Hoy toca problema. El enunciado es el siguiente:
Indicar todos los poliedros (regulares o no) convexos sin agujeros que verifican que cualquier par de caras comparten una arista.
Ánimo, que es sencillo.
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[latex]código-latex-que-quieras-insertar[/latex]
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$latex código-latex-que-quieras-insertar$.
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Y si los símbolos < y > te dan problemas al escribir en LaTeX, te recomiendo que uses los códigos html & lt; y & gt; (sin los espacios) respectivamente.
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El tetraedro y… er… el tetraedro. Fuera bromas, diria que es el único. Demostración (matando moscas a cañonazos): Un poliedro sin agujeros puede ser considerado un grafo planar, abriendo una cara para convertirla en cara externa. Entonces, la propiedad que cualquiera dos caras compartan una arista es equivalente a que su grafo dual (que envia caras a vertices, que son adyacentes en el grafo si las caras lo eran en el poliedro) sea un grafo completo. Pero por encima de 5 vertices, el grafo completo no es planar. Los de 2 y 3 vertices no dan poliedros. Asi que el… Lee más »
En general, las pirámides triangulares.
Vale, bien visto, cualquier cosa con el mismo grafo dual que un tetraedro, osea cualquier pirámide de base triangular…
Eso me pasa por ir demasiado rápido…
Yo sí que he matado moscas a cañonazos, pongo mi demostración, porque ya que he hecho el esfuerzo pues… que no se diga. En principio, cada vértice del poliedro puede estar compartido por tres o más caras, pero voy a intentar demostrar que para cumplir las condiciones del enunciado, tienen que ser forzosamente tres. Para que dos caras cualquiera, compartan un vértice y una arista (como pide el enunciado), entonces una de tres: 1- El vértice está en la arista común. 2- El vértice no está en la arista común, pero sí en la misma recta. Esta opción se rechaza… Lee más »
Tetraedro es un poliedro con cuatro caras. Forzosamente sus caras son triángulos, luego las pirámides de base triangular son tetraedros. Particularmente existe el tetraedro regular. No es un error afirmar que la solución es un tetraedro.
El tema es que éste no recibe ningún nombre en particular. por ejemplo al paralelepípedo regular se le denomina cubo.
Para (infinitoalae | 19 de Mayo de 2010 | 2:06)
Y para todo el mundo.
Puede que yo sea un poco torpe pero a veces, como los comentarios y respuestas están ordenados por orden de llegada, a veces no queda claro a qué comentario corresponde cada respuesta. Sugiero que cuando alguien comente o responda a una entrada concreta se copie y pegue el nombre, fecha y hora del causante de la entrada, como he hecho en este ejemplo, para no tener que buscar la referencia leyendo todo lo anterior, sobre todo cuando hay muchas entradas. Gracias a todos
infinitoalae (19 de Mayo de 2010 | 2:06), tienes razón. Siempre asocio erróneamente tetraedro, icosaedro, dodecaedro, etc. a sus correspondientes regulares. Disculpas, Yrekthelas.
Un saludo.
La verdad no sé si estoy generalizando. Pero la idea es tomar una cara arbitraria y tomar dos aristas que no compartan ningún vértice y darse cuenta que no puede ser, o sea todas las caras son triangulares. Más formalmente sería: Tomamos una cara cualquiera del poliedro (llamémosla A) como un polígono convexo cualquiera de N aristas. Ahora, si numeramos las aristas de 1 a N cada una compartiendo el vértice con la anterior (o sea fijamos una y contamos hacia el lado). Queremos que cada cara comparta una arista con cualquier otra, en particular la cara que «nace» de… Lee más »