Esta semana J.H.S. me propone un problema que publicó en su blog El Reto hace unas fechas. La historia que nos cuenta J.H.S. en su artículo es más o menos así:

    El reto de esta ocasión pretende ser un modesto homenaje al profesor Vladimir Arnold, fallecido recientemente. El problema está basado en un curioso ejercicio que él solía mencionar en sus charlas a manera de expresión de respeto hacia los matemáticos de la vieja escuela.

    Específicamente, Arnold solicitaba calcular el siguiente límite:

    \lim_{x \to 0} \cfrac{sen(tg(x))-tg(sen(x))}{arcsen(arctg(x))-arctg(arcsen(x))}

    El Profesor agregaba que un problema así le tomaría no más de un minuto a hombres como Hooke, Newton o el famoso sensei de Newton. No tanto por sólo ser ellos, sino porque, a diferencia de los matemáticos de la actualidad, ellos sí sabían calcular. Cuenta la leyenda que, para ponerle sabor al asunto, Arnold ofrecía una recompensa monetaria para el individuo de la audiencia que lo resolviera primero. Se reporta además que no sería sino hasta en un seminario de Princeton (hacia fines de los 80) que Arnold conociera a alguien capaz de acabar con su propuesta en tiempo real.

    Al parecer, la leyenda anterior y el límite mismo son objeto de culto en los círculos matemáticos rusos.

Procedamos entonces con la propuesta del momento:

Sean f y g funciones analíticas (reales) alrededor del {0}, con

f(0) = g(0) = 0 y f^\prime (0) = g^\prime (0) = 1

¿Cuánto vale el siguiente límite?

\lim_{x \to 0} \cfrac{f(x)-g(x)}{g^{-1}(x)-f^{-1} (x)}

Espero que el problema sea de su agrado y que ayude a perpetuar, de un modo u otro, la memoria del Profesor Arnold.

Suerte.

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