Hoy lunes os dejo el problema de esta semana. Ahí va:
Determina todas las parejas
de números reales positivos, con
, tales que
Que se os dé bien.
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[latex]código-latex-que-quieras-insertar[/latex]
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¿No son los pares que cumplen que a>b? Es lo que me sale con una demostración muy sencilla.
Usaremos propiedades de logaritmos para transformar la igualdad.
Y estudiamos la función
Desde 0 abierto hasta 1 abierto, la funcion toma valores negativos y es monotona decreciente.
En 1 hay una indeterminación.
Desde 1 abierto en adelante, la función toma valores positivos y es monotona decreciente.
Por lo tanto para que
se cumpla, tiene que cumplirse:
Si a
, b 
Si a
, b 
Quise decir que
para que
se cumpla, tiene que cumplirse:
Si a
, b 
Si a
, b 
No se lo que pasó.
Lo demostraré de nuevo
Y estudiamos
Desde 0 abierto hasta 1 abierto, la funcion toma valores negativos y es monotona decreciente.
En 1 hay una indeterminación.
Desde 1 abierto en adelante, la función toma valores positivos y es monotona decreciente.
Y encontramos los intervamos ya espuestos.
Creo que en mi exposición hay un problema, cuando a y b estan entre 0 y 1, el logaritmo da negativo y la desigualdad hay que invertirla, pero tengo que verlo.
Yo creo que las soluciones son:
a en (0, 1): b > a
a en (1, +inf): b 0, a =/= 1
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Teniendo en cuenta cuando a y b esta entre 0 y 1, los intervalos son:
Si a
, b 
Si a
, b 
exceptuando b=1, pues el logaritmo de b es negativo y el de b+1 positivo.
Como no edita bien, lo expongo, y estoy de acuerdo con Ignacio:
Si a
, b 
Si a
, b 
, pues el logaritmo de b es negativo en caso de b<1 y el de b+1 positivo.
Miguel, pero no hay razón para excluir las soluciones con b = 1, siempre que se a >0 y a =/=1. En mi anterior comentario no salió bien. a ver ahora:
a en (0, 1): b > a
a en (1, +inf): a > b,
a, b > 0; a =/= 1
Ciertamente b si puede ser 1. Debí estudiar el comportamiento de
en dos variables en vez de 
, pues para x=1 se crea una indeterminación.
Quedamos pues en que
Si a
, b 
Si a
, b 
con a, b > 0 y a distinto de 1.
Uff me voy a tener que sentar seriamente para sacar la solución…
No funciona bien la edición de comentarios.
Al intentar escribir los argumentos, se cortan , o se ponen en negrita, latex no funciona, en fin, otro día.
Haciendo un cálculo parecido al de Miguel y estudiando la función
(que es creciente) se ve que, si a divide a los números positivos en dos partes, b tiene que estar en el mismo lado que el 1. Es decir:
Lo que dijo Ignacio, vamos.
yo probé con a > 1 y a > b y la condición se cumple!
no se ve la condición
Ya está solucionado. Gracias por avisar :).