Esta semana J.H.S. me propone un problema que publicó en su blog El Reto hace unas fechas. La historia que nos cuenta J.H.S. en su artículo es más o menos así:
El reto de esta ocasión pretende ser un modesto homenaje al profesor Vladimir Arnold, fallecido recientemente. El problema está basado en un curioso ejercicio que él solía mencionar en sus charlas a manera de expresión de respeto hacia los matemáticos de la vieja escuela.
Específicamente, Arnold solicitaba calcular el siguiente límite:
El Profesor agregaba que un problema así le tomaría no más de un minuto a hombres como Hooke, Newton o el famoso sensei de Newton. No tanto por sólo ser ellos, sino porque, a diferencia de los matemáticos de la actualidad, ellos sí sabían calcular. Cuenta la leyenda que, para ponerle sabor al asunto, Arnold ofrecía una recompensa monetaria para el individuo de la audiencia que lo resolviera primero. Se reporta además que no sería sino hasta en un seminario de Princeton (hacia fines de los 80) que Arnold conociera a alguien capaz de acabar con su propuesta en tiempo real.
Al parecer, la leyenda anterior y el límite mismo son objeto de culto en los círculos matemáticos rusos.
Procedamos entonces con la propuesta del momento:
Sean
y
funciones analíticas (reales) alrededor del
, con
y
¿Cuánto vale el siguiente límite?
Espero que el problema sea de su agrado y que ayude a perpetuar, de un modo u otro, la memoria del Profesor Arnold.
Suerte.
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Vale la unidad.
Bien, me niego a aprender Gomex o como se llame. Si hay algo tan eficiente, intuitivo y claro como el editor de ecuaciones de cualquier tratamiento de textos, pues lo ponéis, si no, a otra cosa.
Buenos Días
Se me han adelantado por unos minutos, mientras estaba revisando mis razonamientos.
Aplicando la regla de L’Hopital a este límite el resultado es, evidentemente, 1; me parece tan simple que creo que debe haber alguna sutileza que no he contemplado.
Un Saludo
«Hastalosmismos», tu negativa únicamente te perjudica a tí, asi que, hayá tu… No obstante, yo uso habitualmente Scientific Notebook (licencia de la UNED), actualmente llamado Scientific WorkPlace. Con él se editan de maravilla las ecuaciones (nada de códigos o combinaciones de teclas raras). Escribir una ecuación, es casi tan inmediato como escribir una frase. Para pegar aquí en los post basta con copiar al portapapeles con la opción «formato interno» y pegar dentro de $1atex <aquí>$ (el 1 de 1atex es una l). La pega es que es propietario con licencia de pago. Una alternativa libre, que «dicen» que es… Lee más »
@Hastalosmismos, es una pena que te cierres a aprender uno de los mejores editores de documentos que existen. Eficiente un editor de ecuaciones como el de word…, permite que lo dude, la capacidad de edición de ecuaciones que tiene \LaTeX ni la puede soñar un editor de ecuaciones como el que comentas; intuitivo…, yo diría gráfico, una vez que aprendes cuatro cosillas de latex le ves sentido y es mucho más rápido que estar a golpe de ratón, pero si te gustan los entornos gráficos para las ecuaciones tienes también la posibilidad de hacerlo: http://rinconmatematico.com/latexrender/ . Lo de claro no… Lee más »
Por otra parte muy interesante el post, muchas veces sale (explícita o implícitamente) este tema.
¿Realmente se han perdido «negativamente» capacidades matemáticas ÚTILES que antes se cultivaban?, ¿o esa pérdida de capacidades son consecuencia natural de una «evolución» en la forma de hacer matemáticas y la pérdida/ganancia de destrezas tiene saldo «positivo»?.
Buen tema para un post, ¿no?.
«Latexero», no menosprecies Microsoft Word (MS Office en general), en mi opinión, únicamente mostraría tu desconocimiento del mismo. Por supuesto que tiene inconvenientes, pero es un producto con mucha experiencia y con el cual puedes realizar sin problemas el maquetado de cualquier libro (rarezas aparte) de una forma MUY cómoda. Como todo, para usar bien una herramienta hay que dedicarle algo de tiempo y MSWord no es una excepción (conozco muy poca gente que sepa usar MSWord decentemente). Sin embargo, estoy convencido de que la mayoría de las personas tendrán muchos menos problemas en usar MSWord que cualquier editor de… Lee más »
Puede que me equivoque pero… g(x)^-1 no es igual a 1/g(x)? Por tanto 1/1/g(x) es igual a g(x).
Tenemos entonces que el limite es (f(x) – g(x))*(f(x)-(g(x)). Y operando, f(x)^2 – g(x)^2. Y, si sustiumos se queda 0…no?
A mí el límite me sale 1, aunque con una puntualización. Lo pongo ahora.
Esta ha sido el cálculo que yo he realizado
Si me he pasado alguna sutileza por alto que alguién me lo diga.
Un Saludo
Vamos a calcular las derivadas primera y segunda de
en 
. Para ello derivamos en la igualdad 
, con lo cual 
, lo que da 
. Nuevamente, si derivamos dos veces, 
, lo que da 
. Por lo tanto, hasta orden 2,
Ahora viene la matización. Supongamos que
(en otro caso, no nos valdría el desarrollo hasta segundo orden y tendríamos que ir a orden superior). Entonces,
Supongo que el límite sigue siendo igual a 1 aunque las derivadas
primeras derivadas de 
y 
coincidan, aunque me da flojera probarlo.
«Jorge»,
es la función inversa de 
.
Uhm… pues estoy con «Antonio QD», alguna sutileza habrá por ahí, porque para mí está claro que en el límite de x=0 tenemos dos funciones idénticas con valor 0 y pendiente 1, vaya, que tanto g como f son dos rectas y=x y entonces el límite es
(j.d.r! no deja modificar el comentario y mantener la fórmula?!?!?!?!)
(por supuesto por ser análiticas en 0)…
(¡ERROR! cuando modificas un comentario que lleva una fórmula [¿siempre?] da error al guardar el cambio)
@Antonio: ¿l’Hôpital? ¿Podemos ver su solución completa? 🙂
«J. H. S.», es inmediato
@josejuan:
¿
y 
son dos rectas 
?
Creo que la sutileza del problema radica precisamente en justificar de manera rigurosa las heurísticas de ese tipo.
@Antonio:
Me temo que tu aplicación de l’Hôpital no es del todo correcta.
@josejuan:
Me imagino entonces que eres de la opinión que
¿Estoy en lo cierto?
Voy a intentar hacer más riguroso mi cálculo
Si considero que
y 
, entonces
En este caso no he usado L’Hopital. Pero la validez del razonamiento tanto en el caso anterior como en el actual no descansa en el uso o no de la regla de L’Hopital, sino en si el límite del cociente que queda en la última expresión es o no igual a 1.
…¿
y 
son dos rectas 
?…
De toda la vida ¿no?, cuando te dan una función analítica, un punto y la derivada en ese punto, ya tienes toda la información que te hace falta en el «entorno» de ese punto, ¿hace falta algo más?.
Mi ignorancia sólo es superada por mis ganas de aprender (bueno, y quizás por mi cabezonería) pero creo que no hace falta ser más riguroso…
«…Me imagino entonces que eres de la opinión que…»
Por supuesto que no, el límite es cláramente 2, ¿por?.
«Antonio QD», ¿y eso no es l’Hôpital?
Efectivamente, el desarrollo es muy parecido al de la demostración de la regla de L´Hopital, pero fijate en que aparecen las variables y ; con lo que esta segunda forma no es una aplicación directa de la regla como fue en el caso de la primera. A partir de un límite de una expresión de una única variable he pasado a un límite de una expresión en tres variables. Si tanto como son de clase , se cumple que y creo que es evidente que este límite es siempre 1 incluso en el caso de que , caso en el… Lee más »
Pero la derivada de la función inversa es la inversa de la derivada, luego haciendo l’Hôpital nos sale directamente tu expresión pero en la misma variable.
Y así no hace falta plantearse la equivalencia (x,x)->(y,z)…
Realmente,
si se cumple además la condición
por lo que la expresión es un poco más compleja que la que propones, josejuan.
Pero resumiendo, en lo sustancial estamos de acuerdo. Espero que no estemos de acuerdo en un error. 😀
Ok, ya entiendo, yo he hecho trampa al hacer directamente y=x en el uso de l’Hôpital (que tú detallas diciendo f'(f^-1(x)).
Que sí, que al final lo son, pero es necesario tu desarrollo.
¡Gracias!
Siguiendo con lo de latex vs el editor de ecuaciones de word, en definitiva creo que el editor es más sencillo de usar, y claro es mas sencillo de usar por que es gráfico (una imagen dice más que mil palabras), uno no tiene que andar aprendiendo códigos ni comandos, y por lo mismo es mas intuitivo no tengo que andar leyendo manuales ni nada por el estilo, simplemente insertas la ecuación y ya. Así que mi voto va para el editor de ecuaciones.
Perdón por desvirtuar el post.
Saludos y una felicitación por este excelente blog
@josejuan:
En tu penúltimo post estás usando algo del tipo
. Claramente, esa transformación es falsa en general.
Y el ejemplo que mencionaba era porque arriba ví que afirmabas, sin reparo alguno, que
Respecto a la escritura latex vs editor gráfico. ¿Conoceis lyx, el editor gráfico para latex ?. ¿Alguien de aquí lo ha usado y puede evaluar si su uso en matemáticas es mejor que latex directo ó no ?.
Saludos.
@josejuan: He sufrido desgraciadamente demasiados años con word como para no saber de lo que es capaz y de lo que no. No voy a intentar convencerte de nada, usa lo que te plazca, pero si tienes que trabajar con un documento de al menos 500 páginas, repleto de cuadros, ecuaciones y figuras, desde luego que yo no me la jugaba con word. Que cada cual use lo que quiera, pero te garantizo que la potencia de latex no la puede ni soñar word; no en vano es un lenguaje de programación en donde puedes definir los comandos que quieras,… Lee más »
Ya que os habéis metido en el tema LaTeX vs Word yo también quiero dar mi opinión: Es evidente que Word es un editor de textos bastante potente en el sentido de que cualquiera puede utilizarlo, dada su interfaz, y que tiene muchas opciones para personalizar nuestros documentos. La simplicidad con la que uno puede crear un texto en Word es muy grande. Respecto al tema de las ecuaciones, el editor de ecuaciones que trae Word est´bien, bajo mi punto de vista. Pero sólo bien. Es sencillo introducir fórmulas pero es algo pesado. Además no quedan demasiado bien a la… Lee más »
[…] This post was mentioned on Twitter by gaussianos, Nicolas I. French. Nicolas I. French said: Límite homenaje a Vladimir Arnold -> http://twurl.nl/a2lse6 cc/ @profesor4 @ajlopez […]
«Latexero», ¿dónde he dicho yo que Word sea mejor que LaTeX? (en el sentido de tener/hacer cosas que no haga el otro). Bien, no he tenido que hacer ningún documento de 500 páginas repleto de gráficas e imágenes, pero sí, en tal caso Word se volvería lento (aunque puedes desactivar la correción automática, intellisense y otros). Pero que vaya lento es consecuencia directa del formateo en tiempo real que hace constantemente (cosa que LaTeX simplemente no hace). ¿Con qué herramienta (porque claro, LaTeX puro y duro no implica wysiwyg, por muy potente que sea y en tal caso hay que… Lee más »
«J. H. S.», tienes toda la razón, no está nada bien el límite que escribí. No obstante, y sin dejar de darte la razón en que no debí escribirlo, el comentario se refería cláramente a los valores que toma la función analítica (no se cuantas veces lo habré dicho ya) en el punto en estudio. Pero sí, aunque sea normal que en los comentarios escribamos con cierta libertad, yo suelo ser demasiado chapucero e inconcreto en ellos. Tienes razón, intentaré contenerme. En cuanto a la derivada de la inversa en la misma variable, no veo el problema, pues esa expresión… Lee más »
Me quedo con la opinión clara de que aquí no tenemos 500 páginas de nada y que en la mayoría de las entradas las fórmulas que se necesitan entran fácil y bonitas con cualquier editor wysiwyg.
De manera más radical, tantos años suspirando por los asistentes gráficos para ahora alabar la entrada de texto mediante la línea de comandos. Si no hay un asistente decente para Gómex y sus primos será un problema de esa familia, no de los pobres usuarios NO PROFESIONALES que la padecen, digo yo.
Hola gente! Viendo el problema original de Arnold, y luego el planteado aca, entendi que g-1(x) no es 1/g(x), sino la inversa de g. Arnold da una pista: Newton y Hooke lo resolverian, porque saben como calcular. Ademas son analiticas, presupongo en 0. Entonces: hay que desarrollar en serie f(x), g(x), sus inversas, y divider cada termino por x=0. Es decir, en el entorno de f(0), McLaurin: f(x) = f(0) + f'(0)x + f»(0)x^2 + … g(x) = …. f-1(x) = f-1(0) + f-1′(0)x + f-1»(0)x^2 + … g-1(x) = …. f-1′(0) = 1/f'(0) = 1 g-1′(0) = 1/g'(0) =… Lee más »
Siguiendo con LaTeX, sí, en realidad es muy bonito el resultado que se obtiene escribiendo ahí, tanto que uno difícilmente quiere volver a Word. Supongo que también nos gusta sorprendernos, a mí que no soy programador, me sorprende ver ese tanto de letras que escribo y luego ver que aquellas se han convertido en un gráfico, o en un simple símbolo como , ver como geogebra también exporta código y reconocer que acá dice el tamaño de la letra, acá la escala, acá el color, acá está ese punto que dibujé, etcétera, y luego decir, me gustaría cambiar acá, por… Lee más »
si hacemos f(x) = x y g(x) = sen(x) el limite aplicando L’Hopital
no sería +infinito?
«roldan», no, sigue siendo 1.
Se ve bien si haces la segunda derivada y sabiendo que el límite de sin(x)/x=1
¿Cómo hago para iniciar en LaTeX desde cero? Gracias
Hay algo que no entiendo, me pareciera que en el problema falta alguna condición. Si alguien me lo pudiera aclarar, lo agradecería.
Si
y 
, (ambas son analíticas en 
y por lo tanto se cumplen las condiciones del problema). Como las funciones inversas también son la función identidad, el límite que piden sería:
Las funciones
y 
tienen que ser diferentes entre sí.
Gracias por responder tan rápido J.H.S. Al arreglar mi comentario para ponerle latex se malogró todo y ya no me deja editarlo, igual, ¡qué bueno que lo leíste a tiempo!
Entonces, más claro, ¿tienen que ser diferentes entre sí en cualquier vecindad de
?
Es suficiente con que sean diferentes entre sí en algún intervalo alrededor del cero donde ambos desarrollos en serie sean válidos.
Claro, lo dije mal.
mmm… alguno podría dar una respuesta formal al problema?
con latex y todo.
las respuestas mas o menos formales anteriores han sido criticadas y nadie ha corregido
Como nadie se anima… («cocris» http://jose-juan.computer-mind.com/jose-juan/img/gauss/limite_func_inversa.gif ) [1] Si para cualquier existe algún tal que , entonces el límite no existe. [2] En otro caso, existe un para el que para todo tal que . [3] Por otro lado, la función inversa (R->R) es simétrica respecto la recta . [4] Por otro lado, podemos redefinir las funciones y respecto dicha recta de la siguiente forma: donde y son el error de sus respectivas funciones en cada entorno del orígen (ver imagen). [5] Por definición, las funciones y tienen por límite (bueno valor) en el valor , por tanto, podemos reescribir… Lee más »
Ops, en [5], el sentido de las igualdades cambiaría en función de si la función va por encima o por debajo de la recta diagonal.
josejuan, me parece que tu paso de [7] a [8] está mal justificado.
Las igualdades [7] son verdaderas, pero de que puedas igualar el límite de dos funciones no se desprende que puedas reemplazar una por otra en el cálculo de otro límite.
Es decir:
no implica que 
(es fácil dar contraemplos).