Pitágoras y la demostración de los 200 TB

Las denominadas ternas pitagóricas, ternas de enteros positivos que cumplen el teorema de Pitágoras, han sido hace bien poco protagonistas de una de las demostraciones matemáticas más largas que se han desarrollado hasta la fecha.

Creo que a estas alturas no es necesario presentar el famosísimo teorema de Pitágoras. Todos lo conocemos, todos lo hemos estudiado en nuestra época de colegio y podría asegurar que la gran mayoría nos acordamos de él. De todas formas, me vais a permitir que lo recuerde:

Una lista de tres números enteros positivos \( (a, b, c) \) que cumplen el teorema de Pitágoras se suele llamar terna pitagórica.

Actualmente, se conocen multitud de demostraciones de este resultado, y las hay de diversos tipos: geométricas, algebraicas, que usan el cálculo… Teniendo en cuenta que con una demostración nos serviría para saber que el teorema es cierto, que se hayan desarrollado tantas (se conocen unas 400) habla muy bien del interés que ha suscitado el teorema de Pitágoras entre los matemáticos de todas las épocas (en esta web podéis ver un buen puñado de demostraciones). ¡¡Hasta un presidente de los Estados Unidos, James Garfield, Ronald Graham planteo el siguiente problema:

Es decir, Graham preguntaba si se podían separar los enteros positivos en dos conjuntos disjuntos (sin elementos en común) de forma que ninguno de los dos conjuntos contuviera una terna pitagórica.

El problema, que se conoce como problema de las ternas pitagóricas booleanas, permaneció sin solución hasta el año 2016. En mayo de ese año, los matemáticos Marijn Heule (Universidad de Texas en Austin), Oliver Kullmann (Universidad de Swansea) y Viktor Marek (Universidad de Kentucky en Lexington) demostraron que la respuesta a dicho problema es NO. Más concretamente, lo que probaron es que hay muchas maneras de colorear los enteros positivos hasta 7824 con las condiciones indicadas antes, pero que al añadir el 7825 no existe ninguna forma de hacerlo.

Pero, posiblemente, lo más llamativo del caso es la importancia que han tenido los ordenadores en esta prueba. Hay \( 2^{7825} \) formas de colorear los enteros positivos hasta 7825, número que es del orden de \( 10^{2300} \). Teniendo en cuenta que se estima que el número de partículas del universo es inferior a \( 10^{100} \), creo que es fácil adivinar que comprobar una a una todas las posibles coloraciones es del todo imposible para el ser humano…

…e incluso para un ordenador. Un número como ése, un 1 seguido de 2300 ceros, es abismal. Por ello, nuestros protagonistas tuvieron que usar matemáticas para reducir drásticamente los casos a estudiar, dejándolos finalmente en una cantidad del orden del billón, \( 10^{12} \). Sí, una cantidad que sigue fuera de nuestro alcance, pero que para un ordenador sí podría ser alcanzable.

Pero no para un ordenador cualquiera, sino para un superordenador. Ellos usaron Stampede, un superordenador de la Universidad de Texas, y tuvieron trabajando a sus 800 procesadores durante dos días, generando dicho trabajo un archivo de 200 Terabytes y, por tanto, convirtiendo a esta demostración en una de las más largas (si no la que más) de la historia de las matemáticas. Después, utilizando otro programa consiguieron comprobar que la solución era correcta. En el preprint que subieron a arXiv y en esta web de Marijn Heule tenéis más detalles sobre el desarrollo de la demostración.

Y por si alguien se pregunta qué ocurriría con más colores, se estima que la situación sería parecida. Por ejemplo, se cree que si se utilizan tres colores, también se encontraría un número, tipo el 7825 del caso anterior, para el cual no se podría colorear el conjunto de enteros positivos resultante con esos tres colores de manera que no hubiera ternas pitagóricas monocromáticas. En general, se piensa que para cualquier número finito de colores pasaría lo mismo, pero no está demostrado. Y dudo mucho que se pueda demostrar a corto plazo, aun con la ayuda de superordenadores, ya que si para dos colores se ha generado tal cantidad de información, es razonable pensar que para más colores el volumen de datos, y por tanto el coste en recursos y tiempo, sería muchísimo mayor, posiblemente inasumible actualmente.

Como no podía ser de otra forma, esta manera de resolver el problema generó cierta controversia en los círculos matemáticos. Dejando aparte que el trabajo de Stampede no dice nada acerca de por qué la cosa cambia al llegar al 7825, de qué característica especial puede tener dicho número para que ocurra esto, lo controvertido es el propio hecho de aceptar como demostración “matemática” el trabajo realizado por este supercomputador. ¿Es una demostración del resultado? Sí. ¿Esto son matemáticas? Pues…depende de a quién le preguntes. Un caso parecido a las nuevas demostraciones usando IA que están aflorando en la actualidad día sí, día también.

De todas formas, no es ni mucho menos el primer caso de resultado matemático en cuya resolución el ordenador es parte esencial. Uno de los primeros casos fue la demostración de Thomas Hales de la conjetura de Kepler en 1998, y otro de los más conocidos es la demostración del teorema de los cuatros colores por parte de Kenneth Appel y Wolfgang Haken a mediados de los 70.

Estos dos casos son muy famosos, por ser problemas clásicos que habían permanecido sin demostración muchísimo tiempo, pero ni son ni serán los únicos que utilizarán el ordenador como parte fundamental de su resolución. Y, por tanto, el “enfrentamiento” entre los partidarios y detractores de este tipo de pruebas continuará dentro de la comunidad matemática.

¿Qué pensáis vosotros sobre este tipo de demostraciones?

Este texto (con pequeñas modificaciones) corresponde con uno de los artículos que publiqué en El Aleph, blog que estuve escribiendo en El País de 2016 a 2018. El enlace al artículo en dicho blog es éste: Pitágoras y la demostración de los 200 TB. Actualmente, hay que ser suscriptor de este medio de comunicación para poder acceder al artículo completo.

Como hace ya unos años que decidieron que se dejaran de publicar artículos en El Aleph (y, además, el blog está oculto, no hay ningún enlace a la vista para acceder a él), he decidido publicar de vez en cuando algunos de los artículos que allí escribí. Espero que os guste tanto como a mí recordar aquella etapa tan bonita de mi vida divulgadora.

La imagen principal del artículo es una modificación de la que utilicé originalmente realizada con Gemini.