Ecuación con infinitas soluciones

Hoy lunes os dejo el problema de esta semana. Ahí va el enunciado:

Sea n \geq 3 entero impar. Demostrar que la ecuación

x^2+y^2=z^n+z

admite infinitas soluciones enteras (x,y,z), siendo mcd(x,y,z)=1.

A por él.

Author: ^DiAmOnD^

Miguel Ángel Morales Medina. Licenciado en Matemáticas y autor de Gaussianos y de El Aleph. Puedes seguirme en Twitter o indicar que te gusta mi página de Facebook.

20 Comments

  1. Una duda que me ha surgido. Aunque no es el caso, ¿podríamos considerar una identidad matemática como una ecuación con infinitas soluciones?

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  2. ¡Lo tengo!
    Pista: Sustituir z=t^2.

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  3. Perdón, tal y como yo lo he hecho no se cumple mcd(x,y,z)=1.

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  4. Hagamos x=2^(2k)-1 e y=2^(2k)+1, tendremos:
    x^2 + y^2 = 2^(2k+1)+2 que se satisface para cualquier valor de k.
    Luego tenemos infinitas ternas formadas por dos impares consecutivos x e y que, con z=2 tienen su m.c.d =1 y el exponente de z es siempre un impar igual 0 mayor que 3.
    Las primeras soluciones tienen, como valores x, y, z, y n los siguientes:
    1, 3, 2, 3
    3, 5, 2, 5
    7, 9, 2, 7
    15, 17, 2, 9
    etcétera. Hay otras soluciones que no responden a las mismas fórmulas como por ejemplo 3, 11, 2, 7, lo que me sugiere que existe una fórmula más general, pero basta la encontrada para probar la infinitud de soluciones. investigaré si las hay con z distinto de 2.

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  5. En la solución de JJGJJG, me queda la duda de si el enunciado exige que haya infinitas soluciones para cada n. En ese caso, no serviría puesto que cada n fija una única terna de números.

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  6. El enunciado no dice explícitamente que deban ser infinitas las soluciones para cada n.
    Sería deseable demostrar que es así, sin embargo, resulta fácil encontrar soluciones que no responden a la fórmula empleada y con z distinto de 2, por ejemplo:
    Para n=3, 1, 47 y 13
    Para n=5, 163, 271 y 10
    Para n=7 17, 279 y 5
    Confío en que, entre todos, hallemos una demostración más general.
    Como curiosidad anticipo que entre todas las ternas x, y, z, que he obtenido, para diversos valores de n, nunca son compuestos los tres. Pueden ser primos uno o dos o los tres.

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  7. JJGJJG, el enunciado inicialmente fija un n impar. Para la ecuación correspondiente a ese n deben buscarse infinitas soluciones (primas relativas).

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  8. Voy a indicar la manera de obtener infinitas soluciones para cada m.
    Hacemos k tal que m=2k+1
    Elegimos dos números primos entre sí cualesquiera, a y b.
    Hacemos z=a^2+b^2
    Hacemos c=z^k
    Sean x=ac-b, y=a+bc.
    Entonces (x,y,z) es una solución.
    En efecto, x^2+y^2=(ac-b)^2+(a+bc)^2=(a^2+b^2)•(c^2+1)=z•(z^2k+1)=z^m+z
    Queda por ver que x,y,z son primos entre sí pero si un primo p divide simultáneamente a x,y,z divide simultáneamente a x,y,c luego dividiría simultáneamente a a y b lo que no es posible pues los hemos elegido primos entre sí.

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  9. Muy bueno y completo

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  10. Esto está de pm, pero… Bien, está claro el contexto de justificación y, como siempre, hay que, digamos, extraer el contexto de descubrimiento. Es decir, no falla la regla en al menos las tres últimas demostraciones en este blog, en las que ha habido que sacar con dificultad un comentario que responda al «cómo demonios se te ha ocurrido eso.» (y gracias que nos lo han dicho)

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  11. A mí el ¡Como demonios! me recuerda los algoritmos de la Aritmética de Diofanto.

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  12. No tengo problemas en contar cómo se me ocurrió la solución. Lo que no sé es si aclarará algo.
    En primer lugar tanteé buscando algunas soluciones sencillas sin encontrar grandes resultados.
    Luego tuve la impresión de que quizá los números complejos tendrían algo que ver en el asunto. Seguí una línea que me llevó a un callejón sin salida y abandoné el problema .
    Ayer, con calma, volví a enfrentarme al reto.
    Haciendo m=2k+1 la ecuación toma la forma x^2+y^2=z•[(z^k)^2+1]
    Me di cuenta que la expresión entre corchetes es suma de dos cuadrados, al igual que el término izquierdo de la ecuación. Inspirado por mi antigua hipótesis de que los complejos tenían algo que ver con este problema, recordé que el módulo del producto de dos complejos es el producto de sus módulos lo que me hizo, a su vez, recordar, que de esa igualdad se obtenía una bonita identidad:
    (a^2+b^2)•(c^2+d^2)=(ac-bd)^2+(ad+bc)^2
    Por tanto, si z lo pudiese expresar como suma de dos cuadrados, digamos z=a^2+b^2 puesto que (z^k)^2+1 es suma de dos cuadrados, el producto de ambos sería suma de dos cuadrados y, por tanto, tendríamos una solución de la ecuación.
    Y ya está casi todo resuelto. Quedaba asegurar el hecho de que x,y,z fuesen primos entre sí pero haciendo a y b primos entre sí, se deducía fácilmente.

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  13. Naturalmente que aclara las cosas. Corregidme si es necesario, pero el último comentario es igualmente una demostración.

    Muchas gracias.

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  14. Un poco tangencial pero, ¿»a por él» es un truncamiento de «A ir por él [problema]»?

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  15. Octavio, uhmmm…pues no lo había pensado. Es una simple arenga para que todos vosotros os atreváis a intentar resolverlo.

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  16. Qué pregunta tan amorfa, Octavio.

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  17. «A ir por el»??
    A mi me suena mejor «a por el», y en cualquier caso parece que debería ser «id a por el»

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  18. Tal vez fue amorfa, pero la respuesta del dueño de esta bitácora fue excelente.

    Por acá tal vez yo diría: «A darle, que es mole de olla».

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