El problema de la semana:
Hallar el menor número natural cuadrado perfecto que se puede descomponer en tres sumandos naturales y no nulos, de tal modo que la suma de cada dos de ellos sea también un cuadrado perfecto.
Responder a la misma cuestión exigiendo que los tres sumandos sean distintos.
A por él.
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Sencillo:
El menor número natural con tales características es 9^2 = 81 = 17 + 32 + 32, pues:
· 17 + 32 = 49 = 7^2;
· 17 + 32 = 49 = 7^2;
· 32 + 32 = 64 = 8^2.
Si exigimos que los tres sumandos en que se descompone sean diferentes, el menor número es 21^2 = 441 = 41 + 80 + 320, pues:
· 41 + 80 = 121 = 11^2;
· 41 + 320 = 361 = 19^2;
· 80 + 320 = 400 = 20^2.
Pero no has mostrado ningún procedimiento matemático X-Pacer.
Lo interesante es, mediante un procedimiento, llegar a dicha conclusión, no «ir probando números»
Un saludo
Perdón, estaba probando los códigos, si quieren borrenlos
Aclaración, no soy X-Pacer
La ecuación que estaba generando, es la siguiente
Es para un artículo, no tiene mucho que ver con el tema de este post.
Disculpen las molestias de un novato
[MODE sonrojado ON] Vaya… Confieso que el «procedimiento matemático» ha consistido en hacer un pequeño programita en FORTRAN, que calcula a toda pastilla y la mar de bien. Estoy de acuerdo con toniii en que es mucho más interesante obtener la solución por medios puramente matemáticos. La verdad es que soy seguidor de «Gaussianos» desde hace relativamente poco, por lo que no estoy muy al tanto de cómo funciona el asunto de los problemas propuestos. Así pues, perdón por haber hecho trampas y por haber publicado el resultado sin justificación matemática alguna. Como castigo, me comprometo a devanarme los sesos… Lee más »
X-Pacer acabo de ver tu respuesta en gaussianos y la objecion de toniii de que no has demostrado tu respuesta siguiendo un procedimiento matematico puede ser valida para satisfacer una demanda del grupo o curiosidad matematic. Pero una solucion numerica, utilizando algoritmos computacionales, prueba y error, etc es tan valida como una exacta para propositos de la vida real. Soy profesor de matematica y programacion de computadoras y te digo que hoy dia el poder de computo esta cambiando la manera en que hacemos matematica!!! Incluso como se enseña.
Bueno, así que tenemos algo del tipo: (1) m^2 = A + B + C (2) n^2 = A + B (3) k^2 = A + C (4) j^2 = B + C De donde, (1) + (2) + (3) produce la identidad (5) n^2 + k^2 + j^2 = 2A + 2B + 2C = 2m^2 Si dos sumandos fueran iguales, pongamos A=B entonces k^2=j^2 y la expresión anterior se reduce a (6) n^2 + 2k^2 = 2m^2 o lo que es lo mismo (7) n^2 = 2(m^2-k^2) = 2(m+k)(m-k) De donde forzosamente se deduce que m y k… Lee más »
Claro, siendo éste un blog dedicado a las matemáticas lo mejor es que las soluciones a los problemas se publiquen mediante un procedimiento matemático, aunque admito que la informática a veces puede ayudar.
No te preocupes X-Pacer, no problem. Pero tenlo en cuenta la próxima vez, ¿de acuerdo? :).
Efectivamente, la respuesta de X-Pacer es correcta. Ahora a ver si podemos justificarla de algún modo menos computacional. El problema es una ligera variante de un problema muy antiguo 🙂
A ver que os parece esto, aunque no se si tiene que ver algo con el problema muy antiguo que dice M… Pertimos de: De la cual sacamos: Sabemos también que serán cuadrados perfectos menores que . Lo que nos da: Para para valores naturales y menores a de y Ahora combinamos con , con y con obteniendo: Dejando en función de y Sustituimos en : Ahora solo basta probar con valores de la terna hasta que sea entero. Con y no hay suerte, pero con obtenemos como valores de y . Está claro que no se puede descomponer en… Lee más »
Me refería al problema 6 del libro tercero de la Aritmética de Diofanto, que viene a decir algo así: encontrar tres números cuya suma sea un cuadrado y tales que la suma de cada dos de ellos sea también un cuadrado. La solución dada originalmente es , aunque claramente hay más posibilidades y de ahí la variante del problema. Se usa algo similar a lo que escribo abajo pero bastante más simplificado pues impone directamente y (aunque se pierdan muchas soluciones). La solución que voy a poner no evita el estudio de casos, aunque los reduce a 10 usando la… Lee más »
El problema antigüo al que creo que se refiere M es al de encontrar la solución general de la ecuación pitagórica: x^2 + y^2 = z^2 con x,y,z naturales. Pitágoras encontró una cantidad infinita de soluciones, pero fue Euclides en sus Elementos el que dio la solución completa. ¿Qué tiene esto que ver con nuestro problema? Chema ya dio una pista. El problema es equivalente a resolver x^2 + y^2 + z^2 = v^2 que se parece mucho a la ecuacion pitagórica. Para encontrar solución he intentado descomponer esta ecuación en dos: Como x^2 + y^2 = v^2 – z^2… Lee más »
kubyz, no me refería a la ecuación pitagórica, que es el problema 8 del libro II de la Aritmética, sino, como dije antes, al problema 6 del libro III.
La ecuación
se resuelve igual que la pitagórica, dividiendo por 
y caracterizando los puntos racionales de la esfera 
. Obtenemos la solución general:
Tengo una respuesta relativamente sencilla para la primera parte del problema. He llevado un poco más lejos el argumento de Chema. El planteamiento es el siguiente: (1) (2) (3) Hasta aquí, lo que todos sabemos y hemos escrito de una u otra forma. Primer caso. Dos de los números son iguales (n=t). El caso en que los tres números son iguales, M ya ha demostrado que no es posible. n=t (4) La ecuación (4) indica que del producto de 2 por otros dos números diferentes resulta un cuadrado perfecto. Uno de los dos números ha de tener el factor 2… Lee más »
Lo cierto es que yo me paré en mi argumento porque no quería empezar a tantear y suponía que habría alguna forma más o menos ingeniosa de evitar el tanteo o al menos hacerlo lo más pequeño posible. Después de todo, como decía M, es casi como usar el Fortran.
Aunque, mis felicitaciones para M y Toro Sentado.
Hace un año publiqué cómo generar un triángulo recto a partir del cateto menor, ojalá les sirva mis hallazgos.
http://www.alipso.com/monografias4/Triang_Pitagoras/