La Lógica, en su estudio formal, no es fácil, dada la enorme cantidad de reglas que pueden derivarse de los axiomas iniciales y lo intrincado de la estructura que se forma con todos ellos. Hasta definir qué es la Logíca es complicado. Pero es necesaria en nuestras vidas. Es fundamental que nuestros argumentos tengan coherencia lógica si nuestro objetivo es el entendimiento con nuestros semejantes. Por ello quizás no nos venga mal recordar algunas reglas básicas que en muchas ocasiones no aplicamos correctamente (o simplemente no aplicamos) en nuestro día a día.

Para ello es muy importante algo que ya he dicho, y que repito a continuación:

Es fundamental que nuestros argumentos tengan coherencia lógica si nuestro objetivo es el entendimiento con nuestros semejantes.

Si nuestro objetivo es conseguir nuestro propio beneficio saltándonos la coherencia lógica seguro que no nos entenderemos.

¿Por qué este post ahora? Muy sencillo. En los últimos tiempos he tenido un par de conversaciones a través de internet en las que mis interlocutores han cometido falacias lógicas en sus razonamientos, por lo que sus argumentos han caído por su propio peso. Pero el problema principal no ha sido el hecho de cometer dichas falacias, sino que después de explicárselo no han comprendido que lo son. Por ello voy a intentar hacerlo aquí.

El recíproco no tiene por qué ser cierto

Si tenemos dos proposiciones, p, q, y consideramos la implicación p \rightarrow q (p implica a q, o también leído si p entonces q), entonces el recíproco de dicha implicación es la implicación q \rightarrow p.

Bien, dicho esto vamos con el tema. El hecho de que p \rightarrow q sea cierta no asegura que también lo sea q \to p. Quizás para algunos esto sea un trabalenguas, pero seguro que se aclaran con un ejemplo sencillo. Supongamos que la proposición p es «hacer frío» y la proposición q es «ponerse una chaqueta». Y supongamos que para nosotros es cierta la implicación p \to q, es decir, para nosotros es cierto que

Si hace frío entonces me pondré una chaqueta. (1)

Repito, para nosotros es siempre cierto que cuando hace frío nos pondremos una chaqueta. ¿Cuál sería la implicación q \to p en este caso? Pues

Si me pongo una chaqueta entonces hace frío. (2)

Partiendo de que (1) es cierta en todos los casos, ¿podemos afirmar con total rotundidad que (2) también es cierta? Pensadlo un poco y os daréis cuenta de que no, no podemos afirmar con total rotundidad que la segunda frase sea cierta partiendo de la certeza de la primera, ya que podría darse el caso de que me pusiera una chaqueta sin hacer frío, y eso no chocaría en ningún momento con la veracidad de (1), porque (1) no dice nada (al menos directamente) sobre qué haría yo si no hace frío.

Cierto es que es posible que si no hace frío yo nunca me ponga la chaqueta, por lo que (2) también sería cierta (pero seguro que muchos de vosotros os habéis puesto una chaqueta sin que haga frío por moda o por precaución, por ejemplo). El caso es que sin esa información desde el comienzo no podemos afirmar la veracidad absoluta de la segunda frase.

Hay muchos ejemplos más interesantes sobre esto, y seguro que mucho más confusos que el que yo he puesto y por tanto más útiles para ver que hay gente que no tiene clara la utilización de esta propiedad. Si se os ocurre alguno comentadlo.

El contrarrecíproco siempre es cierto

En la misma situación anterior, p, q dos proposiciones y p \to q la implicación si p entonces q, podemos definir la negación de p, que escribiremos como \neg p (y que se leería no p). Con ella ya podemos definir el contrarrecíproco de p \to q, que será (los paréntesis no son necesarios, pero quizás con ellos se evite confundir símbolos) (\neg q) \to (\neg p), y que se leería si no q entonces no p.

Después de las bases comentamos la regla: el contrarrecíproco siempre es cierto. Sí, siempre. Repito, siempre. Veámoslo con el ejemplo anterior. Teníamos la frase inicial:

Si hace frío entonces me pondré una chaqueta. (1)

¿Cuál será el contrarrecíproco ahora? Pues éste:

Si no me he puesto una chaqueta entonces no hace frío. (3)

Partiendo de que (1) es cierta siempre, ¿podemos afirmar que (3) también es cierta o habrá algún caso en el que no lo sea? Pues, como he dicho antes, el contrarrecíproco siempre es cierto, por lo que podemos afirmar que (3) es siempre cierta partiendo de la veracidad de (1). En los términos de la propia frase, si no me he puesto la chaqueta es evidente que no hace frío, ya que si hiciera frío la llevaría puesta (recordad que partimos de que (1) es cierta siempre).

El problema que me he encontrado en alguna ocasión es que hay gente que confunde el recíproco con el contrarrecíproco, asegurando que el primer siempre es cierto y el segundo solamente a veces, cuando en realidad es al contrario, como acabamos de ver.

Digo lo mismo que antes, si tenéis por ahí algún ejemplo mejor que el mío comentadlo para que lo veamos todos.

Si eliminamos una hipótesis puede seguir cumpliéndose la tesis, aunque no siempre es así

Partiendo de que las «hipótesis» son las condiciones iniciales y la «tesis» el resultado al que llegamos, vamos a comentar esta cuestión. Supongamos que bajo ciertas hipótesis p_1, \ldots , p_n se cumple una tesis q. ¿Qué ocurre si eliminamos algún p_i? ¿Se seguirá cumpliendo q o no? Pues ni una cosa ni otra, si eliminamos una de las hipótesis, en general no podemos afirmar si la tesis se sigue cumpliendo o no se cumple, habrá casos en los que se siga verificando y casos en los que no.

Os pongo un ejemplo. Consideremos la siguiente frase:

Si un número entero positivo n es mayor que 10, impar y divisible solamente entre 1 y el propio número, entonces ese número n es primo.

Está claro que esta frase es cierta, ¿verdad? Bien. En este caso las hipótesis son:

  • p_1= n es entero positivo
  • p_2= n es mayor que 10
  • p_3= n es impar
  • p_4= n es disivible solamente entre 1 y él mismo

Y la tesis es que n es un número primo.

Si eliminamos una hipótesis, ¿qué ocurre con la tesis? Pues, como hemos dicho antes, depende de qué hipótesis eliminemos. Si, por ejemplo, eliminamos p_4 entonces la tesis no se verifica siempre, ya que 15 (por decir uno, hay muchísimos más) cumple el resto de hipótesis (entero positivo, impar y mayor que 10) pero no es primo. Sin embargo, si eliminamos p_3 la tesis sí se sigue cumpliendo, ya que todo número entero positivo mayor que 10 y divisible únicamente entre 1 y él mismo resulta ser primo (digamos que el hecho de que sea impar está implícito en el conjunto del resto de hipótesis, pero eso en principio no tenemos por qué saberlo).

Comento esta regla porque me he encontrado a gente que piensa que si de una expresión del tipo anterior eliminamos una hipótesis siempre ocurre que la tesis deja de cumplirse, pero en general no es así. Espero que haya quedado claro con este ejemplo. Y, como antes, si se os ocurre algún otro que sea mejor que éste no tenéis más que comentarlo.

Repito que este post es solamente un comentario de algunas reglas lógicas que no han usado o han usado mal algunos interlocutores con los que me he encontrado en los últimos tiempos, no pretende ser una enumeración exhaustiva de reglas lógicas que usamos a diario, ni mucho menos. Por ello seguro que se os ocurren otras reglas que no se usan correctamente y que no sean las que hemos visto aquí. Los comentarios son vuestros.

Imagen tomada de este post de El Cedazo sobre la implicación que merece la pena leer.

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