Tercer problema de la Olimpiada Matemática Española de 2012, el último del primer día. Ahí va:
Sean 
enteros tales que 
1 \le x < n[/latex]. Disponemos de [latex]x+1[/latex] cajas distintas y [latex]n-x[/latex] bolas idénticas. Llamamos [latex]f(n,x)[/latex] al número de maneras que hay de distribuir las [latex]n-x[/latex] bolas en las [latex]x+1[/latex] cajas.
Sea [latex]p[/latex] un número primo. Encontrar los enteros [latex]n[/latex] mayores que 1 para los que se verifica que el número primo [latex]p[/latex] es divisor de [latex]f(n,x)[/latex], para todo [latex]x \in \{1, \ldots , n-1 \}[/latex].
A por él.
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La primera parte puede sacarse fácilmente utilizando «separadores». ¿Tiene algún otro nombre más técnico?
La segunda parte es casi inmediata si se conoce el teorema de Kummer de divisibilidad de números combinatorios por potencias de primos (que descubrí hace unos años y me ha sido útil en diversas ocasiones desde entonces), pero no se me ocurre cómo lo habrán hecho a nivel de olimpiada.
«…pero no se me ocurre cómo lo habrán hecho a nivel de olimpiada.»
Pues los pobres chavales no lo han hecho. No hay más que ver los diagramas estadísticos de esta y de anteriores olimpiadas para ver que salvo los problemas 1 y 4 (los más fáciles de cada uno de los dos días), el resto tiene de nivel de bachillerato lo que yo de modelo de pasarela.
Tampoco es lo que dice GOB de que nadie haya hecho los problemas. Está claro que, exceptuando el 1 y el 4, el resto eran bastante complicados y requerían de cierta preparación y entreno previos, pero sí ha habido gente que los ha resuelto o se ha quedado cerca. Sin ir más lejos, en este problema bastante gente probó lo de los separadores, deduciendo la expresión de f(n,x) como el número combinatorio n sobre x, y hubo personas con puntuaciones altas (un 7, un 5, algún 4…), y lo mismo ocurre en el 2 y en el 5. El 6,… Lee más »
Me encanta gaussianos. Compañeros, os animo a que resolvais algun ejercicio más sencillo de olimpiadas en el Blog PlanetaPi. Un Saludo.
“…pero no se me ocurre cómo lo habrán hecho a nivel de olimpiada.”
El triangulo de Tartaglia les puede ayudar mucho, y eso se ve en Bachillerato.
Sí, básicamente una vez que demostrabas que f(n,x) era igual al número combinatorio n sobre x, partías del caso n=p (para p un primo cualquiera) y era relativamente fácil generalizar la idea para el caso p elevado a alfa, jugando con las propiedades de la parte entera y del triángulo de Tartaglia. Una vez que hacías esto sólo te quedaba ver el caso de que n tuviera en su descomposición más de un factor primo, y si habías hecho lo anterior no era complicado.
Este es el problema que nunca hubiera puesto Cardano (para no utilizar el triángulo de Tartaglia). La solución que me da es n= 2, 3, 4, 5, 7, 8, 9, … y en general p^a. Pero es un tipo de problema que yo lo consideraría de 2º de una carrera. Por ejemplo, es de programación de 2º de ingeniería informática, desde mi modesto punto de vista. Gracias.
Hola.
Yo lo resolví usando propiedades del cuerpo Z/(p).
La podeís ver en:
http://jgonzalezmorente.blogspot.com.es/2012/05/ome-2012-solucion-problema-3-cajas-y.html
Saludos!