Y estalló la polémica. Hace unos días, en Twitter se vivió una agria discusión matemática en la que dos bandos «luchaban» por una victoria que les llevara a la cima del mundo del análisis. En la red social del pajarito, atrás quedan ya las contiendas entre «concebollistas» y «personasquenosabencomer», o entre los razonables «ceronaturalistas» y los «ilciriniisinnímirinitiril»: señoras y señores, llega la gran batalla de la continuidad. Sí, amigos, efectivamente ésa es la razón por la cual la temperatura matemática llegó a niveles nunca visto en las redes sociales. En concreto, la cuestión que desató el conflicto puede resumirse en la siguiente pregunta: ¿Es la función f(x)=\frac{1}{x} continua?

Tras esta introducción llena de épica y emoción, vamos a meternos en el tema. La cosa la comenzó @juanmemol (cómo te gusta picar…) con este tuit:

Y es cierto que hubo discusiones (algunas bastante acaloradas, podeís mirar las respuestas al tuit y las conversaciones derivadas), pero en realidad es una batalla sin sentido, matemáticamente hablando (aunque creo que sí lo tiene en lo relativo a la didáctica), ya que, en este caso, la cuestión está bastante clara. Con todo y con eso, la «batalla» llegó a tomar tintes de no demasiada educación ni demasiado respeto en algunos casos, y también de unos aires de superioridad totalmente injustificados por parte de alguno de los contendientes. Por no hablar de enroque en una idea equivocada, de tuits copiados para intentar justificar lo injustificable, de intentos de desacreditar al «contrario» citando teoremas que no puede aplicarse en este caso… Vamos, de todo.

Bueno, al lío. Estoy seguro de que, al ver la pregunta que abrió el debate, muchos habréis dicho algo así como:

– Hombreeeee, pues claro que es continua.

pero otros muchos, por el contrario, habréis pensado algo del estilo a:

– Hombreeeee, pues claro que no es continua.

¿A que sí? Bien, pues voy a intentar echar una mano para aclarar el tema en su vertiente matemática, y también para dar mi opinión sobre el porqué de la polémica y hasta alguna idea sobre cómo se podría intentar solucionar. Por cierto, ni de lejos soy el primero que lo intenta durante estos días: muchos han sido los compañeros que han realizado publicaciones de todo tipo para intentar explicar el asunto. A lo largo de este artículo os porporcionaré enlaces sobre algunas de las publicaciones que he visto estos días y que me parecen interesantes.

Pero antes de seguir, creo que es necesario dar la gráfica de la función con la que estamos tratando (aunque y aparece en la imagen principal), para que todos la tengamos en mente durante todo este artículo (por cierto, se entiende que estamos trabajando sobre los números reales):

Repito ahora la pregunta: ¿Es la función f(x)=\frac{1}{x} continua?

Respuesta corta: SÍ, LA FUNCIÓN f(x)=\frac{1}{x} ES CONTINUA.

El artículo podría terminar aquí, pero como estoy seguro de que a muchos os acaba de explotar la cabeza (o estáis teniendo algún cortocircuito, o me estáis insultando…), creo que el asunto huelga una respuesta larga.

Respuesta larga: SÍ, LA FUNCIÓN f(x)=\frac{1}{x} ES CONTINUA. ¿Y por qué lo es, teniendo en cuenta que se ve claramente un salto (de hecho, infinito) en el punto x=0? La cuestión es sencilla matemáticamente hablando: solamente nos podemos plantear si una función es o no es continua en puntos de su dominio, y x=0 no pertenece al dominio de f(x)=\frac{1}{x}. Como, claramente, la función no tiene ningún «problema» asociado a continuidad en ninguno de los puntos de su dominio, se tiene que f(x)=\frac{1}{x} es continua.

Ahora habrá gente que piense algo como esto:

– Ah, que te referías a continuidad en puntos de su dominio. Haberlo dicho antes. Entonces sí, claro que es continua, pero en su dominio.

Evidentemente, me refería a puntos de su dominio porque, repito, la continuidad o no continuidad de una función en un punto solamente tiene sentido si dicho punto pertenece al dominio de la función. Eso de en su dominio es, digamos, redundante, aunque reconozco que remarcarlo podría ser de ayuda.

Por otra parte, supongo que habrá gente que piense algo así:

– De toda la vida se ha dicho que una función que no está definida en un punto no es continua.

Os remito de nuevo al punto anterior: si el punto no está en el dominio de la función, no tiene sentido plantearse su continuidad. De todas formas, os pongo otro ejemplo: ¿alguien piensa que la función g(x)=ln(x) no es continua?

Pues resulta que g(x)=ln(x) no está definida en x=0. Qué cosas, ¿verdad?

Y seguro que también habrá gente que esté pensando algo parecido a esto:

– Que no, que no es continua porque tiene una discontinuidad en x=0.

Y aquí es donde viene la que yo creo que es la clave de todo esto. Cierto es que la función tiene una discontinuidad en x=0, pero la cuestión es que, matemáticamente hablando, el hecho de que una función tenga una discontinuidad en un punto no significa, necesariamente, que no sea continua en dicho punto. Sí, reconozco que lo que acabo de escribir es extraño, pero es así. Voy a intentar explicarme.

Repitiendo lo comentado anteriormente, la función no es ni continua ni no continua en x=0, por la sencilla razón de que no está definida en ese punto, y por tanto no tiene sentido plantearse su continuidad en él. Ahora, es evidente que a la función le pasa algo en x=0. Bueno, en vez de «a la función», yo más bien diría que le pasa algo «a la gráfica de la función». En ella, en su gráfica, sí que se ve un salto que choca un poco con la noción intuitiva de continuidad que muchos tenemos: lo de que una función es continua si la puedo dibujar sin levantar el lápiz del papel (volveré a esto más adelante).

Analizando de manera matemática lo que le pasa a la gráfica de la función en x=0, tenemos que

\begin{matrix} \displaystyle{\lim_{x \to 0^-} \cfrac{1}{x}=-\infty} \\ \\ \displaystyle{\lim_{x \to 0^+} \cfrac{1}{x}=+\infty} \end{matrix}

Es decir, si me acerco a x=0 por su lado izquierdo, la función decrece indefinidamente; si lo hago por su lado derecho, crece indefinidamente. Esto, entre otras cosas, nos dice que el límite de la función en dicho punto no es un número real, y por tanto la gráfica de la función tiene una discontinuidad de salto infinito en x=0…

…y aquí viene el problema: usar para esto la palabra discontinuidad, cuando en realidad esto no tiene necesariamente que ver con la continuidad. Para este caso, lo mejor habría sido utilizar la palabra singularidad, como muy acertadamente han apuntado ya algunos compañeros en sus publicaciones sobre este tema. Mira que siempre digo que:

Los matemáticos no tenemos ni idea de matemáticas, pero posiblemente somos los mejores del mundo poniendo nombres a las cosas.

Bueno, pues en este caso igual no hemos estado demasiado acertados…

Me da que, en general, todo esto viene de lo de «una función es continua si puedo dibujarla sin levantar el lápiz del papel» que comentaba antes. Estamos de acuerdo con que, en los primeros cursos en los que acercamos a los alumnos a la continuidad, una idea inicial de ese tipo podría servir como eso, como un acercamiento (yo mismo la uso en mis clases). Ahora, sería interesante ir dejando detalles sobre que eso no es del todo correcto, que es una simplificación adecuada que más adelante se aclarará y, sobre todo, aclararlo en algún momento. Sé que es complicado, que quizás los chicos en secundaria no tienen la madurez matemática suficiente para entender bien esto, pero de verdad pienso que debemos intentarlo.

Por cierto, estoy convencido de que hay mucha gente que ahora está pensando que si no tuviera ningún salto, entonces sí que valdría eso de dibujarla sin levantar el lápiz del papel. ¿A que sí? Pues tampoco. Como nos cuenta nuestro @eliatron en este hilo de Twitter, resulta que hay un infinito no numerable de funciones continuas en [0,1] que no puede dibujarse con lápiz y papel porque no son derivables en ningún punto. Apasionante este tema, intentaré ahondar más en él de cara a próximos artículos.

Lo bueno que ha salido de todo esto es que mucha gente ha entendido, por fin, todo este tema y ha visto la realidad matemática del asunto. Y también, como citaba unos párrafos más arriba, que han aparecido publicaciones en distintos formatos hablando del tema que creo que merecen ser mencionadas. Ahí van algunas de las que más me han gustado:

Seguro que hay muchos más tuits, textos, artículos o vídeos sobre el tema que podrían ayudar a aclarar, aún más si cabe, el tema de la continuidad de funciones reales de variable real. Si conocéis alguno que no esté citado en este artículo, os agradecería que me lo dejarais en un comentario. Y también me gustaría, si os apetece, que escribierais vuestra opinión sobre todo esto.

Espero que el tema haya quedado suficientemente claro y que os haya gustado el artículo que acabáis de leer. Muchas gracias a todos.

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