Hoy os traigo un problema sobre el principio de inducción que me sugirió un lector, Alexander flores, hace ya bastante tiempo.

El problema aparece en el libro The Art of Computer Programming, de Donald Knuth, y dice lo siguiente:

Teorema: Para a un número positivo cualquiera, se tiene que

a^{n-1}=1

para todo entero positivo n.

Demostración:

Dado a un número positivo cualquiera, demostramos el resultado por inducción:

  1. Si n=1, tenemos que

    a^{n-1}=a^{1-1}=a^0=1

  2. Asumiendo ahora como hipótesis de inducción (HI) que el resultado es cierto para todo entero positivo menor o igual que n, vemos que para n+1:

    a^{(n+1)-1}=a^n=\cfrac{a^{n-1} \cdot a^{n-1}}{a^{(n-1)-1}}=[\mbox{HI}]=\cfrac{1 \cdot 1}{1}=1

¿Dónde está el error?

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