, si 
es impar. Esto nos deja las cinco opciones 
.
3) Finalmente para
De (6),
debe ser par, y de 
, 
, con 
en este caso. Luego sólo nos deja 
, en cuyo caso
4) Si
, entonces 
nos impone 
con lo cual las soluciones que se obtengan no serán mínimas.
En fin, es casi como usar el fortran.
El problema antigüo al que creo que se refiere M es al de encontrar la solución general de la ecuación pitagórica:
x^2 + y^2 = z^2 con x,y,z naturales.
Pitágoras encontró una cantidad infinita de soluciones, pero fue Euclides en sus Elementos el que dio la solución completa.
¿Qué tiene esto que ver con nuestro problema? Chema ya dio una pista.
El problema es equivalente a resolver x^2 + y^2 + z^2 = v^2 que se parece mucho a la ecuacion pitagórica. Para encontrar solución he intentado descomponer esta ecuación en dos:
Como x^2 + y^2 = v^2 – z^2 entonces podemos decir:
x^2 + y^2 = (n^1/2)^2 —> Ec Pitagorica con solución conocida.
v^2 – z^2 = n —> Ec diofántica con solución conocida.
v = (a + b)/2 ; z = (a – b)/2 , donde n = a*b con a ý b de igual paridad.
x = 2*s*t ; y = s^2 – t^2 ; (n)^1/2 = s^2 + t^2 = (a*b)^1/2
donde s>t 2|x ý mcd(s,t) = 1 , s ý t de distinta paridad.
a,b han de ser impares.
Bueno hasta aquí he llegado yo. Ya desde aquí que siga otro para intentar dar una solución cerrada como la de la ec pitagórica.
Saludos!.
kubyz, no me refería a la ecuación pitagórica, que es el problema 8 del libro II de la Aritmética, sino, como dije antes, al problema 6 del libro III.
La ecuación
se resuelve igual que la pitagórica, dividiendo por 
y caracterizando los puntos racionales de la esfera 
. Obtenemos la solución general:
Tengo una respuesta relativamente sencilla para la primera parte del problema. He llevado un poco más lejos el argumento de Chema.
El planteamiento es el siguiente:
Hasta aquí, lo que todos sabemos y hemos escrito de una u otra forma.
Primer caso. Dos de los números son iguales (n=t). El caso en que los tres números son iguales, M ya ha demostrado que no es posible.
n=t
(4)
La ecuación (4) indica que del producto de 2 por otros dos números diferentes resulta un cuadrado perfecto. Uno de los dos números ha de tener el factor 2 para poder hacer un cuadrado. Pero como un número es (d+n) y el otro es (d-n) los dos han de tener la misma paridad, por tanto los dos son múltiplos de dos. De todo esto se deduce que
y por tanto que
m=4·x
Probemos x=1:
m=4
2·(d+n)·(d-n)=16. Posibilidades para (d+n) y (d-n):
2·8·1=16, no es posible pues (d-n) no es par
2·4·2=16, d=3, n=1. No es posible pues d < m, y uno de los números buscados c no sería natural (sería negativo)
Probemos x=2:
m=8
2·(d+n)·(d-n)=64. Posibilidades:
2·32·1=64, no es posible pues (d-n) no es par
2·8·4=64, d=6, n=2, no es posible pues d < m
2·16·2=64, (d+n)=16, (d-n)=2, d=9, n=7, es la solución. De las ecuaciones (1), (2), y (3) se deduce que:
a=(9+7)·(9-7)=32
b=(9+7)·(9-7)=32
c=(9+8)·(9-8)=17
Para el segundo caso (los tres números son diferentes), no he podido encontrar ningún argumento de momento que sea tan sencillo como este. Seguiremos intentándolo.
Saludos.
Lo cierto es que yo me paré en mi argumento porque no quería empezar a tantear y suponía que habría alguna forma más o menos ingeniosa de evitar el tanteo o al menos hacerlo lo más pequeño posible. Después de todo, como decía M, es casi como usar el Fortran.
Aunque, mis felicitaciones para M y Toro Sentado.
Hace un año publiqué cómo generar un triángulo recto a partir del cateto menor, ojalá les sirva mis hallazgos.
http://www.alipso.com/monografias4/Triang_Pitagoras/