Interesante vídeo el que nos traen los cracks de Numberphile. En él Carlo H. Séquin, de la Universidad de Berkeley, nos presenta una supuesta demostración de que todos los triángulos son equiláteros:
A ver quién nos explica dónde está el fallo de dicha prueba.
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[latex]código-latex-que-quieras-insertar[/latex]
o
$latex código-latex-que-quieras-insertar$.
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Y si los símbolos < y > te dan problemas al escribir en LaTeX, te recomiendo que uses los códigos html & lt; y & gt; (sin los espacios) respectivamente.
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El error está en el minuto 2:00 cuando dice que B*X = C*X, ya que en realidad son diferentes. Sí que se puede decir que BX=CX porque están sobre la línea perpendicular proyectada desde M, pero esto solo se cumplía para los puntos B y C, no sobre B* y C*.
A partir del error en este minuto los siguientes cálculos están bien hechos. Supongo que B*X=C*X solo si el triángulo es equilátero
Todos los argumentos son correctos a excepción del error que esta en el minuto 2:00 donde afirma que el punto C* esta en la prolongación del segmento AC cuando en realidad el punto C* pertenece al segmento AC, este error es causado por su gráfico.
AB*X no es congruente con AC*X. 3:30 en adelante.
Rectifico, AB*X y AC*X sí son congruentes.
El error está en el dibujo y es más sutil. Al hallar BIEN el punto X este resulta estar más próximo a M, de forma que los puntos B* y C* están en lados opuestos del segmento BC. Así, como B* está en la prolongación de AB, C* estará entre A y C.
La consecuencia es que las fórmulas AC*-CC*=AC y AB*-BB*=AB no pueden estar bien las dos a la vez. O bien AC*+CC*=AC y AB*-BB*=AB (que es el caso del dibujo) o bien AC*-CC*=AC y AB*+BB*=AB. En cualquiera de los dos casos, AB no es igual a AC y por tanto no es equilátero.
La explicación de Edins es correcta. El gráfico está construido de tal forma que parece que los puntos B’ y C’ son prolongaciones de los segmentos ab y ac, pero construyéndolo apropiadamente se ve que sólo uno de los dos está en la prolongación mientras que el otro pertenece al segmento. Por lo tanto no es correcto sumar los segmentos y entonces ab es distinto de ac.
De hecho, también se puede ver que en un verdadero triángulo equilátero la bisectriz del ángulo pasa por el punto M (es decir X=M) y los triángulos bb’x y cc’x no existen
He hecho el montaje con Geogebra y se ve claramente que uno de los dos puntos B* o C* (a no ser que AB y AC sean iguales) debe caer dentro del triángulo y el otro fuera. Se tiene que sí es cierto que BB*=CC*, pero si tomamos por ejemplo C* en el interior del triángulo, se tendría que en realidad AB+BB* = AC-CC*. El dibujo del vídeo es engañoso.
¡Muy bueno el video!
Ya está perfectamente explicado. Solo decir que es el ejemplo que viene an la página 23, final de la lección 3, de la magnífica Geometría Metríca del inigualable Puig Adam (con una letrita de pulga, eso si …).
El punto X no es otro que el punto medio del arco BC de la circunferencia circunscrita en el que no está A.
el error es porque M=X
El problema está en el dibujo, no me acuerdo exactamente de la demostración pero en el dibujo los puntos B* y C* están ambos en las prolongaciones de los lados del triángulo sin embargo uno de los dos debe estar en el propio segmento, digamos por ejemplo que es C* (esto no afecta en nada porque si por ejemplo el que quedase dentro es el B* solo haría falta cambiar el nombre) ahora el argumento que utiliza es que AB=AB*-BB* y AC=AC*-CC* pero al estar C* dentro del segmento AC la segunda igualdad realmente es de la forma AC=AC*+CC* por lo que a pesar de que realmente CC*=BB*
y AC*=AB* operando obtenemos que AB=AC-2BB* y como BB* no siempre es cero, AB no siempre es igual a AC
El error està en suponer que AB*X y AC*X son congruentes. Si bien cumplen con congruencia en lado-lado-àngulo, el àngulo es opuesto a los lados y eso no garantiza la congruencia de los triàngulos